等腰三角形一題多解教學分析

陸俊蘭

無論是在日常生活中還是在初中數學教學中，三角形的計算和運用是極為普遍的，而等腰三角形又是一種極其特殊的三角形，“一底二腰三條邊，二角同架頂角尖;兩腰等來兩底等，計算運用想在先?！边@就是對等腰三角形特殊元素及其性質的概括：即底邊和腰（兩腰相等），頂角和底角（兩底角相等）。因為等腰三角形有頂角和底角之分，其邊有腰和底之分，因而，在解決等腰三角形實際問題時，常常出現一題多解，學生也常常會忽視答案的另一種可能。根據本人十余年的教學經驗，現將教學中最為常見的多解問題作如下簡要分析。

一、等腰三角形一題多解問題的教學建議

1. 明確三角形的性質，等腰三角形屬于普通三角形中特殊的一種，它具備普通三角形的所有性質。

2. 等腰三角形具有獨特的性質，即兩腰相等、兩底角相等。

3. 特別提醒學生在解答等腰三角形問題時務必考慮多解因素，以免因疏忽而導致漏解。

4. 等腰三角形的無圖題，即底和腰不明確、頂角和底角不明確、題目中等腰三角形的形狀不明確時，更應提醒學生務必謹慎解題，充分考慮多解可能。

二、實例分類分析

1. 無圖，腰與底不明確時， 則會造成多解。

實例分析：

（1）現有一塊三角形空地，一邊長6m，一邊長9 m，若要把這塊地砌墻圍起來，請問圍墻有多少？

錯解：設底邊的長是6 m，腰長是9 m。

則周長=6 m +9 m +9 m =24 m

分析：錯解中判定底邊的長是6 m，但是也可為9 m。當底邊的長是9 m，腰長是6 m時. 周長=6 m +6 m +9 m =21 m

所以，此題為多解，正確答案應該是24 m或21 m.

（2）一等腰三角形的兩邊的長分別是5和12，那么這個等腰三角形的周長是多少？

錯解：

設當底邊的長是5，腰長是12時。

即周長=5+12+12=29

當底邊的長是12，腰長是5時。

即周長=12+5+5=22

等腰三角形的周長是29或22.

分析：錯解中判斷此題為多解題，分別假設了底邊、腰，從表面上看很全面，充分考慮了等腰三角形的多解性，但是三角形還具有一個性質：當底邊的長是5，腰長是12時，5+5<12，偏離了“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的性質，不能組成三角形。

因此，此題的正確答案是唯一的，等腰三角形的周長是29。

2. 無圖，當等腰三角形的頂角、底角不明確時，也會造成多解。

實例分析：

（1）如果等腰三角形的一個內角是另一個內角的4倍，那么這個等腰三角形三個內角的度數分別是多少度？

錯解：

設頂角的度數為a，則底角的度數為4a。

根據根據等腰三角形的性質： a+4a+4a=180，解得a=20

所以，這個等腰三角形三個內角的度數分別是20o、80o、80o。

分析：此解題結果是不完善的，其判定底角是頂角的4倍是不全面的，沒有底角一定大于頂角或頂角一定大于底角的說法。

應有另一假設：頂角是底角的4倍，即4a+a+a=180 o，a=30o，即可解得等腰三角形三個內角的度數分別是120o，30o，30o。

因此，正確答案是這個等腰三角形三個內角的度數分別是20o、80o、80o或120o、30o、30o。

一，由等腰三角形的高的不同。造成多解。

（1）在ΔABC中，AB=AC，BD是ΔABC的高，∠ABD=40o，求ΔABC三個內角的度數？

錯解：如圖1

由BD⊥AC， ∠ABD=40o，可知 ∠A=90o-40o=50o，

∴∠ABC=∠ACB=65o

∴這個等腰三角形三個內角的度數分別是50o、65 o、65 o。

解析：這個解法只考慮了等腰三角形的高在等腰三角形內的情況，而忽視了等腰三角形的高在等腰三角形外的情況。如圖2，

當等腰三角形的高在等腰三角形外時，由BD⊥AC，

∠ABD=40o，可知 ∠BAC=90 o -40 o =50o

即∠BAC=180 o -50 o =130 o

所以，∠ABC=∠ACB=25o

因此，正確答案是這個等腰三角形三個內角的度數可能是是50o、65o、65o，也可能是130o、25o、25o。

總之，等腰三角形的教學應充分考慮其多解性，避免顧此失彼，題目簡單而輕易出錯。