考慮剪力滯效應影響的箱形梁彎曲剪應力分析

張玉元，張元海，張 慧

(蘭州交通大學 土木工程學院，蘭州 730070)

目前國內外學者對箱梁彎曲變形已開展了比較深入的研究，同時也取得了不少研究成果，特別是對箱梁剪力滯效應的研究，其部分研究成果已被納入橋梁設計規范.文獻[1-3]首次提出運用能量變分法研究矩形箱梁的剪力滯效應以來，國內學者運用此方法開展了特殊支承體系及變截面箱梁的剪力滯效應理論研究[4-7].眾所周知箱梁的剪力滯效應僅是對截面正應力開展的研究[8-10]，但對剪力滯翹曲剪應力分布規律及其對初等梁剪應力的影響研究卻甚少，因此開展翹曲剪應力的研究具有一定的理論意義和工程意義.

現有文獻對彎曲剪應力的計算方法和規律研究主要以初等梁剪力流分布狀態、多室箱梁腹板剪力流分配等方面開展的.宋光吉[11]從力學角度推導了斜彎橋的剪力流計算公式，為簡化剪應力計算和討論其影響提供了新思路.李麗園等[12]在分析彎曲剪力流的基礎上，將剪切變形納入翹曲縱向位移模式，研究了截面尺寸參數對剪力滯效應的影響.王強等[13]將多室箱梁彎曲剪力流計算公式應用于鋼箱梁，并分析了截面幾何參數對腹板剪力流分配的影響.喬朋等[14]以單箱雙室和三室波形鋼腹板組合箱梁為例，通過有限元建模和試驗等方法，研究了橫向對稱荷載和偏載作用對鋼腹板剪應力分配的影響研究.武海鵬等[15]從彈性微元段的受力平衡出發，導出適應于變截面波形鋼腹板箱梁的剪應力計算公式，并分析了多種荷載作用下變截面鋼腹板的剪力傳遞效率.

本文運用彈性力學方法及位移協調方程建立考慮剪力滯效應影響的箱梁彎曲剪應力計算公式，以集中荷載作用下的簡支箱梁為例，研究翹曲剪應力沿截面的分布規律及其在初等梁剪應力中所占比重，進而對工程設計中計算彎曲剪應力時是否考慮剪力滯效應的影響提供借鑒.

1 初等梁彎曲剪應力

如圖2所示，在箱梁截面上任意點P處取壁厚為t的微元體ds×dz，按照初等梁應力狀態進行受力分析，建立正應力和剪力流平衡微分方程，如下：

(1)

上式對s積分可得：

(2)

式中：qA為箱梁橫截面頂板中點切口處的常剪流.

將初等梁彎曲正應力計算公式σ0=My/Ix和彎矩與剪力之間的微分關系代入式(2)中可得：

(3)

閉口截面箱梁在切口處應滿足位移協調條件，即切口處無剪應變∮γds=0，將初等梁剪力流表達式(3)代入該方程可得常剪流表達式，如下：

(4)

將常剪流計算公式(4)代入式(3)可得：

(5)

(6)

根據剪力流與剪應力之間的關系，可導出初等梁剪應力τ0計算公式，即：

(7)

由于箱梁橫截面靜面矩關于y軸反對稱，因此取箱梁y軸左半部分為分析對象即可.根據積分起止點將左半截面以形心軸為界分為上下兩部分，則截面左半部分任一點處的靜面矩公式可表達為

形心軸以上部分：

在1→2段：Sx=-hutus;

在3→2段：Sx=hutus;

形心軸以下部分：

在6→5段：Sx=-hbtbs;

由初等梁剪應力計算公式可知，上、下翼板剪應力沿水平方向按照一次線性函數分布，其合力為零，兩側腹板沿豎向呈二次拋物線分布，其合力方向與剪力一致，可見腹板承擔了豎向剪力.為了驗證腹板剪應力合力為豎向剪力，下面采用積分法予以證明.

(8)

式中：Qf為橫截面腹板剪應力的合力.

2 剪力滯翹曲剪應力

將圖2按照剪力滯翹曲應力狀態分析，則翹曲正應力σω和剪力流qω之間的微分關系可表達為

(9)

上式對s積分可得：

(10)

式中：qAω為剪滯翹曲變形時箱梁橫截面頂板切口處的常剪流.

qω=Ef?Sω+qAω.

(11)

同樣，對于剪力滯翹曲變形而言，頂板切口處無翹曲剪應變∮γωds=0，將翹曲剪力流表達式代入該方程可得常剪流表達式，如下：

(12)

將剪滯翹曲常剪流計算公式(12)代入剪流計算公式(11)可得：

(13)

翹曲中心以上部分：

翹曲中心以下部分：

qω=Ef?Sω,

(14)

同理，可給出翹曲剪應力τω計算公式，即：

(15)

剪滯翹曲剪應力計算公式(15)可知，只要知道截面翹曲靜面矩和剪力滯附加撓度的計算公式，即可得到截面任一點的翹曲剪應力.對于剪力滯附加撓度的求解，可應用文獻[16]中方法直接導出.

3 簡支箱梁剪應力解析解

如圖3所示，簡支箱梁受集中荷載P作用，根據文獻[16]建立的剪力滯附加撓度微分方程，可給出附加撓度f(z)的一般表達式，如下：

(16)

式中：下標1、2代表集中荷載作用點左、右梁段內的撓度和應力.

為了確定上式中的8個參數，需利用以下8個邊界條件和連續性條件：

利用以上8個邊界條件確定常數C1～C8后，即可得到箱梁剪力滯附加撓度的計算公式，如下：

(17)

當集中荷載P作用于跨中截面時，a=b=l/2，其附加撓度f(z)表達式如下：

(18)

式(18)求三階導數并代入翹曲剪應力表達式(15)可得簡支箱梁截面任一點的翹曲剪應力表達式如下：

(19)

將翹曲剪應力和初等梁剪應力疊加后得到箱梁截面任一點處的彎曲剪應力表達式，如下：

(20)

4 算例分析

運用本章導出的等截面初等梁和剪滯翹曲剪應力計算公式計算并繪制l/4截面剪應力橫向分布圖及截面關鍵點剪應力縱向分布圖；借助有限元ANSYS軟件中的shell63單元，對該箱梁模型進行有限元數值分析，共劃分劃分6 422個節點，6 400個單元，提取l/4截面計算點的剪應力和關鍵點剪應力沿縱向的計算值，將本文解和ANSYS解一并畫在圖中，如圖5～7所示，相應關鍵點應力對比如表1～2所列.

圖5示出了等截面簡支箱梁l/4截面翹曲剪應力的橫向分布圖，以x軸正坐標(左半截面)為例來揭示翹曲剪應力沿橫向的分布規律.上翼板翹曲剪應力有正有負，在上翼板與腹板交匯處以左區域表現為逆時針，以右部分表現為順時針，在x=0.06 m處順時針翹曲剪應力達到最大，在x=0.14 m處逆時針翹曲剪應力達到最大；底板翹曲剪應力表現為順時針，同樣在x=0.06 m處達到最大；翹曲中心附近的腹板區域翹曲剪應力表現為逆時針，其余部分表現為順時針，腹板下緣翹曲剪應力幾乎是上緣翹曲剪應力的4倍.

圖6示出了等截面簡支箱梁l/4截面剪應力橫向分布圖，結合表1可以看出：初等梁剪應力和總剪應力與ANSYS數值解吻合良好，進而驗證了本文方法的正確性.對于上翼板而言，在x=0.06 m處，翹曲剪應力與初等梁剪應力的比值為0.72%；在x=0.14 m處，二者比值為2.62%；對于底板而言，在x=0.06 m處，二者比值為2.11%；在腹板下緣處二者比值為0.85%；由此可見，翹曲剪應力在初等梁剪應力中所占比重較小，可忽略不計.翼板初等梁剪應力和總剪應力在橫向呈一次線性分布，在腹板與翼板交匯處達到最大；腹板剪應力沿豎向呈二次拋物線分布，在腹板形心處達到最大.

表1 簡支箱梁l/4截面計算點剪應力對比

表2 簡支箱梁關鍵點翹曲剪應力縱向對比

圖7示出了等截面簡支箱梁截面關鍵點剪應力縱向分布圖，結合表2可以看出：翹曲剪應力和總剪應力關于跨中截面反對稱；對于翹曲剪應力而言，從數量關系上來看，腹板上緣最小，腹板翹曲中心次之，腹板下緣最大；翹曲剪應力由兩側支點向跨中遞增，靠近跨中截面處應力值遞增幅度較大，不能客觀反映翹曲剪應力的本質規律，究其原因在于跨中作用集中荷載所致.對于總剪應力而言，腹板形心處最大，腹板上緣次之，腹板下緣最小，這一規律與初等梁剪應力規律一致.

5 結論

結合集中荷載作用下的簡支箱梁算例得到以下幾個結論：

1) 本文運用微元體平衡微分方程和位移協調條件導出了箱形梁的初等梁剪應力和剪力滯翹曲剪應力計算公式，結合文獻[16]給出的剪力滯附加撓度微分方程建立了考慮剪力滯效應的簡支箱梁彎曲剪應力計算公式.算例分析表明，本文計算結果與有限元數值解吻合良好，從而驗證了本文理論的正確性.

2) 彎曲剪應力橫向分布研究表明，翹曲剪應力沿橫截面流向與初等梁流向相反，僅在腹板翹曲中心區域與初等梁流向一致，可見翹曲剪應力對初等梁剪應力具有一定的削弱作用；剪力滯翹曲剪應力遠小于初等梁剪應力，就本算例而言，l/4截面的翹曲剪應力在初等梁中所占比重最大為2.62%.

3) 彎曲剪應力縱向分布研究表明，翹曲剪應力和總剪應力關于跨中截面反對稱；對于翹曲剪應力而言，腹板上緣最小，腹板下緣最大，下緣翹曲剪應力幾乎是上緣的4倍.