通脹對高管的股權激勵和工作努力策略的影響

費為銀，張繁紅，3，楊曉光

（1.安徽工程大學數理與金融學院，安徽 蕪湖 241000；2.中國科學院數學與系統科學研究院，北京 100190；3.上海財經大學數學學院，上海 200433）

1 引言

對公司治理理論中的激勵機制的研究一直是學術界的重要研究方向。根據委托代理理論，為了解決由信息不對稱產生的道德風險問題，從契約雙方共同利益的角度，企業所有者制定的股權激勵機制能夠有效激勵和約束高管的行為。吳崇和胡漢輝［1］研究表明，基于企業戰略機會評價，公司制定的激勵機制發揮了對高管的導向作用，在協同企業戰略和激勵的同時，引導高管平衡戰略投資和經營投資管理。過去的文獻主要探討的是高管的股權、薪酬和公司業績之間的相關關系［2-4］，其中股權激勵機制受到廣泛關注。

Dittmann和Maug［5］利用標準的委托代理有效合同模型來研究高管獲得的補償的合理性，發現高管不會獲得期權式補償，但高管會以個人財富購買所在公司的股票。Jensen和Murphy［6］研究發現高管的薪酬績效的敏感度受到管理人才市場的固有觀念的影響和約束，于是導致大部分CEO 持有少量的所在公司的股票。Hall和Liebman［7］與Core 和Larcker［8］表明CEO 股權式補償的獲得和公司績效間存在著相關性。Ai和Li［9］使用新古典投資模型驗證了CEO 的薪酬模式與以往績效存在相依關系。本文試圖在動態規劃模型下研究股權激勵的框架。

對于得到股權激勵的高管，無論高管的績效薪酬是否受到業績條件的約束，高管的業績補償都將全部反映在個人財富中，并且高管對個人財富會進行優化分配。劉銀國等［10］研究了高管的股權激勵與盈余管理模式選擇問題，發現高管的股權激勵的預期效果受到行權業績條件的影響。Bettis等［11］調查發現為了避免股權式補償的約束，高管通常在外部市場上利用領式期權或者掉期交易方式對持有的公司股票進行套期保值。Ofek和Yermack［12］表明當高管持有的公司股票達到一定水平時，高管不僅會獲得股權分紅收益，而且會對個人的投資組合進行重新優化。并且Garvey和Milbourn［13］研究發現高管對個人投資組合的優化調整可以實現風險規避，結果表明持有公司股票的高管的投資組合收益幾乎不受市場風險的影響。Bolton等［14］發現風險厭惡企業家的凈資產過度暴露于非系統風險之下，而對系統性風險的敞口則較低。從以上文獻結果分析，現實中為了規避所在公司股價的不確定風險，持股高管會主動在市場中配置其他資產賬戶以優化個人投資組合，因此本文在構建高管的總體資產模型時，考慮到了銀行無風險資產賬戶與市場投資組合賬戶。

在構建高管的資產價格動態模型時，公司的股票價格過程受到高管的工作努力策略的影響。Cadenillas等［15］構建了高管的資產動態的隨機模型，其中控制變量包括高管的工作努力參數和公司股票價格過程的波動率。Desmettre等［16］研究了一致連續時間上的高管股權激勵和工作努力策略的基本框架，其中高管的工作努力策略表現為公司股票價格過程的夏普率，但在構建高管資產組合模型時，沒有考慮市場存在的不確定因素對資產價格的影響。

考慮到高管在實際個人資產會受到市場通脹不確定的影響，本文對高管的名義財富過程進行通脹折現來得到真實的財富過程，并把預期的終端真實財富效用最大化作為高管的目標。從20 世紀70年代的以來研究文獻看，在研究動態投資組合最優化問題時，許多學者考慮到了市場中的通脹因素。Brennan和Xia［17］考慮到市場環境存在的通脹風險，利用鞅方法研究了動態投資組合最優化問題。Siu［18］在研究長期戰略資產配置問題時引入了市場中存在的通脹風險因子，并利用鞅方法得到了配置策略的優化方案?；贐rennan和Xia［17］的研究，姚海祥等［19］采用連續時間均值-方差模型，在通脹環境下研究了投資組合最優策略問題。Wang等［20］發現在不完全市場下，企業家流動性資產和風險管理受到非系統風險溢價的影響。費為銀和李淑娟［21］以及梁勇等［22］研究了通脹和Knight不確定因素對最優投資組合策略的影響。費為銀等［23］研究了含糊厭惡的投資者的最優投資組合問題，并且同時考慮了通脹和極端事件沖擊的影響。費為銀等［24］在遞歸效用情形下，利用動態規劃原理，得到了帶通脹的最優消費與投資組合策略。費為銀等［25］在通脹環境下，研究了存在激勵的對沖基金經理人的投資組合的最優策略問題。費晨等［26］從概率統計模型存在的不確定性的角度，研究了代理人的道德風險對契約的執行過程和契約存續情況的影響。隨后費為銀等［27］研究了在Knight不確定下單邊有限承諾的最優契約設計問題。李愛忠等［28］研究了通貨膨脹、隨機利率和交易成本等因素影響下的連續時間投資組合選擇的最優化問題。

通過對上述文獻分析，發現目前的研究重點主要為股權激勵效用與公司業績的相關性，但事實上，公司對高管的股權激勵應該首先對高管產生影響，進而影響公司業績。在市場環境存在通脹不確定因素下，不同特質的高管會采用不同的行為模式，那么公司該如何建立針對不同特質高管的激勵合同，相關方向值得研究。本文構建了動態隨機模型，隨后利用隨機控制理論和方法推導出高管的最佳個人投資和工作努力策略，并分析了不同特質高管的預期行為，為公司與高管建立激勵合同提供了參考。本文以公司中高管的股權激勵研究為基礎，結合我國市場通脹的實際情況，分析了在通脹下高管的股權激勵和工作努力策略問題，對企業中股權激勵制度對高管的行為影響盡可能的進行了研究。

2 金融市場基礎框架

本文在Desmettre等［16］研究的框架基礎上，引入通脹動態方程。金融環境中的三個布朗運動Zt，和定義于帶流概率空間 （Ω，F，（F t）t≥0，P），其中Z t定義為通脹下的隨機狀態，和分別為市場投資組合價格過程與公司股票價格過程的相應隨機狀態，并且。高管的投資組合賬戶包括：公司股票資產賬戶，銀行無風險資產賬戶和市場投資組合賬戶。其中銀行無風險資產的名義價格 （）t≥0為：

其中r表示銀行無風險利率；投資于市場投資組合的名義價格為滿足：

其中市場投資組合的預期回報率和預期波動率分為μP和σP；投資于公司股票的名義資產賬戶為：

（1）式中常數β∈R+為高管所在公司的貝塔系數，μS表示非系統預期回報率，σS為非系統預期波動率。高管的名義控制策略為 （μS，σS）。

于是高管的名義財富過程為：

考慮到市場通脹因素對高管的名義財富的影響，引入通脹動力學方程：

其中μA為預期通脹率，σA為預期通脹波動率。利用伊藤公式得：

設高管在t時刻的真實財富過程V t由等式演變，利用伊藤公式得：

高管的名義財富過程為：

整理得到高管的真實財富過程為：

另一方面，考慮到高管會因工作而產生效用損失，表示為c（t，v，μS，σS），并且c：［0，T］×R+× ［r，+∞］×R+→R+是一個的連續函數，由于λ可以表示為 （μS，σS）的函數形式λ=（μS-r-σAσSρ2）／σS，那么基于Desmettre等［16］中引理1 對高管的工作效用損失的分析，這里類似有存在且唯一的σ*（t，v，λ），并且以λ為變量的負效用函數在t時刻滿足：

即

這里，σ*（t，v，λ）表示使得高管工作效用損失最小的公司股票價格過程的波動率。為確保工作努力控制策略的最優，我們將σ*（t，V t，λ）替換（2）式中σS。

于是得到高管的最優投資組合與工作努力控制策略問題的值函數為：

其中V t=v，（t，v）∈ ［0，T］×R+，A（t，v）表示｛F u：t≤u≤T｝域流上t時刻的投資組合和工作努力控制策略的集合。

3 最優策略

與Desmettre等［16］對財富效用函數的設置一致，考慮通脹折現后，本文對高管真實財富過程分別在經典的效用函數和工作負效用函數的模型下進行分析。高管的特質參數γ表示他的風險厭惡程度。針對不同的風險厭惡的高管，真實財富效用函數U為：

工作負效用函數為：

其中κ＞0與α＞2分別表示高管的逆工作效率參數與負效用強度參數，在后文中得到的最優工作努力控制策略λ與κ，α直接相關。α＞2表示工作產生的負效用與工作努力水平的指數增長關系。真實財富效用與工作負效構成高管的總體效用，高管的目標是個人真實財富終端預期效用最大化。

與Desmettre等［16］一致，風險厭惡γ與高管的職業水平相關。直觀上，當γ=1時，他的財富效用服從對數函數，且工作負效用與財富無關。風險厭惡程度較低（0＜γ＜1）的高管職業素養和水平都較高，而且財富的增長會為高管帶來激勵作用；而對于風險厭惡程度較高（γ＞1）的高管則較復雜，財富的增長并未帶給高管激勵作用，而且此時財富v增長，那么高管工作努力水平提高，但v1-γ減小，所以無法判定效用損失c*（t，v，λ）的增減趨勢。與Desmettre等［16］一樣，本文討論了冪效用情形 （γ＞0，γ≠1）和對數效用情形 （γ=1）。

利用動態規劃原理得到帶有股權激勵的高管最優投資組合與工作努力控制策略問題（3）的HJB方程為：

其中 （t.v）∈ ［0，T］×R+，v∈R+。算子L（π，λ）的形式如下

解（6）式得高管財富的最優投資資產比例πP*與πS*為：

通脹下由高管控制的最優工作努力策略夏普率λ的隱式方程為：

將πP*和πS*帶入（5）式得：

注意到因為市場產生的通脹來自于宏觀調控，對于單個公司的股價來說這種影響很小，所以后文的解析解和數值模擬中相關系數ρ2=0。

定理1在冪效用情況下（γ＞0，γ≠1），得到最優化問題（3）的解為：

價值函數為：

其中

這里

證明首先分析函數F（λ）=aλ2-bλα，其中給定a＞0，b＞0，α＞2且有唯一的最優解λ*和最大值F（λ*），分別為：

將最優解λ*代入（7）得到，于是有：

那么（8）式變為：

并代入（10）得：

化簡得：

于是可得f（t）的表達式。至此，定理1證畢。

定理2財富效用服從對數函數時，解問題（3）得：

價值函數為：

證明：將函數F（λ）=aλ2-bλα的最優解λ*和最大值F（λ*）代入（7），有，于是得到：

對數效用下的（7）式變為：

假設價值函數

為了更直觀反映現實情形，本文對高管的工作努力水平設定基礎值λ0＞0。λ*表示契約期限最高T內高管最優工作努力策略，引入基礎參數λ0后，得到的負效用函數變為：

根據定理2，對數效用下高管的最優工作努力控制策略的解為：

為符合基本的工作努力控制策略要求λ*≥λ0＞0，于是有1／κ＞。

根據定理1，冪效用情形下最優工作努力控制策略的解為：

其中

根據定理1的最優解（9）和（15），高管個人財富中的公司股票賬戶的最優投資比例為：

4 數值分析與經濟學解釋

定理1 和2 得到了在不同預期財富效用函數（以高管的風險厭惡程度作為區分依據）下問題（3）得到解析解。接下來研究通脹對高管的股權激勵和工作努力策略的影響，在分析時將工作努力策略直觀化為工作努力水平。數值模擬中給定銀行無風險資產賬戶的利率r=5%，市場投資組合賬戶的預期回報率μP=7%，市場投資組合的預期波動率σP=20%，布朗運動相關系數為ρ1=1，預期通脹率為μA=6%，基礎工作努力水平為λ0=0.10。對于高管價值函數不同的效用情形，我們利用Matlab軟件對（14-16）進行模擬運算和定量分析，并就結果給出對應的經濟意義上的解釋。

高管個人投資組合中公司股票賬戶的最優比例的表達式分別為（9）式和（12）式，與公司股票價格過程的預期波動率σ*存在相依性。為了利于定量分析通脹風險因子和高管個人投資組合中的公司股票賬戶的最優比例之間的關系，這里給定公司股票價格過程的波動率σ*=40%。

4.1 在對數效用情形下（高管風險厭惡參數γ=1）

由（14）式模擬圖1和圖2。圖1顯示最優工作努力水平λ*與工作效率1／κ正相關。圖2表示由于工作負效用強度α增大，高管的工作努力水平λ*會逐漸降低。本文的（14）式與Desmettre等［16］相同情形下的結果形式上是一致的，但從微觀經濟學的角度分析，對數效用下的最優投資策略對公司來說是“急功近利”的短視行為。具體的可以由（14）和（12）分析出公司股票占高管個人財富的最優比例與通脹風險因素無關，但是根據（11），高管財富中市場投資組合的最優比例是隨通脹波動率的增加而減小，從而影響了公司股票占高管個人財富的最優比例，進而影響高管的個人財富的投資策略。

圖1 在不同工作負效用強度下高管工作努力最優策略λ* 與工作效率1／κ的關系

圖2 在不同工作效率下高管工作努力最優策略λ* 與工作負效用強度α的關系

4.2 在冪效用情形下（高管風險厭惡參數γ＞0且γ≠1）由于

由（15）式和（16）式繪制的圖3-圖8，工作效率參數1／κ=2000，工作負效用強度參數α=5。圖3-圖6中時間t=5，圖7和圖8選取的預期通脹波動率σA=15%。圖3 表示在風險厭惡程度較低時（0＜γ＜1），橫向觀察到工作努力水平是隨著風險厭惡的增加而逐漸降低。而從縱向來看，工作努力水平隨著通脹波動增加而提高，這種情形下高管對通脹風險表現為近乎喜好的程度。圖4表明對于風險厭惡程度較高的高管（γ＞1） ，市場中通脹波動率的增強導致工作努力水平也呈下降。從圖5和圖6看出，當風險厭惡程度較低 （0＜γ＜1） 的高管的工作努力水平與最優持股比例幾乎不受通脹率的影響，表明高管看好公司股票，且對通脹對公司股價的影響持樂觀態度；而風險厭惡程度較高（γ＞1） 的高管則相反。由圖7和圖8的對比可以看出風險厭惡程度較高（γ＞1） 時，高管的工作努力水平變化幅度較大。

圖3 不同預期通脹波動下工作努力最優策略λ* 與風險厭惡參數γ的關系

圖4 不同預期通脹波動下工作努力最優策略λ* 與風險厭惡參數γ的關系

圖5 差異風險厭惡程度下工作努力最優策略λ* 和預期通脹波動率σA 的關系

圖6 差異風險厭惡參數下最優持股比例πS* 和σA 的關系

圖7 工作努力最優策略λ* 隨風險厭惡參數γ和時間的關系

圖8 工作努力最優策略λ* 隨風險厭惡參數γ和時間的關系

由（15）式和（16）式模擬的圖9-圖12，負效用強度參數和風險厭惡參數分別為α=5和γ=2，圖9-圖11中時間參數t=5，而圖12中預期通脹波動率為σA=15%。從圖9-圖11表明高管的工作努力水平是隨工作效率的增加而提高。當市場通脹波動率增大時，高管的最優工作努力水平與最優持股比例都呈現下降趨勢，直觀理解為高管謹慎地應對通脹風險。高管的較高工作效率對應著較高的工作努力水平，當通脹風險變大時，高管降低持股比例。圖12表現高管的工作努力水平與工作效率正相關。由（15）式和（16）式繪制的圖13-圖16，選取工作努力參數1／κ=2000，高管的風險參數γ=2，圖13-15中高管任期時間為t=5。圖16中預期通脹波動率σA=15%。圖13-15表現隨著工作負效用強度的增加，高管的工作努力水平呈下降趨勢?？v向來看，市場通脹波動率變大時，為規避風險，高管的最優工作努力水平與最優持股比例緩慢降低，直觀上高管對通脹持謹慎態度。圖16表現高管工作努力最優策略隨工作負效用強度的增加而減小。

圖9 不同預期通脹波動下高管工作努力最優策略λ* 與工作效率1／κ的關系

圖10 不同工作效率下高管工作努力最優策略λ* 與預期通脹波動率σA 的關系

圖11 差異工作效率情形下最優持股比例πS*和預期通脹波動率σA 的關系

圖12 高管工作努力最優策略λ* 隨工作效率1／κ和時間的關系

圖13 預期通脹波動率σA ，最優工作努力水平λ* 和工作負效用參數α的關系

圖14 工作負效用強度參數α，最優工作努力水平λ*和預期通脹波動率σA 的關系

圖15 不同工作負效用強度下最優持股比例πS* 和預期通脹波動率σA 的關系

圖16 高管工作努力最優策略λ* 隨工作負效用參數α和時間的關系

由（15）式和（16）式模擬的圖17-圖22，選取工作效率參數1／κ=2000，風險厭惡程度為γ=2和工作負效用參數為α=5。圖17 和圖18 短期契約執行中市場通脹風險的增大，會導致高管的最優工作努力水平與最優持股比例降低，這是因為短期契約缺少長遠的共同利益，通脹風險的提高使得高管對持有的公司股票進行套現。而圖19和圖20表明，長期契約則情形相反，這是因為長期的共同利益誘導高管看好公司的發展前景。圖21和圖22表現高管的最優工作努力水平與公司股票占高管個人財富的最優比例都是隨契約期限的延長而提高，直觀上理解為長期契約能夠誘導高管從長遠利益的角度出發，減少短期套現的可能。另一方面當市場預期通脹波動較小時，從圖21和圖22觀察到高管付出較高的工作努力水平，并且最優持股比例也較高。

圖17 在不同時間內高管的工作努力最優策略λ* 和預期動σA 的關系

圖18 不同契約期限最優持股比例πS* 與預期通脹波動率σA 的關系

圖19 不同預期通脹波動σA 下高管的工作努力最優策略λ* 與時間的關系

圖20 不同預期通脹波動σA 下最優持股比例πS* 與時間的關系

圖21 高管的工作努力最優策略λ* 隨預期通脹波動σA 和時間的變化關系

圖22 最優持股比例πS* 隨著預期通脹波動率σA 與時間的關系

5 結語

本文基于Desmettre等［16］的研究框架，但區別在于Desmettre等［16］對高管薪酬的研究，而本文是在通脹環境下研究了高管的股權激勵和工作努力最優策略問題。在研究方法上利用了伊藤公式來得到了高管的總體真實財富過程。

本文的研究表明：對數效用情形下，高管的最優持股比例未直接受到市場通脹風險增大的影響，但是高管的市場投資組合賬戶的財富比例因此而減小，從而間接影響到高管的總體財富的投資比例。冪函數情形下，職業水平較高的高管風險厭惡程度較低，而且采取的工作努力水平較高；但由于受到工作所產生的效用損失的約束，為了達到預期終端真實財富效用最大化的目標，高管需要做出權衡。當公司與高管執行長期的且包含股權激勵的契約時，而且長期的共同利益誘導高管選擇是看好公司的發展前景并做出最利于公司發展的行為，這種情形下市場通脹風險對高管的最優努力水平與最優持股比例幾乎沒有影響；當公司與高管執行包含股權激勵的短期契約時，缺乏長遠的共同利益誘導了高管的短視行為，所以當市場通脹風險變大時，高管減少努力并減小持股比例。本文結論對公司的股權激勵理論做了有益的補充。