巧求勻質圓弧的質心

楊純斌 錢琬燕

力學系統的質心在求解該系統的運動規律的過程中起著重要作用.對于質點系統，我們可以得到質心的運動方程，質心的動能定理，繞過質心的軸的轉動定理等規律.求系統質心的常見方法有：（1）對于任意形狀和任意質量分布的系統，根據質心定義，直接求和或者積分求質心;（2）對于質量均勻分布的二維平板或者二維曲線，利用巴普斯定理求質心等.前者是萬能的，但是一般情況下計算比較復雜，特別是需要用到積分等數學工具.后者只能有效地用于形狀規則的二維平板或者曲線，且一般需要了解立體幾何的知識或者二維曲面的面積等知識.這里，我們提出一種求解均勻圓弧的質心的精巧方法.此方法只需要利用一些簡單的三角函數的知識.

研究一段勻質圓弧，其兩端點對圓心的張角為α，圓弧的半徑為R，如圖所示.如果根據質心的定義求其質心，我們需要將圓弧分成無窮多個極小的部分，然后對小部分的坐標求和.這樣，需要利用三角函數的積分等知識.如果利用巴普斯定理求該圓弧的質心，我們可以將圓弧繞通過圓弧的圓心和一個端點的半徑旋轉一周，利用立體角計算圓弧旋轉后得到的球冠的面積，進一步根據巴普斯定理得到質心到圓心的距離.這種解法需要立體角等概念和計算方法.下面討論的解法，只采用初等數學里三角函數的知識，求勻質圓弧的質心到圓心的距離.