單自由度系統

田紅亮 陳 謙

(三峽大學 機械與動力學院,湖北 宜昌 443002)

1 單自由度系統對任意激勵力的響應

在任意激勵力的作用下,有阻尼單自由度系統的運動微分方程[1]為

開始時刻(t=0)的初位移和初速度分別為

式(1)可變形

1812年拉普拉斯在《概率的分析理論》中總結了當時整個概率論的研究,論述了概率在選舉、審判調查、氣象等方面的應用,并導入“拉普拉斯變換”.f(t)的拉普拉斯變換[2]為

函數f(t)求導后取拉普拉斯變換

將式(5)代入式(6),得

由式(7)得

由式(7)和(8),可得式(4)的拉普拉斯變換

X(s)的2個單極點滿足

海維賽德第一類展開式為

式中,s1,s2,…,sn為B(s)的n個單零點.

由式(15),可得以下象函數的拉普拉斯逆變換

將式(13)代入式(16),得

由式(15),可得以下象函數的拉普拉斯逆變換

將式(13)代入式(19),得

由式(11)得

將式(18)代入式(21),得

兩個函數卷積的拉普拉斯變換[3]為

上式右端的積分叫做先對τ、后對t的二次積分.這個積分也可以寫成先對t、后對τ的二次積分

令t-τ=u,則

將式(25)代入式(24),可得卷積定理

按照式(27),可將式(22)展開

將式(20)代入式(28),得

故在任意激勵力下單自由度系統的通解為

令t-τ=u,容易驗證卷積運算滿足交換律

由式(31),式(29)等于

故任意激勵力下在某一時間t,單自由度系統的位移為

設f(x)在閉區間[a,b]上連續,令x=a+bu,則存在恒等式

根據式(34),可知式(30)與(33)相等.

2 單自由度系統一般解的證明

式(30)的第一項為

將式(14)的第二式代入式(36),得

將式(14)的第三式代入式(38),得

將式(35)代入式(41),得

故xh(t)是式(4)對應的齊次方程的通解.

式(30)的第二項為

如果函數f(x,y)及其對自變量x的偏導函數f x(x,y)都在矩形R=[a,b]×[c,d]上連續,函數α(x)和β(x)都在閉區間[a,b]上可微,且c≤α(x)≤d,c≤β(x)≤d,a≤x≤b,則萊布尼茨公式[4]為

應用萊布尼茨公式(44),得

將式(14)的第三式代入式(48),得

將式(43)代入式(51),得

故xs(t)是非齊次方程(4)的一個特解.

由式(30)得

式(53)與式(2)相同.

將式(37)和(46)代入式(55),得

式(57)與式(3)一致.

3 工程實例和結果分析

3.1 階躍激勵力的響應

階躍激勵力為

式中,u(t)為單位階躍函數.

0初始條件時,將式(58)代入式(33),得

將式(14)的第二式和第一式代入式(60),得

由直角坐標x,y得到極坐標[5]

則三角函數的加法公式為

按照式(65),式(61)可化簡

按照式(66),式(61)可化簡

當m=85 kg,k=5000 N/m,c=15 N·s/m,F=5 000 N時,系統的響應曲線如圖1所示.

圖1 階躍激勵力的響應

3.2 矩形單脈沖激勵力的響應

矩形單脈沖激勵力為

將式(71)代入式(33),得

1)當0≤t≤td時的響應

式(72)等于式(59),進一步等于式(61)

當ζ=0時,式(73)退化為

2)當t＞td時的響應

式(72)等于

當ζ=0時,式(78)蛻化為

式(79)可簡化

綜合式(74)和式(80),得

系統的響應曲線如圖2所示.

圖2 矩形單脈沖激勵力的響應

4 結 論

有阻尼單自由度系統強迫振動解析解的構建,有助于分析有阻尼多自由度系統,此外,還可以探討提高沖擊減振器快速耗能性能的途徑,比較不同修改方案的能量耗散情況和抑振效果.