半群的(U,V)-區間值模糊子半群

王豐效

(喀什大學 數學與統計學院， 新疆 喀什 844000)

模糊集[1]及其理論在許多領域得到了應用。Rosenfeld[2]將模糊集的概念應用于群，引入了模糊子群的概念。作為模糊集的推廣，直覺模糊集和區間值模糊集的概念被提出，豐富了模糊集的相關理論。隨后，區間值模糊集、直覺模糊集等理論被廣泛應用于代數系統[3-4]。半群是一類應用廣泛的代數系統，模糊半群理論在模糊語言、模糊碼理論、模糊自動機等領域起著重要的作用。Kuroki[5]將模糊集應用于半群，研究了半群的幾類模糊理想的特征。謝祥云等[6]詳細介紹了模糊半群理論。文獻[7-8]分別討論了半群的反模糊子半群和區間值反模糊子半群的特性。文獻[9-10]分別討論了半群的區間值模糊子半群和區間值模糊理想的相關特性。作為模糊子代數的推廣，(λ,μ)-模糊子代數被應用于半群等代數系統[11-12]。本文將(λ,μ)-模糊子代數推廣到半群，給出了半群的(U,V)-區間值模糊子半群的概念，并討論了它的相關特性。

1 預備知識

為了討論方便，先給出半群以及區間值直覺模糊集的相關概念和性質。

定義1[6]設·是S的一個二元運算，如果對任意x,y∈S有

x·y∈S(2) (x·y)·z=x·(y·z)

則稱(S,·)為一個半群。

定義2[8]設A是半群S的模糊集，如果對任意x,y∈S有A(xy)≥A(x)∧A(y)，則稱A為S的模糊子半群。如果對任意x,y∈S有A(xy)≤A(x)∨A(y)，則稱A為S的反模糊子半群。

定義3設A是半群S的模糊集，如果對任意x,y∈S有A(xy)∨α≥A(x)∧A(y)∧β，這里 0≤α≤β≤1，則稱A為S的(α,β)模糊子半群。

定義4[8]非空集合的區間值模糊集被定義為A=[μA,νA]，這里μA和νA分別是X上的模糊集，并且對于任意x∈X，有μA(x)≤νA(x)。

若D[0,1]表示區間[0,1]的閉子區間的全體，對于任意

D1=[a1,b1]∈D[0,1]

D2=[a2,b2]∈D[0,1]

規定

D1≥D2?a1≥a2,b1≥b2

D1=D2?a1=a2,b1=b2

定義D1與D2的加細極小(記為γmin)和加細極大(記為γmax)：

γmin(D1,D2)=[a1∧a2,b1∧b2]

γmax(D1,D2)=[a1∨a2,b1∨b2]

定義5[8]假設(S,·)為一個半群，A=[μA,νA]是S上的區間值模糊集，如果對于任意x,y∈S有A(xy)≥γmin(A(x),A(y))，則稱A為半群S的區間值模糊子半群。如果對于任意x,y∈S有A(xy)≤γmax(A(x),A(y))，則稱A為半群S的區間值反模糊子半群。

定義6[8]假設(S,·)為一個半群，A是S上的區間值模糊集，D1=[d1,d2]∈D[0,1]，稱集合

AD1={x∈S|A(x)≥D1}

為區間值模糊集A的D1水平上截集。

2 (U,V)-區間值模糊子半群

為討論方便，半群(S,·)的二元運算x·y用xy表示，并且約定U≤V。

定義7假設A=[μA,νA]是半群(S,·)上的區間值模糊集，如果對任意x,y∈S和U,V∈D[0,1]都有

γmax(A(xy),U)≥γmin(A(x),A(y),V)

則稱A=[μA,νA]是半群(S,·)的(U,V)-區間值模糊子半群。

例1假設S={a,b,c,d}，S的二元運算·如下：

·abcdaaaaababcacaccbdabdd

則(S,·)是半群。定義S上的區間值模糊集A為：

A(a)=[0.7,0.9]，A(b)=[0.6,0.7]

A(c)=[0.3,0.5]，A(d)=[0.2,0.4]

則A=(μA,νA)為S上的(U,V)-區間值模糊子半群。

定義S上的區間值模糊集B=(μB,νB)為：

B(a)=[0.7,0.9]，B(b)=[0.2,0.4]

B(c)=[0.3,0.5]，B(d)=[0.7,0.9]

由于

B(cd)=B(b)=[0.2,0.4]≤

[0.3,0.5]=γmin(B(c),B(d))

從而B不是S上的區間值模糊子半群，因而也不是S上的(U,V)-區間值模糊子半群。

定理1半群S的區間值模糊子半群一定是(U,V)-區間值模糊子半群。

證明假設A是半群(S,·)上的區間值模糊子半群，則對任意的x,y∈S有

A(xy)≥γmin(A(x),A(y))

從而對任意的U,V∈D[0,1]有

γmax(A(xy),U)≥A(xy)≥

γmin(A(x),A(y)≥

γmin(A(x),A(y),V)

因此A是半群(S,·)上的(U,V)-區間值模糊子半群。

如果取U=[0,0],V=[1,1]，則(U,V)-區間值模糊子半群就是區間值模糊子半群。定理1也表明，半群的(U,V)-區間值模糊子半群的確是區間值模糊子半群的推廣。

定理2假設X是半群(S,·)的子半群，則存在半群(S,·)上的(U,V)-區間值模糊子半群A，使得A的上水平截集AD1=X。

證明設X是半群(S,·)的子半群，對于任意的D1∈D[0,1]，定義S上的(U,V)-區間值模糊集A滿足：如果x∈X，A(x)=D1。如果x?X，A(x)=[0,0]，則有AD1=X。下證A是半群(S,·)上的(U,V)-區間值模糊子半群。分下面幾個情況：

1) 若x,y∈X，則xy∈X，因此A(x)=A(y)=A(xy)=D1。因此

γmax(A(xy),U)=γmax(D1,U)≥

γmin(D1,D1,V)=γmin(A(x),A(y),V)

2) 若x?X或者y?X，則A(x)=[0,0]或者A(y)=[0,0]，從而

γmax(A(xy),U)≥[0,0]=γmin(A(x),A(y),V)

因此對任意的x,y∈S和U,V∈D[0,1]都有

γmax(A(xy),U)≥γmin(A(x),A(y),V)

故A=[μA,νA]是半群(S,·)的(U,V)-區間值模糊子半群。

定理3假設A=[μA,νA]是半群S的(U,V)-區間值模糊集，則A=[μA,νA]是半群S的(U,V)-區間值模糊子半群，當且僅當對任意的D0∈D[0,1]，非空集AD0是半群S的子半群。

證明(必要性) 對任意的x,y∈AD0，有A(x)≥D0,A(y)≥D0。由于A=[μA,νA]是半群S的(U,V)-區間值模糊子半群，因此γmax(A(xy),U)≥γmin(A(x),A(y),V)，所以對任意U≤D0≤V有

γmax(A(xy),U)≥γmin(A(x),A(y),V)≥D0

即A(xy)≥D0，從而xy∈AD0。故非空集AD0是半群S的子半群。

(充分性) 設對任意的U≤D0≤V，AD0是半群S的子半群。如果存在a,b∈S使得

γmax(A(ab),U)<γmin(A(a),A(b),V)

取區間D滿足U≤D≤V和γmax(A(ab),U)D,A(y)>D，即a,b∈AD，但ab?AD，這與AD是半群S的子半群矛盾，故A=[μA,νA]是半群S的(U,V)-區間值模糊子半群。

定理4假設A=[μA,νA]是半群S的(U,V)-區間值模糊集，則A=[μA,νA]是半群S的(U,V)-區間值模糊子半群，當且僅當模糊集μA和νA都是半群S的(α,β)模糊子半群。

證明(必要性) 如果A=[μA,νA]是半群S的(U,V)-區間值模糊子半群，則對于任意的x,y∈S

U=[u1,u2]，V=[v1,v2]及U,V∈D[0,1]有

γmax(A(xy),U)≥γmin(A(x),A(y),V)

即

[μA(xy)∨u1,νA(xy)∨u2]=

γmax([μA(xy),νA(xy)],[u1,u2])=

γmax(A(xy),U)≥γmin(A(x),A(y),V)=

γmin([μA(x),νA(x)],[μA(y),νA(y)],[v1,v2])=

[μA(x)∧μA(y)∧v1,νA(x)∧νA(y)∧v2]

由區間大小比較的定義有：

μA(xy)∨u1≥μA(x)∧μA(y)∧v1

νA(xy)∨u2≥νA(x)∧νA(y)∧v2

所以模糊集μA和νA都是半群S的(α,β)模糊子半群。

(充分性)模糊集μA和νA都是半群S的(α,β)模糊子半群，則對于任意的x,y∈S，

U=[u1,u2]，V=[v1,v2]，U,V∈D[0,1]

有：

μA(xy)∨u1≥μA(x)∧μA(y)∧v1

νA(xy)∨u2≥νA(x)∧νA(y)∧v2

因此

γmax(A(xy),U)=[μA(xy)∨u1,νA(xy)∨u2]≥

[μA(x)∧μA(y)∧v1,νA(x)∧νA(y)∧v2]=

γmin(A(x),A(y),V)

由定義7可知A=[μA,νA]是半群S的(U,V)-區間值模糊子半群。

假設A=[μA,νA]和B=[μB,νB]是非空集X的兩個區間值模糊集，則A和B的交A∩B也是區間值模糊集，其中A∩B(x)=γmin(A(x),B(x))。

定理5若A=[μA,νA]和B=[μB,νB]都是半群S的(U,V)-區間值模糊子半群，則A和B的交A∩B也是半群S的(U,V)-區間值模糊子半群。

證明如果A=[μA,νA]和B=[μB,νB]都是半群S的(U,V)-區間值模糊子半群，由定理4可知μA和νA，μB和νB都是半群S的(α,β)模糊子半群，從而對于x,y∈S以及0≤u1≤v1≤1,0≤u2≤v2≤1,有

μA(xy)∨u1≥μA(x)∧μA(y)∧v1

νA(xy)∨u2≥νA(x)∧νA(y)∧v2

μB(xy)∨u1≥μB(x)∧μB(y)∧v1

νB(xy)∨u2≥νB(x)∧νB(y)∧v2

因此

μA∩B(xy)∨u1=(μA(xy)∧μB(xy))∨u1=

(μA(xy)∨u1)∧(μB(xy)∨u1)≥

(μA(x)∧μA(y)∧v1)∧(μB(x)∧μB(y)∧v1)=

(μA(x)∧μA(y))∧(μB(x)∧μB(y))∧v1=

(μA(x)∧μB(x))∧(μA(y)∧μB(y))∧v1=

μA∩B(x)∧μA∩B(y)∧v1

νA∩B(xy)∨u2=(νA(xy)∧νB(xy))∨u2=

(νA(xy)∨u2)∧(νB(xy)∨u2)≥

(νA(x)∧νA(y)∧v2)∧(νB(x)∧νB(y)∧v2)=

(νA(x)∧νA(y))∧(νB(x)∧νB(y))∧v2=

(νA(x)∧νB(x))∧(νA(y)∧νB(y))∧v2=

νA∩B(x)∧νA∩B(y)∧v2

因此，μA∩B和νA∩B都是半群S的(α,β)模糊子半群。由定理4可得A∩B也是半群S的(U,V)-區間值模糊子半群。

推論1若A=[μA,νA]和B=[μB,νB]都是半群S的(U,V)-區間值模糊子半群，則μA∩B和νA∩B都是半群S的(α,β)模糊子半群。

下面討論半群的(U,V)-區間值模糊子半群直積的性質。假設S和R是兩個半群，A和B分別是S和R上的區間值模糊集，定義S×R上的區間值模糊集A×B為

A×B(x,y)=γmin(A(x),B(y))，

(x,y)∈S×R

定理6假設A和B分別是半群S和R上的(U,V)-區間值模糊子半群，則A×B是半群S×R的(U,V)-區間值模糊子半群。

證明對于任意的(x1,y1),(x2,y2)∈S×R，有

A×B((x1,y1)(x2,y2))=A×B(x1x2,y1y2)=

γmin(A(x1x2),B(y1y2))

由于A和B分別是半群S和R上的(U,V)-區間值模糊子半群，因此：

γmax(A(x1x2),U)≥γmin(A(x1),A(x2),V)

γmax(B(y1y2),U)≥γmin(B(y1),B(y2),V)

故

γmax(A×B(x1x2),U)=

γmax(γmin(A(x1x2),B(y1y2)),U)=

γmin(γmax(A(x1x2),U),γmax(B(y1y2),U))≥

γmin(γmin(A(x1),A(x2),V),γmin(B(y1),B(y2),V))=

γmin(γmin(A(x1),A(x2)),γmin(B(y1),B(y2)),V)=

γmin(γmin(A(x1),B(y1)),γmin(A(x2),B(y2)),V)=

γmin(A×B(x1,y1),A×B(x2,y2),V)

因此A×B是半群S×R的(U,V)-區間值模糊子半群。

推論2假設A是半群S上的(U,V)-區間值模糊子半群，則A×A是半群S×S的(U,V)-區間值模糊子半群。

定理7假設A×B是半群S×R的(U,V)-區間值模糊子半群，則A1和B1分別是S和R的(U,V)-區間值模糊子半群，其中：

A1(x)=γmax{A×B(x,z)|z∈R}

B1(y)=γmax{A×B(z,y)|z∈S}

證明僅證明A1是S的(U,V)-區間值模糊子半群，B1是R的(U,V)-區間值模糊子半群，可類似證明。由于A×B是半群S×R的(U,V)-區間值模糊子半群，所以μA∩B和νA∩B都是半群S的(α,β)模糊子半群。因為A1(x)=γmax{A×B(x,z)|z∈R}，所以：

μA1(x)=supz∈R(μA×B(x,z))

νA1(x)=supz∈R(νA×B(x,z))

只需證明μA1(x)和νA1(x)都是半群S的(α,β)模糊子半群。對任意的x1,x2∈S有：

μA1(x1x2)∨u1=supz∈R(μA×B(x1x2,z))∨u1=

supz1,z2∈R(μA×B(x1x2,z1z2))∨u1=

supz1,z2∈R(μA×B(x1,z1)(x2,z2)∨u1)≥

supz1,z2∈R(μA×B(x1,z1)∧μA×B(x2,z2)∧v1)=

supz1∈R(μA×B(x1,z1))∧

supz2∈R(μA×B(x2,z2))∧v1=

μA1(x1)∧μA1(x2)∧v1

νA1(x1x2)∨u2=supz∈R(νA×B(x1x2,z))∨u2=

supz1,z2∈R(νA×B(x1x2,z1z2))∨u2=

supz1,z2∈R(νA×B(x1,z1)(x2,z2)∨u2)≥

supz1,z2∈R(νA×B(x1,z1)∧νA×B(x2,z2)∧v2)=

supz1∈R(νA×B(x1,z1))∧supz2∈R(νA×B(x2,z2))∧v2=

νA1(x1)∧νA1(x2)∧v2

因此μA1(x)和νA1(x)都是半群S的(α,β)模糊子半群，從而由定理4可知A1是S的(U,V)-區間值模糊子半群。

最后討論半群的(U,V)-區間值模糊子半群的同態像和原像的相關性質。假設(S,·)和(R,·)是兩個半群，稱f:S→R為從S到R的同態，如果對于任意的x,y∈S，有f(xy)=f(x)f(y)。

定理8假設(S,·)和(R,·)是兩個半群，f為從S到R的同態滿射。如果B是半群R的(U,V)-區間值模糊子半群，則B的原像f-1(B)是半群S的(U,V)-區間值模糊子半群。這里

f-1(B)(x)=B(f(x))

證明由于f為從S到R的同態滿射，所以對于任意的x1,x2∈S，存在y1,y2∈R使得f(x1)=y1，f(x2)=y2。因為B是半群R的(U,V)-區間值模糊子半群，從而有

γmax(B(y1y2),U)≥γmin(B(y1),B(y2),V)

因此

γmax(f-1(B)(x1x2),U)=γmax(B(f(x1x2)),U)=γmax(B(f(x1)f(x2)),U)=

γmax(B(y1y2),U)≥γmin(B(y1),B(y2),V)=

γmin(B(f(x1)),B(f(x2)),V)=

γmin(f-1(B)(x1),f-1(B)(x2),V)

故B的原像f-1(B)是半群S的(U,V)-區間值模糊子半群。

推論3假設(S,·)和(R,·)是兩個半群，f為從S到R的同態滿射。如果B是半群R的(U,V)-區間值模糊子半群，則f-1(μB)和f-1(νB)是半群S的(α,β)模糊子半群。

定理9假設(S,·)和(R,·)是兩個半群，f為從S到R的同態滿射。如果A是半群S的(U,V)-區間值模糊子半群，則f(A)是半群R的(U,V)-區間值模糊子半群。這里

f(A)(y)=γmax(A(x)|f(x)=y)。

證明對于任意的y1,y2∈R，由于f為從S到R的同態滿射，從而存在x1,x2∈S使得f(x1)=y1，f(x2)=y2。因A是半群S的(U,V)-區間值模糊子半群，從而：

γmax(A(x1x2),U)≥γmin(A(x1),A(x2),V)

γmax(f(A)(y1y2),U)=

γmax(γmax(A(x1x2)|f(x1x2)=y1y2),U)=

γmax(γmax(A(x1x2)|f(x1)=y1,f(x2)=y2),U)=

γmax(γmax(A(x1x2),U)|f(x1)=y1,f(x2)=y2)≥

γmax(γmin(A(x1),A(x2),V)|f(x1)=y1,f(x2)=y2)≥

γmin(γmax(A(x1)|f(x1)=y1)

γmax(A(x2)|f(x2)=y2),V)≥

γmin(f(A)(y1),f(A)(y2),V)

所以f(A)是半群R的(U,V)-區間值模糊子半群。

3 結束語

本文引入了半群的(U,V)-區間值模糊子半群的概念，討論了半群的(U,V)-區間值模糊子半群的相關性質。(U,V)-區間值模糊子半群的概念推廣了帶限制(α,β)的模糊子半群的概念，豐富了模糊子半群的相關理論。同樣，帶限制(U,V)的區間值模糊子代數的概念也可以類似地應用于其他代數系統，如坡代數、布爾代數等。下一步將研究和討論半群的(U,V)-區間值模糊理想，(U,V)-區間值模糊雙理想以及半群的(U,V)-區間值模糊內理想的相關特性。