“分式的約分”教學設計

王曉卿 聊城大學數學科學學院 山東聊城 252000

1 課程標準要求

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中本節的要求是：了解最簡分式的概念，能利用分式的基本性質進行約分.

2 教材版本

青島版（2012年6月第2版）義務教育教科書《數學（八年級 上冊）》，第三章分式，第二節分式的約分.

3 教學處理

分數的約分、分式的基本性質、因式分解等知識是本節課學習的基礎，分式的約分在第三節分式的乘法與除法中有一定的應用，分式的約分是為了方便代數式求值，也就是函數求值.教材類比分數的約分來學習分式的約分，分式的呈現由易到難，最后拓展到除法運算，學生通過循序漸進地學習，逐步理解并掌握分式約分的依據、方法及分式約分的結果，所以本節課的重點內容為掌握分式約分的方法與步驟.依據學生已有的知識基礎，類比分數的約分，學生有能力發現分式約分的方法，教師在教學過程中應給學生一定的主動權進行探究與合作，讓學生在探究學習中學習新知并提高學習能力.通過本節課的學習，學生能夠利用分式的基本性質進行分式的約分，了解最簡分式的定義，通過分式的約分體驗數學的簡單美，體會類比與化歸的思想方法.

4 教學設計

4.1 提出問題，導入新課

1 求解下列分式的值.

讓學生嘗試用多種方法求解，回答解題過程，大多數學生會想到先將數代入再求值，也會有學生通過觀察或預習提出先將分式化簡再代入求值.教師可以演示前者的解題過程，將數依次代入，再對分數進行約分，得到分式的值.學生通過此過程可以更直觀地進行觀察，并受到一定的啟發：分別將數代入之后再化簡分數得到結果，字母代表數，可以在代入之前先將分式進行化簡，再代數求值.將兩種方法分別呈現.

兩種方法的對比，可以發現分式越簡單，代數求值越方便，如何對分式進行化簡呢？引出課題.

設計意圖：讓學生在解題過程中發現化簡分式所帶來的方便，激發學生的學習興趣，提出如何對分式進行化簡的問題，導入新課.

4.2 自主探究，學習新知

4.2.1 類比學習，探究新知

問題：回憶分數約分的依據是什么？分數的約分是如何進行的？分數約分的結果是什么？

設計意圖：分式的約分要類比分數的約分來學習，所以先復習分數的約分，以便在后面的學習中遷移類比.

3 仿照分數約分的意義，約去下列分式中分子和分母的公因式.

問題：如何找分子和分母的公因式？上述變形的依據是什么？類比分數的約分，讓學生嘗試對分式的約分下定義.

利用分式的基本性質，把一個分式的分子和分母中1以外的公因式約去，叫做分式的約分.

設計意圖：由分數的約分到分式的約分，學生經歷了從無到有過程，是思維的一個跨越，從簡單的分式入手，類比分數的約分，認識分式的約分.

4.2.2 合作交流，探索方法

如何對分式進行約分呢？給出兩個例題，兩個題目代表了不同的類型，分別解決.兩個題目都先讓學生自己嘗試解決，然后小組交流，最后全班討論，教師進行指導，明確約分的方法與步驟.

例1 約分：

這兩個題目有一定的層次性，第一題分式的分子和分母都為單項式，是特殊的形式，容易化簡，第二題分式的分子和分母都為多項式，是更一般的情況，需要轉化. 對兩個題目分別討論.

第一個題目，約分過程如下：

先請小組代表表述約分的步驟，教師對其進行板書，再呈現兩道練習題.

通過三個分式，讓學生嘗試歸納總結分子和分母都為單項式時分式約分的步驟與方法，教師進行補充.

（1）若分式的分子和分母帶有負號，應先將負號化去；

（2）找分子和分母的公因式，先找分子和分母系數的最大公因數，再找分子和分母相同字母的較低次冪（以分子為或以分母為標準，從左往右依次尋找字母）；

（3）利用分式的基本性質將公因式約去.

設計意圖：有了分數約分的鋪墊以及分式約分的定義，部分同學有能力對分式進行約分，應給學生一定的主動權進行探究，通過小組交流引發更多的思考，解決一些疑惑.分式的分子和分母為單項式是特殊的形式，可以直接進行約分，一般的分式都須轉化成積的形式才可以約分，這是后面學習的基礎，最后教師要明確單項式約分的步驟.

第二個題目的分子和分母為多項式，約分過程如下：

問題：分式的分子和分母為多項式時如何進行約分？如何進行轉化？

總結分子和分母為多項式時，分式的約分應先利用因式分解將其進行轉化為分子和分母為單項式的形式，然后再進行約分.

設計意圖：學生的學習要經歷由易到難，由特殊到一般的過程，逐步加深理解.學習了分子和分母為單項式時分式約分，再學習一般形式的分式約分，本題分子和分母為多項式，和差的形式不能直接約分，引導學生把未知轉化為已知，利用因式分解把和差的形式轉化為積的形式，再進行約分.

當一個分式的分子與分母，除去1以外沒有其他的公因式時，這樣的分式叫做最簡分式.

總結得到分式約分的結果應當是最簡分式或整式.

4.3 強化新知，提高能力

例2 計算：

問題：整式的除法運算如何進行計算？計算結果是什么？

本題只是形式的變化，完成轉化之后利用分式的約分進行計算，讓學生獨立完成，在此過程中，教師要充分了解學生對分式約分的掌握情況，根據反饋，對學生掌握不牢固的知識點再次講解，消除學生的疑惑.

設計意圖：在學習了新知識之后及時應用，可以加深對知識的理解，提高知識的運用能力，教師還可以及時發現學生的薄弱之處，進行強化.

4.4 檢測基礎，當堂達標

（1）約分：

（2）下面的約分正確嗎？如果不正確，請說明理由.

（3）指出下列分式中的最簡分式：

設計意圖：檢查學生對分式的約分的掌握情況及對最簡分式的理解，也進一步鞏固所學知識.

4.5 總結回顧，反思提升

本節課主要收獲如下：

（1）利用分式的基本性質對分式進行約分，約分的結果要化成最簡分式，約分是為了簡化代數式的求值運算，要把整式的除法轉化為分式的形式進行計算.

（2）類比分數的約分，學習分式的約分，了解類比的思想方法；和差形式轉化為積的形式，了解化歸的方法；通過約分簡化運算，體會數學所追求的簡單美.

設計意圖：引導學生從知識和思想方法兩方面進行總結，加強知識之間的聯系，促進知識之間的遷移.