平面應變條件下含孔洞土樣受內壓作用的變形破壞過程

王學濱，田鋒，董偉，侯文騰，余斌

(遼寧工程技術大學 a.計算力學研究所；b.力學與工程學院，遼寧 阜新 123000)

在土木、水利及油氣存儲等工程中，一些洞室常受內壓作用，例如，水工涵洞表面和油氣存儲腔體表面[1-2]。研究受內壓作用洞室周圍巖土體的變形破壞規律對于有關災害的機理分析及預防具有重要理論及實際意義。

針對含孔洞模型或試樣的室內實驗是研究洞室周圍巖土體變形、破壞規律的重要手段之一。這方面已經有大量文獻報道，其結果通常比數值模擬和理論研究可靠性更高。

在現有針對含孔洞模型或試樣的室內實驗研究中，模型或試樣多為單軸應力狀態，孔洞通常不受內壓作用，而實際工程中受內壓作用洞室周圍巖土體處于三維應力狀態，一般可簡化為平面應變模型進行力學研究。此外，目前，基于DIC方法的針對含孔洞模型或試樣的變形、破壞過程分析多為根據云圖的定性、粗略分析，缺乏定量、統計分析。

本文利用自主研制的平面應變模型加載及觀測系統，開展了不同加載速率條件下含孔洞土樣雙軸壓縮實驗。利用DIC方法獲得土樣的位移場，利用能較好濾掉位移場噪聲的局部位移最小二乘擬合方法[8]獲得最大剪切應變的分布及演變規律。為了定量獲得最大剪切應變和分析方便，根據清晰剪切帶位置，布置曲折測線和平直測線，對各測線上最大剪切應變進行統計分析，深化了對含孔洞土樣變形及破壞規律的認識。

1 土樣制備、實驗及計算

1.1 土樣制備

實驗用土取自某高層建筑工地距地表5 m處，液限wL=42.20%，塑限wP=25.22%，為低液限黏土。含孔洞土樣的制備采用固結法，其過程為：1)將土干燥后碾碎，并過孔徑0.5 mm的篩子；2)將土和水按照質量比3∶1進行混合，充分攪拌成塑性狀態，注入模具；3)待模具中土體固結并干燥至一定程度后，拆除模具，制成約10 cm×10 cm×4.7 cm的長方體土樣；4)在長方體土樣的最大表面中心處沿與該面垂直的方向鉆直徑3 cm的通孔，制成含孔洞土樣(簡稱為土樣)；5)選擇一個含孔洞土樣，在表面均勻涂抹白色顏料薄層，待晾干后，在白色表面隨機噴涂直徑為4～10像素的黑色斑點，以滿足黑色斑點直徑為4～10像素時散斑圖質量較好的要求[9]。

1.2 實驗過程

首先，將土樣置于自主研制的平面應變模型加載裝置(圖1)內的中間底墊塊上，在土樣上方放置垂直應力加載墊塊，其前、后尺寸與土樣前、后尺寸一致，而左、右尺寸略小于土樣左、右尺寸，并將左、右側壓加載板置于左、右底墊塊之上；其次，將前、后玻璃板分別置于土樣的前、后方，且玻璃板的兩側卡在側箱內壁上，使玻璃板與土樣表面貼合，以確保土樣處于平面應變狀態；其次，將內囊通過后玻璃板中心孔放入土樣孔洞內，并將側囊放入側箱，安裝側箱頂板；其次，用螺栓連接側箱與連接板，以限制側箱的水平運動，保證側囊施加的側壓保持水平；最后，將側囊、內囊的氣嘴與高壓管線相連，通過氣瓶對其充氣，以實現對土樣左、右表面及孔洞表面施加側壓和內壓。土樣上、下表面的壓力(垂壓)由試驗機施加，通過調節試驗機下壓頭的移動速率，即加載速率，實現對不同土樣進行位移控制加載。在土樣變形過程中，通過操控數碼相機對土樣噴涂了散斑的表面圖像進行拍攝，每幅圖像的大小為2 112像素×

圖1 平面應變模型加載系統示意圖Fig.1 Schematic of the loading system under plane

2 112像素。在對土樣施加內壓和側壓后、進行位移控制加載前，操控數碼相機對土樣噴涂了散斑的表面圖像開始進行拍攝，以記錄土樣在位移控制加載過程中的全部變形過程。為了便于DIC方法的應用，在土樣表面出現明顯宏觀裂紋時停止實驗。在相同實驗條件下，進行3～5個土樣實驗，共進行70余個土樣的實驗，從中選出內壓、側壓和含水率條件類似且加載速率不同的4個土樣進行研究，即56#、17#、2#及8#土樣，以獲得剪切帶發生、發展過程受加載速率的影響規律。各土樣的基本參數及實驗條件見表1。

表1 土樣的基本參數及實驗條件Table 1 Basic parameters and experimental conditions of clay specimens

1.3 應變場的計算

首先，利用基于Newton-Raphson迭代的DIC方法[10]獲得各測點的位移；然后，利用局部位移最小二乘擬合方法(簡稱為最小二乘擬合方法)獲得應變。

基于Newton-Raphson迭代的DIC方法求位移的步驟為：首先，對物體變形前后的兩幅散斑圖像進行亞像素插值；然后，在給定位移初值后，通過反復計算Hessian矩陣的逆矩陣和Jacobian向量對位移進行更新。當相關系數滿足閾值時，停止更新，此時的位移即為所求測點的位移。

最小二乘擬合方法求應變的步驟為：首先，在已知位移場的情況下，以各測點(間隔為Δ)為中心選擇一個局部子域(即應變計算窗口)，見圖2，對應變計算窗口的位移進行一次多項式擬合，獲得位移函數；然后，對位移函數進行求導，獲得各測點的應變。

有關計算參數如下：子區尺寸為31像素×31像素，測點間隔Δ為10像素，應變計算窗口大小為5測點×5測點(M=2，相當于41像素×41像素)，56#、17#、2#及8#土樣中布置的測點數目分別為16 383(127行×129列)、16 383(127行×129列)、17 161(131行×131列)、16 002(126行×127列)個。

最大剪切應變(γmax)為標量，常用于表征應變局部化現象，其與水平線應變εx、垂直線應變εy及剪切應變γxy有關[11]。

圖2 測點周圍的應變計算窗口Fig.2 Calculating window around a monitored

2 實驗結果分析

2.1 縱向應力縱向應變曲線

圖3 土樣的εa-σa曲線Fig.3 Stress-strain curves of clay

由圖3可以發現，4個土樣均經歷了兩個階段：近似線性階段和硬化階段。由于土樣表面出現明顯宏觀裂紋時即停止實驗，所以，土樣未來得及經歷明顯的軟化階段。在近似線性階段，各土樣的σa-εa曲線變化規律幾乎類似，但在εa相同時，2#土樣的σa較其他土樣高，且在εa=0.020 9時便開始進入硬化階段，這可能與其含水率稍低有關，土樣稍硬；在硬化階段，在εa相同時，加載速率較大的土樣σa較高，這與常識相符。

2.2 土樣γmax的分布及演變規律

圖4和圖5給出了56#和8#土樣不同εa時γmax的分布規律(各子圖左方和下方的數字分別代表各測點的行數和列數)，文中涉及的其他土樣破壞過程與此類似，限于篇幅，不再贅述?？梢园l現：

圖4 56#土樣不同εa時γmax的分布Fig.4 Distributions of γmax for different εaof the clay specimen

圖5 8#土樣不同εa時γmax的分布Fig.5 Distributions of γmax for different εaof the clay specimen

1)隨著εa的增加，γmax的分布經歷了近似均勻變形向局部化變形的轉化過程。在土樣加載初期，γmax呈斑點狀隨機分布，且γmax較小(圖4(a)和圖5(a))，可以近似地認為土樣變形均勻。當應變較小時，DIC的計算結果容易出現奇異點，土樣中即使有應變集中，奇異點也會對此現象有所掩蓋。應當指出，由于未對施加內壓和側壓之前的土樣進行拍攝，所以，DIC的計算結果中不包括由內壓和側壓引起的應變集中。隨著εa的增加，出現了多塊或多條模糊、寬闊的應變不均勻分布區域(圖4(b)～(d)和圖5(b)～(d))，并進一步發展成1～2條清晰、狹窄的應變強烈集中區域，即剪切應變局部化帶(剪切帶)(圖4(f)和圖5(f))，導致土樣發生破壞。

2)γmax的演變規律較為復雜，最終的1～2條清晰的剪切帶是由多塊或多條應變不均勻分布區域通過競爭發展而成的，有時難以事先判斷出來。

56#土樣剪切帶的發展演化過程如圖4所示，當εa=0.005 3時，γmax的分布呈斑點狀隨機分布，且γmax較小，土樣的變形基本上是均勻的。由圖4可以發現，當εa≤0.030 4時，土樣處于近似線性階段。當εa=0.015 9時，由孔洞頂部偏右和底部偏左各發展出了一條高角度應變局部化帶，相比之下，孔洞底部偏左的較長，土樣仍處于近似線性階段。隨著εa的增加，上述兩條高角度應變局部化帶進一步發展，土樣仍處于近似線性階段。當εa=0.039 8時，孔洞頂部偏右的高角度應變局部化帶變得不清晰，在孔洞左幫偏上、右幫偏上和左幫偏下各發展出了一條模糊的且較寬闊的應變不均勻區域。此時，土樣已進入硬化階段。當εa=0.047 1時，孔洞的頂部偏右和底部偏左的高角度應變局部化帶變得更不清晰。當εa=0.060 4時，孔洞右幫偏上的應變不均勻區域發展成通過土樣右上角的剪切帶，孔洞左幫偏下的應變不均勻區域發展成另一條剪切帶，并導致土樣最終發生“/”形剪切破壞。

8#土樣剪切帶的發展演化過程如圖5所示。土樣處于近似線性階段及之前的現象不再贅述。當εa=0.023 0時，在孔洞左幫偏上、右幫偏上、左幫偏下及右幫偏下發展出了較不清晰的應變不均勻區域，土樣仍處于近似線性階段。當εa=0.039 4時，上述4塊應變不均勻區域的應變進一步發展。此時，土樣已進入硬化階段。當εa=0.069 0時，孔洞左幫偏上的應變不均勻區域發展成通過土樣左上角的剪切帶，孔洞右幫偏下的應變不均勻區域發展成另外一條剪切帶。當εa=0.091 9時，上述兩條剪切帶的應變進一步發展。當εa=0.137 9時，兩條剪切帶變得更清晰，并導致土樣最終發生“”形剪切破壞。

應當指出，由圖4和圖5僅能定性地描述剪切帶的發展演化規律。為此，下文將通過布置測線的方式進一步揭示剪切帶的發展演化規律。

2.3 測線的布置

由圖4(f)和圖5(f)可以發現，狹長且最終導致土樣發生剪切破壞的剪切帶并非筆直。為了能捕捉到剪切帶發展過程中剪切帶行進路線上不同位置的γmax，有必要布置曲折測線。同時，為了比較剪切帶內、外γmax的不同，有必要在上述曲折測線之外布置測線。

分別選擇56#土樣孔洞頂部偏右的高角度應變局部化帶A、17#土樣右幫偏上的剪切帶B、2#土樣左幫偏上的剪切帶C及8#土樣右幫偏下的剪切帶D布置測線(圖6)。平直測線與曲折測線的線性擬合結果平行。同時，建立直角坐標系sos′，s軸與一條平直測線重合，s軸正向指向孔洞。應當指出，曲折測線是根據狹長剪切帶的最終位置確定的。56#、17#、2#及8#土樣中的曲折測線分別命名為A0、B0、C0及D0，兩側的平直測線分別命名為A1和A2、B1和B2、C1和C2及D1和D2。

圖6 剪切帶內外測線的位置Fig.6 Positions of monitored lines in shear bands and

2.4 測線上γmax的分布、演變規律及統計

圖7～圖10分別給出了4個土樣不同εa時各測線上γmax-s曲線。圖11給出了56#土樣不同εa時測線A0上εx-s、εy-s及γxy-s曲線。

圖7 56#土樣不同εa時測線A0、A1及A2上γmax-s曲線Fig.7 γmax-s curves at monitored lines A0, A1 and A2for different εa of the clay specimen

圖8 17#土樣不同εa時測線B0、B1及B2上γmax-s曲線Fig. 8 γmax-s curves at monitored lines B0, B1 and B2for different εa of the clay specimen

圖9 2#土樣不同εa時測線C0、C1及C2上γmax-s曲線Fig.9 γmax-s curves at monitored lines C0, C1 and C2for different εa of the clay specimen

圖10 8#土樣不同εa時測線D0、D1及D2上γmax-s曲線 Fig.10 γmax-s curves at monitored lines D0, D1 and D2for different εa of the clay specimen

圖11 56#土樣不同εa時測線A0上εx-s、εy-s及γxy-s曲線Fig.11 εx-s curve, εy-s curve and γxy-s curve at the monitored line A0 for different εa of the clay specimen

對于56#土樣(圖7)，當εa=0.005 3時，測線A0及兩側測線A1和A2上γmax的分布較均勻，且γmax較小。當εa=0.015 9時，測線A0、A1及A2上γmax的均值分別為0.028 5、0.010 0及0.006 5。顯然，測線A0上γmax遠大于測線A1和A2，這說明孔洞頂部偏右的高角度應變局部化帶已經形成。此時，離孔洞表面越近(s越大離孔洞表面越近)，測線A0上γmax越大，這說明孔洞頂部偏右的高角度應變局部化帶是從孔洞表面向外發展的。當εa=0.024 5時，與εa=0.015 9時相比，測線A0上γmax有所增加。當εa=0.039 8時，與εa=0.024 5時相比，測線A0上γmax下降，這說明在上述過程中高角度應變局部化帶上的應變正在釋放。由圖11可以發現，當εa=0.039 8時，與εa=0.024 5時相比，測線A0上各測點的εx、εy及γxy均下降了，相比之下，εx下降得更明顯，說明上述高角度應變局部化帶是由拉破壞導致。當εa≥0.039 8時，隨著εa的增加，測線A0上大部分測點的γmax有上升趨勢。對于測線A1，隨著εa的增加，不同εa時測線A1的γmax波動均較大，變化復雜。對于測線A2，隨著εa的增加，測線A2上大部分測點的γmax逐漸增加。例如，當εa從0.039 8增至0.060 4時，測線A2上s=192.1像素處γmax從0.019 05增至0.039 56。

對于17#土樣(圖8)，當εa=0.025 0時，測線B0及兩側測線B1和B2上γmax的分布較均勻，且γmax較小。當εa=0.048 4時，與εa=0.025 0時相比，測線B0、B1和B2上γmax的分布不均勻。此時，隨著向孔洞表面的靠近，測線B2上γmax有增大的趨勢。此時，隨著向孔洞表面的靠近，測線B1上γmax先下降后上升；在離孔洞較遠位置，測線B1與土樣右上角的應變不均勻區域相交，因受該區域的影響較大，導致離孔洞較遠位置的γmax較大；對于孔洞附近的測點(s≥330像素)，隨著向孔洞表面的靠近，測線B1上γmax有下降趨勢，這應與剪切帶外彈性應變降低(卸荷)有關。當εa=0.059 2時，測線B0上γmax分布不均勻，此時，測線B0上γmax幾乎都比測線B1和B2上的大；在離孔洞較遠位置，測線B0上γmax較大，這應與土樣右上角的破壞有關，剪切帶B由土樣右上角向孔洞發展；隨著向孔洞表面的靠近，測線B2上γmax先下降后有上升趨勢，在離孔洞較遠位置，測線B2與剪切帶B相交，測線B2上γmax受剪切帶B的影響較大，導致離孔洞較遠處的γmax較大；在s=120.7像素處γmax出現了高峰，這應與該測點附近出現的剪切帶分叉現象有關；對于孔洞附近測點(s≥313.9像素)，隨著向孔洞表面的靠近，測線B2上γmax有下降趨勢，這應與剪切帶外彈性應變降低(卸荷)有關。當εa=0.076 7時，對于孔洞附近測點(s≥281.7像素)，隨著向孔洞表面的靠近，測線B0上γmax有上升趨勢，這可能是由于越靠近孔洞表面，γmax集中越嚴重。此時，與εa=0.059 2時相比，剪切帶有變陡趨勢，在離孔洞較遠的位置，剪切帶位置變化不大，而在離孔洞較近的位置，剪切帶位置變化很大。隨著εa的增加，各測線上γmax逐漸增加。

對于2#土樣(圖9)，當εa=0.019 9時，測線C0及兩側測線C1和C2上γmax的分布較均勻，且γmax較小。當εa=0.034 8時，與εa=0.019 9時相比，測線C0、C1和C2上γmax的分布較不均勻。此時，隨著向孔洞表面的靠近，測線C1上γmax有下降趨勢；在離孔洞較遠位置，測線C1與土樣左上角的應變不均勻區域相交，因受該區域的影響較大，導致離孔洞較遠位置的γmax較大。隨著向孔洞表面的靠近，測線C2上γmax呈先上升后下降趨勢。當εa=0.062 1時，測線C0上γmax分布不均勻，在相同坐標情況下，測線C0上γmax比測線C1和C2上的都大。此時，隨著向孔洞表面的靠近，測線C0上γmax先上升，再波動式下降，后上升。對于孔洞附近測點(s≥286.5像素)，隨著向孔洞表面的靠近，測線C0上γmax有上升趨勢，這可能是由于越靠近孔洞表面，γmax集中越嚴重，這說明剪切帶C是從孔洞表面向外發展的。此時，對于孔洞附近測點(s≥278像素)，隨著向孔洞表面的靠近，測線C1上γmax有下降趨勢，這應與剪切帶外彈性應變降低(卸荷)有關。此時，測線C2上γmax先上升再波動，后有下降趨勢，在測線C2上s=109.5、168.5和252像素處γmax出現了高峰，這應與這些測點附近出現的剪切帶分叉現象有關。此時，對于孔洞附近測點(s≥320.2像素)，隨著向孔洞表面的靠近，測線C2上γmax有下降趨勢，其原因與測線C1上的類似。隨著εa的增加，各測線上大部分測點的γmax逐漸增加。對于測線C2，當εa=0.094 4時，與εa=0.086 9時相比，當s≤50.5像素和s≥278像素時，這些測點的γmax發生下降，這可能與帶外彈性應變降低較大有關。

對于8#土樣(圖10)，當εa=0.023 0時，測線D0及兩側測線D1和D2上γmax的分布較均勻，且γmax較小。當εa=0.039 4時，測線D0上γmax的分布仍較均勻，而對于測線D1和D2，隨著向孔洞表面的靠近，γmax有增大的趨勢。當εa=0.039 4時，隨著向孔洞表面的靠近，測線D0上γmax先有上升趨勢后下降。此時，對于孔洞附近測點(s≥306.5像素)，隨著向孔洞表面的靠近，測線D1上γmax有下降趨勢，在s=306.5像素附近，測線D1上γmax較大，其兩邊γmax都較小，這與該區域附近出現的應變不均勻區域有關。此時，對于孔洞附近測點(s≥140.8像素)，隨著向孔洞表面的靠近，測線D2上γmax有下降趨勢，在s=140.8像素附近，測線D2上γmax較大，其兩邊γmax都較小，這與該區域附近出現的應變不均勻區域有關。當εa=0.069 0時，測線D0上γmax分布不均勻，測線D0的γmax比測線D1和D2上的大。此時，隨著向孔洞表面的靠近，測線D0上γmax先上升至基本不變，再下降，后上升。當εa=0.069 0時，測線D0上中部區域的γmax較大，高達0.177 9，這說明剪切帶D啟動于測線D0中部某一位置，逐漸向外發展。此時，對于孔洞附近測點(s≥314.8像素)，隨著向孔洞表面的靠近，測線D0上γmax有上升趨勢，這與孔洞表面一定程度的γmax集中有關。當εa=0.069 0時，剪切帶D與當εa=0.039 4時出現的應變不均勻區域相比，剪切帶較陡。當εa=0.069 0時，對于孔洞附近測點(s≥306.5像素)，隨著向孔洞表面的靠近，測線D1上γmax有下降趨勢，這應與剪切帶外彈性應變降低(卸荷)有關。此時，對于孔洞附近測點(s≥331.3像素)，隨著向孔洞表面的靠近，測線D2上γmax有上升趨勢，這應與孔洞表面附近出現的應變不均勻區域有關。

表2給出了4個土樣不同εa時各條測線上γmax的平均值?？梢园l現，對于56#土樣，測線A0上γmax遠大于帶外測線A1和A2，測線A0上γmax的均值是帶外的2.15～10.78倍；當εa=0.024 5時，其倍數最大；隨著εa的增加，測線A0上γmax的均值先下降再增加；測線A1上γmax有類似的演變規律，而測線A2上γmax的均值一直增加，這應與孔洞右幫偏上發展出的剪切帶有關。對于17#土樣，測線B0上γmax的均值是帶外的0.81～9.02倍；εa越大，其倍數越大；在測線B0上γmax快速增加的同時，兩側測線B1、B2上γmax也在變化，但變化不大。2#土樣和8#土樣表現出與17#土樣相類似的規律，不再贅述。

表2 土樣不同εa時不同測線上γmax的平均值Table 2 Mean of γmax at different monitored lines for different εa of clay specimens

下面，對孔洞表面附近和離孔洞較遠處測線上γmax的演變規律進行綜合分析。

首先，對孔洞表面附近測線上γmax的演變規律進行分析。對于剪切帶內而言，當εa較高時，土樣測線上γmax隨著向孔洞表面的靠近而增加，這應與孔洞表面附近的應變集中現象有關。例如，當εa≥0.076 7，且s≥281.7像素時，17#土樣的測線B0，當加載速率較低時，土樣中的一些原生缺陷或裂隙能夠得到發展，而當加載速率較高時，這些內部缺陷來不及發展。對于剪切帶外而言，大多數測線上γmax隨著向孔洞表面的靠近而逐漸下降，這應與剪切帶內損傷導致帶外彈性應變降低(卸荷)有關。離孔洞表面越近，帶外卸荷程度越大。

然后，對離孔洞較遠處測線上γmax的演變規律進行分析。對于剪切帶內而言，除了17#土樣，當εa較高時，其他土樣測線上γmax隨著向孔洞表面的靠近而增加，這與越靠近孔洞γmax的集中程度越大有關。對于17#土樣中的剪切帶B，隨著向孔洞表面的靠近，測線B0上γmax先上下波動，再下降，這應與剪切帶B由土樣右上角向孔洞表面發展有關。對于剪切帶外而言，測線上γmax隨著向孔洞表面的靠近，變化規律較為復雜。例如，隨著向孔洞表面的靠近，當εa≥0.048 4，且s≤48.29像素時，17#土樣的測線B2上γmax有下降的趨勢，當εa≥0.034 8，且s≤109.5像素時，2#土樣的測線C2上γmax有上升的趨勢，當εa≥0.039 4，且s≤140.8像素時，8#土樣的測線D2上γmax有上升的趨勢。

3 結論

1)當加載速率較低，且縱向應變達到一定值時，在含孔洞土樣的孔洞頂部和底部發展出的高角度應變局部化帶是由拉破壞導致的，而當加載速率較高時，未出現上述現象。

2)含孔洞土樣剪切帶內測線上最大剪切應變的均值往往大于帶外測線，最大可達10倍，通常，縱向應變越高，剪切帶內測線上最大剪切應變的增速越大于帶外測線。

3)當縱向應變較高時，在孔洞表面附近，隨著向孔洞表面的靠近，大多數剪切帶內測線上最大剪切應變逐漸增加，而大多數帶外測線上最大剪切應變逐漸下降，這與帶內損傷導致帶外彈性應變降低有關。當縱向應變較高時，在離孔洞表面較遠處，隨著向孔洞表面的靠近，大多數剪切帶內測線上最大剪切應變逐漸增加，而帶外測線上最大剪切應變變化復雜。