趣談數學中的一去與一回的教學研究

陶印修 趙紅

【摘要】學生學習數學在一定程度上還是有難度的，就連馬云都如此。本文借助一去與一回又回到原點的思路來談小學、中學、大學的數學教學，相互啟發，舉一反三，溫故而知新，以期達到學生感興趣、減輕學習難度的目的。

【關鍵詞】一去一回 回到原點

容易明白把去理解為正方向，把回理解為去的反（或逆）方向，一去與一回相互抵消后又回到原點。本文談的是初等數學中變量x（其實變量x也是函數）的一去與一回又回到原點及高等數學中函數F（x）的一去與一回又回到原點兩種情形。

一、初等數學中變量x的一去與一回又回到原點

（一）乘法與除法中變量x又回到原點

例1 2x=y是x的一去為乘法運算，那x=y/2就是x的一回為除法運算。

由于x經過乘法運算與除法運算后又回到原點，說明乘法運算與除法運算相互抵消，故把乘法運算叫正運算，把除法運算叫乘法的逆運算。

例1是小學數學，比較簡單，通過此來理解下面的兩個中學數學的例子。

（二）乘方與開方中變量又回到原點

由于x經過乘方運算與開方運算后又回到原點，說明乘方運算與開方運算相互抵消，故把乘方運算叫正運算，把開方運算叫乘方的逆運算。

（三）指數與對數中變量x又回到原點

例3a^x=y是x的一去為指數運算，那x=logay就是x的一回為對數運算。

由于x經過指數運算與對數運算后又回到原點，說明指數運算與對數運算相互抵消，故把指數運算叫正運算，把對數運算叫指數的逆運算。

需要說明的是，x^a是冪函數，而a^x是指數函數，千萬不要搞混。

由于x經過函數運算與反函數運算后又回到原點，說明函數運算與反函數運算相互抵消，故把函數運算叫正運算，把反函數運算叫函數的逆運算。

例4是抽象函數f（x）的正運算與抽象函數f^-1（y）（習慣上把f^-1（y）寫成f^-1（x））的逆運算

以上4個例子不僅可以相互推導，而且其關鍵問題是，原來的x經過正運算與其相應的逆運算兩種運算后x又回到原點，這樣的兩種運算就是互逆運算。

一中談到的一去就是已知x把y求出來，一中談到的一來就是已知y把x求出來。

由于F（x）經過微分運算與積分運算后又回到原點，說明微分運算與積分運算相互抵消，故把微分運算叫正運算，把積分運算叫微分的逆運算。

例5是抽象函數F（x）的正運算與抽象函數f（x）的逆運算。若把例5具體化：當已知F（x）=sinx時，那正運算的結果就是f（x）=COSX;當已知f（x）=COSX時，那逆運算的結果就是F（x）=sinx。

二中談到的一去就是已知F（x）把f（x）求出來，二中談到的一來就是已知f（x）把F（x）求出來。