基于改進龍格-庫塔法反艦導彈貯存壽命研究

李 強，謝春思，蓋 強，吳 帥

(海軍大連艦艇學院，遼寧 大連 116018)

0 引 言

可靠性是產品在使用時間內不發生故障的性質[1]。對數正態分布在可靠性工程中是一種重要的壽命分布，常用于描述產品的耐磨壽命與疲勞壽命[2]，廣泛應用于半導體器件的壽命實驗、加速壽命實驗、電子設備的平均維修時間和電子元器件的可靠性增長過程[3-4]。

長期不工作或不使用的狀態通常稱為非工作狀態(包括庫房貯存、運輸、戰備值班等)，也稱為貯存狀態。反艦導彈具有“長期貯存、一次使用”[5]的特點，導彈從發射到擊中目標，工作時間較短，絕大部分時間都處于貯存狀態，對于具有高可靠度的反艦導彈，貯存壽命直接影響其可靠性。因此，研究反艦導彈的貯存壽命，提高反艦導彈的可靠性具有現實意義。

在可靠性工程中，失效率作為可靠性特征量具有重要的意義。通常情況下，產品失效率是時間的函數，失效率函數曲線一般呈浴盆狀，分為3個階段：早期失效期、偶然失效期和耗損失效期，例如指數分布的失效率函數為常數，威布爾分布則能全面地描述浴盆曲線的各個階段，正態分布的失效率函數隨時間增長呈遞增趨勢。因此問題隨之而來，對于任意分布的失效率函數是否滿足浴盆曲線值得研究，而對數正態分布函數正是一個例外，隨著產品使用時間的增長，它的失效率并不符合浴盆曲線，有文獻稱之為“倒浴盆”形[6]，文獻[6]從理論上證明了對數正態分布失效率函數的單調性。本文通過龍格-庫塔法，運用Matlab進行數值仿真得到其失效率函數曲線，分析曲線變化趨勢，得到失效率的漸近值。

1 對數正態分布失效率函數

設隨機變量t的自然對數lnt服從均值為μ和標準差為σ的正態分布，則此對數正態分布失效概率密度函數f(t)，累積失效概率函數F(t)，可靠度函數R(t)，這些特征量可表示為[7]：

(1)

(2)

(3)

由失效概率密度函數f(t)、可靠度函數R(t)與失效率函數λ(t)三者關系可知故障率為：

(4)

2 反艦導彈可靠度的龍格-庫塔法仿真

龍格-庫塔法常用于微分方程的數值計算，是一種在工程上應用廣泛的高精度單步算法。龍格-庫塔法的理論基礎來源于泰勒公式和使用斜率近似表達微分，利用在積分區間內多預估幾個點的斜率，進行加權平均，以此為平均斜率的近似值，抑制誤差，從而構造出精度更高的數值積分[8]。

由于龍格-庫塔法利用數值積分求解積分域0～t的微分方程，而可靠度R(t)的積分域為t～∞，為了使其滿足龍格-庫塔法使用條件，通過累積失效概率函數與可靠度函數的關系式：

R(t)=1-F(t)

(5)

首先構造微分方程：

(6)

式中：均值μ和標準差σ均為給定常數。

取步長h為0.001，由龍格-庫塔法[9]：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

由式(3)、(4)、(5)，通過Matlab對可靠度函數R(t)與失效率函數λ(t)進行仿真，仿真結果如圖1～圖4所示。

圖1 當μ=0.5時，對數正態分布可靠度函數圖

圖2 當μ=0.5時，正態分布可靠度函數圖

由圖1和圖2可知，當均值μ=0.5時，對數正態分布與正態分布的可靠度函數均在短時間內降低，呈遞減趨勢，通過延長仿真時間，可靠度函數最終趨于零。對數正態分布函數的可靠度明顯高于正態分布函數的可靠度，對于反艦導彈的壽命，自然環境和人為因素影響其均值大小，從而影響其可靠度，在可靠度高于0.5的范圍內，標準差越小，壽命的可靠度隨時間下降速率減緩。

圖3 當μ=0.5時，對數正態分布失效率函數圖

圖4 當μ=0.5時，正態分布失效率函數圖

由圖3知，當均值μ=0.5時，對數正態分布的失效率函數在短時間內隨時間迅速增大，達到最大值，然后呈遞減趨勢，通過延長仿真時間，失效率函數最終趨于零。由圖4知，當均值μ=0.5時，正態分布的失效率函數表現為隨時間增加呈遞增趨勢。通過比較對數正態分布與正態分布失效率函數圖，得到了不同失效機理對應的失效率函數，對于反艦導彈的壽命，標準差對其失效率影響較大，盡管當貯存壽命的標準差較小時，它有較低的失效率，但在短時間內失效率又迅速增大，因此標準差并不能作為失效率唯一的評判依據。

反艦導彈的貯存可靠壽命可根據其貯存失效率求得[10-11]，如式(12)所示：

(12)

式中：L為反艦導彈貯存可靠壽命；λ為反艦導彈貯存失效率；R為臨界可靠度的要求值。

通過式(12)，可以根據不同要求值的臨界可靠度，計算反艦導彈的貯存可靠壽命。例如：對于貯存失效率λ=0.134 976 3×10-6/h，滿足可靠度R=99%，反艦導彈貯存壽命為：

3 結 論