串并聯系統可靠度置信下限計算方法

傅惠民， 文歆磊， 楊海峰

（北京航空航天大學 小樣本技術研究中心， 北京 100191）

0 引言

眾所周知， 由相互獨立的子系統組成的串聯系統可靠度等于各子系統可靠度的乘積，但是，串聯系統可靠度單側置信下限是否也等于各子系統可靠度單側置信下限的乘積？同樣，并聯系統不可靠度等于各子系統不可靠度的乘積， 而并聯系統不可靠度單側置信上限是否也等于各子系統不可靠度單側置信上限的乘積？ 這一問題長期以來沒有得到嚴格證明， 因此工程上一般不敢將子系統的置信限簡單相乘。 文獻[1]還通過實例計算說明置信限不能相乘，而文獻[2]則指出文獻[1]的實例計算有誤，但也承認這一問題還沒有得到嚴格證明。 串聯和并聯是工程上主要的系統連接形式， 其可靠度置信下限計算極其重要。 因此，人們先后提出了計算串聯系統可靠度置信下限的LM 法、MML 法、SR 法等[3]和計算并聯系統可靠度置信下限的LR 法、AWI 法、ML 法、AO 法等[4]，然而這些方法都無法考慮無失效數據子系統的失效可能性， 導致整個系統可靠度置信下限誤差較大，且偏于危險。

本文對此進行了深入系統的研究， 首先建立了串并聯系統各子系統置信限相乘的置信度干涉模型計算方法， 嚴格證明了串聯系統可靠度單側置信下限等于各子系統可靠度單側置信下限的乘積， 并聯系統不可靠度單側置信上限等于各子系統不可靠度單側置信上限的乘積，成功解決了這一難題。

1 串聯系統可靠度置信下限

設系統由m 個相互獨立的子系統（或部件、單元等）串聯構成，Ri為第i 個子系統的可靠度，則串聯系統可靠度R 等于各子系統可靠度Ri的乘積

定理1 設串聯系統的各子系統相互獨立， RL，i為第i個子系統可靠度Ri的置信水平為γ（γ≥50%）的單側置信下限

則該串聯系統可靠度R 的置信水平為γ 的單側置信下限RL由下式給出

即串聯系統可靠度單側置信下限RL等于各子系統可靠度單側置信下限RL，i的乘積。

下面分兩種情況對定理1 進行證明。 對于各子系統完全相同且相互獨立的情況，由于

所以

由此可知定理1 成立，證畢！

對于各子系統不完全相同且相互獨立的情況， 首先證明下面的引理。

引理設串聯系統由兩個相互獨立的子系統構成，RL，i為第i 個子系統可靠度Ri的置信度為γi的單側置信下限

令該串聯系統可靠度R 的單側置信下限RL=RL，1RL，2，則其置信度由下式計算

式中，X1=R1/RL，1，X2=RL，2/R2。

根據引理可知， 由兩個相互獨立的子系統構成的串聯系統可靠度R 的單側置信下限為RL=RL，1RL，2，其置信度可以通過隨機變量X1=R1/RL，1和X2=RL，2/R2的干涉模型計算。 當γ1=γ2=γ（γ≥50%）時，有

因此

隨機變量X1和X2的干涉模型如圖1 所示， 將X1和X2的概率密度函數繪制于同一坐標系下， 直線x=1 將X1的概率密度曲線下方的區域分割為區域A1和A2，將X2的概率密度曲線下方的區域分割為區域A3和A4。其中，區域A1和A3的面積均為γ，區域A2和A4的面積均為1-γ。

圖1 X1 和X2 的干涉模型

（1）X1在區域A1取值的概率為γ、X2在區域A3取值的概率也為γ，此時事件X1≥X2發生的概率為γ2，即

（2）X1在區域A2取值的概率為1-γ、X2在區域A4取值的概率也為1-γ，此時事件X1≤X2發生的概率為（1-γ）2，即

（3）X1在區域A1取值的概率為γ、X2在區域A4取值的概率為1-γ； 或X1在區域A2取值的概率為1-γ、X2在區域A3取值的概率為γ，顯然，此時事件X1≥X2發生的概率要大于事件X1≤X2發生的概率[5]。 因此，有

綜合上述X1和X2取值的三種情況可知，有

將X1=R1/RL，1，X2=RL，2/R2代入得

當γ（γ≥50%）為置信水平時，即

式（20）也同樣成立。 因此，對于兩個相互獨立的子系統構成的串聯系統，定理1 成立。若串聯系統包含m 個相互獨立的子系統， 可以先將前兩個子系統可靠度的單側置信下限相乘，再將這兩個串聯子系統看作一個新的子系統，與第3 個子系統可靠度的單側置信下限相乘，以此類推，即可證明當系統由m 個相互獨立的子系統串聯構成時，定理1 也成立。 證畢！

2 并聯系統可靠度置信下限

設系統由m 個相互獨立的子系統（或部件、單元等）并聯構成，Ri為第i 個子系統的可靠度，則并聯系統可靠度R 為

定理2 設并聯系統的各子系統相互獨立，RL，i為第i 個子系統可靠度Ri的置信水平為γ（γ≥50%）的單側置信下限

則該并聯系統可靠度R 的置信水平為γ 的單側置信下限RL由下式給出

即并聯系統不可靠度1-R 的單側置信上限1-RL等于各子系統不可靠度1-Ri的單側置信上限1-RL，i的乘積。

同樣，下面分兩種情況對定理2 進行證明。 對于各子系統完全相同且相互獨立的情況，即式（5）和式（6）成立。此時有

即定理2 成立，證畢！

對于各子系統不完全相同且相互獨立的情況， 令F=1-R，FU=1-RL，Fi=1-Ri，FU，i=1-RL，i。當系統僅由兩個相互獨立的子系統并聯構成時， 其可靠度R=1-F1F2的單側置信下限RL=1-FU，1FU，2的置信度由下式計算

式中，X1=FU，1/F1，X2=F2/FU，2。

若

則

由式（14）、式（15）和式（19）可知，有

將X1=FU，1/F1，X2=F2/FU，2代入上式，得

同理可證， 對于m 個相互獨立的子系統構成的并聯系統，定理2 也成立。 證畢！

3 傳統方法及其存在的問題

3.1 成敗型串聯系統可靠度置信下限計算方法

成敗型串聯系統在工程中較為常見，應用十分廣泛。 當前， 常用的成敗型串聯系統可靠性評估方法包括LM 法，MML法和SR 法等，下面簡單討論這些方法及其存在的問題。

3.1.1 LM法

Linstrom 和Madden 建立了成敗型串聯系統可靠度的近似限。 設第i 個子系統在ni次試驗中成功si次，i=1，2，…，m。 令

即可得到系統的等效試驗數n 和成功數s，進而根據二項分布可靠性置信下限分析方法求得給定置信度γ 下的系統可靠度單側置信下限RL。

從式（35）和式（36）可以看出，LM 方法不能很好地處理無失效試驗數據，下面進行詳細討論。

（1）當所有子系統的試驗結果均為無失效數據時，易得s=n=min{n1，n2，…，nm}，這導致系統的可靠度置信下限僅等于試驗次數最少的子系統可靠度置信下限，而沒有考慮其他子系統失效的可能性，因此可靠性評估結果偏于危險。

（2）當部分子系統的試驗結果為無失效數據，且試驗次數最少的子系統有失效數據時，由式（35）和式（36）可知， 這導致所有無失效數據的子系統試驗結果均對系統可靠度置信下限沒有貢獻， 即也沒有考慮串聯系統中無失效數據子系統的失效可能性，因此結果偏于危險。

（3）當部分子系統的試驗結果為無失效數據，且試驗次數最少的子系統沒有失效數據時，由式（35）和式（36）可知，這導致僅有該子系統的試驗次數參與了系統可靠度置信下限的計算，其余無失效數據的子系統試驗結果同樣也都對系統可靠度置信下限沒有貢獻，因此結果偏于危險。

3.1.2 MML法

修正極大似然估計法（MML 法）由Easterlin 提出。 對于m 個相互獨立子系統構成的成敗型串聯系統， 其等效試驗次數n、成功次數s 分別由下面兩式求得，在此基礎上進一步得到系統可靠度單側置信下限RL。

從式（37）和式（38）不難發現，當子系統的試驗結果為無失效數據時， 相應的ni和si對n 和s 的計算沒有任何貢獻，即MML 方法也不能考慮無失效數據子系統失效的可能性， 從而使系統可靠性評估結果偏于危險。 特別地，當所有子系統的試驗結果均為無失效數據時，式（37）出現0/0 的情況，已無意義。

3.1.3 SR法

為克服MML 法的局限性，Preston 進一步提出了序貫壓縮法（SR 法）。 其按照點估計不變原理逐次對試驗數據進行壓縮， 直至所有子系統的試驗數據被壓縮為一組數據，即為系統的等效試驗結果（n，s），具體流程見文獻[3]。

同樣， 對于無失效數據的子系統，SR 法也不能考慮其失效的可能性，所得系統可靠度置信下限可能冒進。此外， 當子系統個數較多時，SR 法在逐級壓縮的過程中會使得試驗信息丟失過多[3]。

3.2 成敗型并聯系統可靠度置信下限計算方法

傳統的成敗型并聯系統可靠性評估方法包括LR 法，AWI 法，ML 法和AO 法等，這些均為近似方法，有時誤差較大。文獻[4]通過大量的對比計算認為LR 法和AO 法較另外兩者稍好， 但是當某個子系統的試驗結果為無失效數據時，LR 法和AO 法均不能計算， 這極大地限制了其適用范圍。為此，文獻[6]提出了一種子系統失效數的近似方法，然而當子系統個數和試驗數均較小時，該近似方法求得的失效數比試驗總次數還大，顯然錯誤。

3.3 非成敗型系統可靠度置信下限計算方法

除成敗型二項分布外，工程實際中子系統（或部件、單元）的試驗結果可能服從對數正態分布、Weibull 分布、指數分布等多種類型，對此，工程上常采用點估計下限折算法，二階矩折算法、雙置信度下限折算法等折合方法[7]，將非成敗型試驗結果轉化為成敗型試驗結果， 再按照成敗型系統計算可靠度置信下限。

由于所用折算方法的不同、 以及同種折算方法中參數選取的不同， 常常導致同一組數據的折算結果不盡相同，人為因素較大。此外，當某個子系統的可靠度較高時，其折算后的結果可能為無失效數據， 使得該部分對系統可靠度評估結果沒有任何貢獻，甚至無法計算。

4 對比算例

設某系統由兩個相互獨立的子系統串聯構成， 子系統1 的試驗結果為：n1=100，s1=99； 子系統2 的試驗結果為：n2=100，s2=100。給定置信水平γ=0.9，分別使用LM 法、MML 法、SR 法和本文方法計算系統可靠度單側置信下限，結果匯總于表1。

表1 系統可靠度置信下限計算結果對比（γ=0.9）

從表1 可以看出，LM 法、MML 法和SR 法給出的系統可靠度置信下限均與子系統1 的可靠度置信下限相同，這等于沒有考慮子系統2 的失效可能性（其可靠度置信下限僅為0.977，實際上存在失效的可能性），導致整個系統可靠性評估結果偏于危險。 而本文方法則能同時考慮各個子系統失效的可能性，很好地解決了上述問題。

5 結論

建立了串（并）聯系統可靠度（不可靠度）置信下（上）限干涉模型，給出其置信度計算方法。 在此基礎上，嚴格證明了串聯系統置信水平為γ 的可靠度單側置信下限等于各子系統置信水平為γ 的可靠度單側置信下限的乘積， 并聯系統置信水平為γ 的不可靠度單側置信上限等于各子系統置信水平為γ 的不可靠度單側置信上限的乘積，從而解決了這一長期懸而未決的難題。

對于串并聯系統和并串聯系統，可以采用本文方法，分別通過先串聯再并聯或先并聯再串聯的方式計算系統可靠度的置信下限。

討論了傳統串并聯系統可靠度置信下限計算方法存在的問題，指出計算串聯系統可靠度置信下限的LM 法、MML 法、SR 法和計算并聯系統可靠度置信下限的LR法、AO 法都無法考慮無失效數據子系統的失效可能性，這導致整個系統可靠度置信下限誤差較大。 而本文方法則很好地解決了上述問題，且計算簡單，便于工程應用。