冪級數收斂半徑和收斂域的求解探討
——如何培養學生的創新思維

劉 洋

(廣東省佛山市廣州工商學院三水校區 510850)

一、冪級數的收斂半徑

關于此冪級數的收斂半徑的求法可直接利用下面的定理.

二、不同類型的冪級數收斂半徑和收斂域的求法

本文對標準型冪級數求它們的收斂半徑和收斂域的求解進行研究.冪級數的形式多樣，不同類型冪級數的求解方法各異，但本文主要把不同類型冪級數通過換元的方法化為標準型冪級數后，再進行求解.

(2)求收斂域(即考察端點x=±R的斂散性).

2.“一般型”化為“標準型”的求法

通過換元將“一般型”化為“標準型”，利用標準型求解.

綜上，原級數的收斂域為[4,6)，收斂半徑R=1.

3.“有缺型”化為“標準型”的求法

通過逐項積分或逐項求導或換元將“有缺型”化為“標準型”，利用標準型求解.

三、歸納總結一般規律

(3)求收斂域(即考察端點x=±R的斂散性).由于求收斂域和收斂半徑題目類型多樣，為更好更快地解決問題，需要按“標準型”、“一般型”和“有缺項”三種類型求解.在上述過程中我們以“標準型”、“一般型”和“有缺項”三種類型的三個例題通過換元化為“標準型”來具體說明求收斂域和收斂半徑的求解方法，最后總結出一般的規律.

本文利用現有的有用信息定理1，舉例講解例1，讓學生自己去理解體會標準型冪級數求解收斂半徑和收斂域的步驟，進一步探索和想出可供選擇的信息進行考慮不同類型的冪級數的求解方法.本文中冪級數收斂半徑和收斂域的求解方法按不同的類型化歸同一種類型求解的對分課堂，不僅激發了學生學習數學的興趣，而且還培養了學生的創新思維.