利用對稱性求解與扇形相關的陰影面積

王文智

摘要：求解與扇形相關的陰影部分的面積，所求部分必然是圓與其它圖形相互疊合、切割、旋轉等方式形成的形狀復雜、且直接不可計算面積的圖形.解決這類問題，首先要觀察圖形形狀，找到圖形可能具有空間對稱、直線對稱、點對稱等特性，從而把所求陰影部分面積利用邏輯的推理轉化為可求形狀的面積差、和等形式，從而使問題得以突破.

關鍵詞：對稱性;扇形;面積

例1某公園要對某一片正方形綠化地設計一個造型，以在不同的區域種植不同的花草，以提高公園可觀賞性.假設正方形的邊長等于1，設計人員以正方形的四邊為直徑作半圓，形成如圖1所示圖形，請計算陰影部分的面積.

解析觀察圖形特征，具有對稱性.如圖2所示，點0為AB的中點，點p為正方形的中心，連接PA、PB、OP，只要求出半圓0的面積與△ABP的面積，根據對稱性，陰影部分的面積是兩者之差的4倍.

例2 有一直徑為2的圓形材料，記作⊙0，圓心為0，如圖3所示，用OA與OB去切⊙0，OA的圓心為A，⊙B的圓心為B，并且⊙A與OB外切于⊙0的圓心0，切去⊙O上的兩塊，剩余材料即圖3所示的陰影部分的面積是多大？

解析 如圖4所示，連接OB、DB、FB，DF.因為OA與OB外切于⊙0的圓心O，且A、B均在⊙0的圓周上，因此，三圓的半徑相等均為1.

從圖形中觀察可知，根據對稱性，陰影部分的面積等于⊙O的面積與弓形ODF的面積4倍的差.

因為三圓的半徑相等均為1，所以OB= DB= FB=1.所以DF=√3，∠DBF= 120°.

點評 觀察例1、例2的圖形，陰影部分本身在空間內具有對稱性.例1中陰影部分四部分空間對稱，解決其中一部分就可解決問題;例2圖形空白部分在空間內有對稱性，是四個相同的弓形，求出一個弓形的面積，問題就得以突破[1].

例3 如圖5所示，CD是垂直于00直徑AB的一條弦，∠CDB =30°，CD=2√3，則圖所示的陰影部分的面積是多大？

解析 根據題意，CD⊥AB，如圖6所示，CD交AB于點E.

例4 如圖7所示，多邊形ABCDEF是正六邊形，內接于⊙0，⊙0的半徑為2cm，請計算圖中的陰影部分的面積.

解析 如圖8所示，連接OB，OC. OB交AC于點W

因為正六邊形ABCDEF內接于⊙0，則必有∠COB =60°，且⊙0的半徑為2cm.

點評 觀察例3，能猜想到ACOE與ADBE可能關于點E對稱，然后通過邏輯推理找到二者全等，就使復雜的陰影面積轉換成了扇形面積;例4需要通過輔助線，才能觀察出ACOW與AABW可能關于點W對稱，通過邏輯推理找到二者全等，順利達到轉換的目的[2].

參考文獻：

[1]李玉強.二次函數的動態解析式及其圖像[J].語數外學習（初中），2016（04）：19 - 20.

[2]高英.如何提高初中數學自學能力[J].陜西教育，2017 （5）：45 -46.