AKNS方程的三線性型及周期孤立波解

傅海明, 戴正德

(1.廣州華夏職業學院 教育學院, 廣州 510935; 2.云南大學 數學與統計學院, 昆明 650091)

求解非線性波方程是一項很難而且很重要的研究,從而吸引了一大批勇于挑戰、不懈努力的學者尋找求解的方法.現有的主要方法有逆散射法[1], Backlund法[2], Darboux變換法[3], Hirota雙線性法[4-6], F-展開法[7-8],齊次平衡法[9], Jacobi橢圓函數展開法[10],包絡變換法[11-12],ADM方法[13]和指數函數法[14]及雙指數函數法等.這些方法還不足以求解所有波方程,所以不少科學家們還在不斷深入研究當中.

Hirota方法已經研究較為成熟,三線性型的求解更為困難,本文借助新試探函數,利用數學軟件 Matlab,求解了Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程

4uxt+uxxxy+8uxyux+4uyuxx=0

(1)

獲得了若干其他方法不曾給出的形式更為豐富的新的顯式周期孤立波解.不難看到該方法還是很高效的,也可以看出該方法適用于相當一部分非線性方程.

1 Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的三線性型

關于Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程，引入如下形式變換

u=(lnf)x

(2)

將式(2)代入方程(1),并整理化簡化為如下三線性型形式:

(3)

2 Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的三線性型

假設方程(3)有如下形式的解:

f(x,y,t)=e-ξ+aeξ+bcosη

(ξ=kx+hy+wt,η=px+qy+γt)

(4)

將式(4)代入方程(3),得到一個關于 的多項式,令其系數全為得到如下代數方程組:

ak2(w+4k2h)=0

(5)

b(-k2γ-2kwp-k4q-4k3hp+4p3kh+6p2qk2+p2γ-p4q)=0,

(6)

b(-4k3pq+k2w-p2w-2kpγ+k4h+p4h+4kp3q-6k2hp2)=0,

(7)

b2(-4khp3-p2γ+k2γ+2kpw+hp4+k4q+4k3hp-6k2hp2)=0,

(8)

2b2(-2kpγ-k2w-p2w-2k3pq+6kp3q+2hp4-2k2hp2)=0,

(9)

b2(-k2w-p2w-2kpγ-k4h+3hp4+8kp3q+2k2hp2)=0,

(10)

2ab(3k2γ+p2γ+6kpw-p2q+7k4q+20k3hp-4khp3-42k2p2q)-2b3p2(γ-4p2q)=0,

(11)

ab2(-4khp3-p2γ+k2γ+2kpw+p4q+k4q+4k3hp-6k2p2q)=0,

(12)

ab2(k2w+p2w+2kpγ+k4h-3p4h-8kp3q-2k2hp2)=0,

(13)

2ab2(2kpγ+p2w+2k3pq-6kp2q-2hp4+2k2hp2)=0,

(14)

a2b(4k3pq-k4h-k2w+2pγ-p4h-4kp3q+6k2hp2)=0,

(15)

a2b(p2γ-k2γ-2kpw-p4q-k4q-4k3hp+4khp3+6k2p2q)=0.

(16)

利用數學軟件Matlab解以上方程組,得到以下幾種情況：

情形I:

b=0,p=0,q=0,γ=0,

a=a,k=k,h=h,w=-4k2h.

(17)

將式(17)代入式(4)得

f(x,y,t)=aeξ+e-ξ.

(18)

1) 如果a>0,則式(18)變為

(19)

將式(19)代入式(2)得到Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的解為

(20)

其中：a>0,h,k為任意常數.

2) 如果a<0,則式(18)變為

(21)

將式(21)代入式(2)得Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的解為

(22)

其中：a<0,h,k為任意常數.

3) 如果a=0,則式(18)變為

f(x,y,t)=e-ξ.

(23)

將式(23)代入式(2)得Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的解為

u3=-k.

(24)

其中：k為任意常數.

情形II:

a=0,h=0,p=0,w=0,

b=b,k=k,q=q,γ=-k2q.

(25)

將式(25)代入式(4)得

f(x,y,t)=e-ξ+bcosη.

(26)

將式(26)代入式(2)得Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的解為

(27)

其中：b,k,q為任意常數.

情形III:

(28)

將式(28)代入式(4)得

f(x,y,t)=aeξ+e-ξ+bcosη.

(29)

1) 如果a>0,則式(29)變為

(30)

將式(30)代入式(2)得Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的周期孤立波解為

(31)

其中：a>0,b,k,h,p為任意常數.

從圖1～4可以看出,只改變參數的值時,孤立波的周期明顯改變了,而且周期越小時波峰越平緩.

圖1 當a=1,b=2,k=1.1,h=-2,p=0.5,t=0時，u5的圖像

圖2 當a=1,b=2,k=1.1,h=-1,

圖3 當a=1,b=2,k=1.1,h=0,

圖4 當a=1,b=2,k=1.1,h=1,

只改變參數k的值作出圖5～10,可以看出,當k<1時,u5在原點附件形成爆破圈;當k<1越接近時,爆破圈的半徑越小;當k=1時,u5在原點爆破;當k>1時,u5在原點附近是連續的.

圖5 當a=1,b=2,k=0.8,h=5,

圖6 當a=1,b=2,k=0.9,h=5,

圖7 當a=1,b=2,k=0.99,h=5,

圖8 當a=1,b=2,k=1,h=5,

圖9 當a=1,b=2,k=1.001,h=5,

圖10 當a=1,b=2,k=1.01,h=5,

2) 如果a<0則式(29)變為

(32)

將式(32)代入式(2)得Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的周期孤立波解為

(33)

其中：a<0,b,k,h,p為任意常數.

3) 如果則式(29)變為

f(x,y,t)=e-ξ+bcosη.

(34)

將式(34)代入式(2)得Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程的解為

(35)

其中：b,k,h,p為任意常數.

3 結 語

本文研究了三線性型的求解方法,用新的測試函數來嘗試求解.以Ablowitz-Kaup- Newell-Segur方程為例,給出該方法求孤立波解和周期孤波解的具體過程,得出新的孤立波解和周期孤波解,并以此討論了該方程的周期性和爆破性.