分類與整合的思想

先說說庖丁解牛的故事。有一個名叫庖丁的廚師替梁惠王宰牛，手所接觸的地方，肩所靠著的地方，腳所踩著的地方，膝所頂著的地方，都發出皮骨相離聲，刀子刺進去時響聲更大，這些聲音竟然同《桑林》《經首》兩首樂曲伴奏的舞蹈節奏合拍。為什么會這樣呢？因為庖丁對牛的肌理結構掌握得十分準確，解剖時眼中只有個體，而無全牛（目無全牛）。這個故事告訴我們：當我們掌握事物的規律后，辦起事來就會得心應手，運用自如。

“目無全?！睂祵W學習的啟示是，當我們對一個問題的整體無法下手時，可以通過研究問題的組成結構，化整為零，逐個突破。它體現了一種重要的數學思想方法：分類與整合的思想。從數學的角度講，什么是分類與整合的思想？

在解題時，我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之后，就不能再以統一的方法、統一的公式繼續進行了，因為這時被研究的問題包含了多種情況，必須在條件所給出的總區域內，正確劃分若干個子區域，然后分別在多個子區域內進行解題。這其中體現的是由大化小、由整體化部分、由一般化特殊的解決問題的方法。其研究方向基本是“分”，但分類解決問題之后，還必須把它們總合在一起，這種“合—分—合”的解決問題的過程，就是分類與整合的思想方法。

分類是自然科學乃至社會科學研究的基本邏輯方法，是研究數學問題時經常使用的思想方法。要正確地對事物進行分類，通常應從所研究的具體問題出發，選取恰當的分類標準，然后根據對象的屬性，把它們劃分為若干個類別。要科學的分類，要標準統一，二要是不重不漏。劃分只是手段，分類研究才是目的。因此，還需要在分好的類別下對分事物進行研究。研究的基本方向是“分”，但“分”與“合”既是矛盾的對立面，又是矛盾的統一體，有“分”必然有“合”，當分類解決完這個問題之后，還必須把它們綜合到一起，因為我們研究的畢竟是這個問題的全體。有“分”有“合”，先“分”后“合”，不僅是分類與整合思想解決數學問題的主要過程，也是分類與整合思想的本質屬性。

分類與整合的思想是以概念的劃分、集合的分類為基礎的思想方法，教學中需要關注以下幾個方面：一是有沒有分類意識，具體表現為遇到應該分類的情況，是否想到要分類，什么樣的問題需要分類;二是如何分類，即會科學地分類，分類要標準統一，不重不漏;三是分類之后如何研究;四是如何整合。

小學數學中分類與整合思想的應用很多。例如：分類（一年級物體的分類滲透分類思想、集合思想）;數的認識（數可以分為整數、0、負數，有理數可以分為整數和分數）;整數的性質（整數可以分成奇數和偶數，正整數可以分為1、素數和合數）;圖形的認識（平面圖形中的多邊形可以分為三角形、四邊形、五邊形、六邊形……三角形按角可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，按邊可以分為不等邊三角形、等腰三角形，其中等腰三角形又可以分為等邊三角形和腰與底邊不相等的等腰三角形，四邊形按對邊是否平行可以分為平行四邊形、梯形和兩組對邊都不平行的四邊形）;統計（數據的分類整理和描述）;植樹問題（先確定是幾排樹，再確定每排樹的情況：兩端都不栽、一端栽一端不栽、兩端都栽）;抽屜原理（構建抽屜實際上是運用分類標準，把所有元素進行分類）。

在中學數學學習中，引起分類討論的原因通常有以下幾種：（1）涉及的數學概念是分類定義的，如絕對值的概念，P點分線段的比等。（2）公式、定理、性質或運算法則的應用范圍受到限制。例如：等比數列的求和公式分為[q=1]和[q≠1]兩種情況;對數、函數的單調性分為[a>1]、[a<1]兩種情況;直線方程分為斜率存在與不存在等。（3）幾何圖形中點、線、面的相對位置不確定，例如兩點在同一平面的同側、異側。（4）求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能性。如：排列組合的計數問題;概率問題要按題目的特殊要求，分成若干情況研究，等等。5.數學問題中含有參變量，這些參變量的不同取值會導致不同的結果。

分類與整合思想的滲透，需要掌握四個關鍵點：

一是分類的原因。分類討論問題不僅是高考的重點和熱點，也是高考的難點。解決這類題目的關鍵包括：找出分類的動機，即為什么分類;分類的對策如何，即怎樣分類。一般地說，引起分類的原因大致可以歸納為六種。（1）由數學概念引起的分類討論，如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數的定義、直線與平面所成的角、直線的傾斜角、向量的共線等。這類問題應以所定義的概念進行分類討論，并且要注意概念所受的限制。（2）由數學運算要求引起的分類討論，如除法運算中除式不為零、在實數集內偶次方根的被開方數為非負數、對數中真數與底數的要求、指數運算中底數的要求、不等式的兩邊同乘一個正數還是負數、三角函數的定義域等。（3）由數學的性質、定理、公式的限制引起的分類討論。如：有些數學性質、定理、公式在不同的條件下有不同的結論，或者在一定的限制條件下才成立（指數函數和對數函數的單調性、均值定理、等比數列的求和公式等）。（4）由圖形位置的不確定性引起的分類討論。如，當已知條件不能確定圖形的位置時，在求解或證明的過程中，需要根據可能出現的圖形位置進行分類討論。這類問題在立體幾何和解析幾何中較為常見。（5）由參數的變化引起的分類討論。如，某些含有參數的問題，由于參數的取值不同會導致所得結果不同，或者對不同的參數值要運用不同的求解或證明方法，如含參數的方程或不等式、直線的點斜式或斜截式方程等，需要進行分類討論。（6）其他。如排列、組合問題，應用問題等，需要根據實際問題進行分類討論。

二是分類的原則。分類的對象是確定的，標準是統一的。學習時要不遺漏、不重復、分層次、不越級地討論。如：要證明一個命題對于集合P成立，可將P分成若干個子集Pi（1≤i≤n），且滿足P=P1∪P2∪…∪Pn，（其中Pi∩Pj=？，i≠j，1≤i，j≤n ），然后分別證明命題對P1，P2，…Pn都成立，則命題對P成立。

三是分類整合的一般步驟。一般而言，分四個步驟：（1）明確討論對象，確定對象的范圍即研究的全域;（2）確定統一的分類標準，進行合理分類（按照某一確定的標準在比較的基礎上分類）。其中，“比較”是分類的前提，“分類”是比較的結果，要做到不重不漏。（3）逐段逐類討論，獲得階段性結果。（4）歸納總結，整合得出結論。

四是分類整合的類型。包括四種類型：（1）問題中有變量或含有需討論的參數的;（2）問題中的條件是分類給出的;（3）解題過程不能統一敘述，必須先分類后整合的;（4）有關幾何問題中，幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的。

分類與整合既是一種邏輯方法，又是一種重要的數學思想和數學解題策略，高考考查分類與整合思想的一個重要目的是檢測學生的理性思維。分類與整合的思想往往是為了落實局部與局部之間的相互融合，但對于何時需要分類討論。則要視具體問題而定，并無死的規定，需要在解題時不斷地總結經驗。比如：對于某個研究對象，若不對其分類就不能說清楚，則應分類討論;另外，數學中的一些結論，公式、方法對于一般情形是正確的，但對某些特殊情形或說較為隱蔽的“個別”情況未必成立，也是造成分類討論的原因。在解題時，我們應注意挖掘個別情形進行分類討論。