白偉華
(韶關學院 韶州師范分院數學系,廣東 韶關512009)
在概率論中,隨機變量的分布函數刻畫了隨機變量的統計規律。但有時分布函數或概率密度這些工具使用起來并不方便,如計算獨立隨機變量和分布的概率密度,用卷積求很麻煩,過于復雜,通過數字特征并不能完全反映出隨機變量的分布規律,但確定它的特征函數比較容易。由于分布函數和特征函數之間有一一對應關系,在得知特征函數后就可知道分布函數。經過不斷探索與研究,發現特征函數是處理許多概率論問題的有力工具。
現將本研究中涉及的有關概念及結論列舉如下,不予證明,詳見(1)(2)。
設x是隨機變量,稱復隨機變量eitx=costx+isintx的數學期望。
fx(t)=E(eitx)=E(costx)+iE(sintx),-∞ (1) 為x的特征函數。 因為對任何實數t,E|costx|≤1,E|sintx|≤1, 所以fx(t)對一切實數有定義,即任一隨機變量的特征函數總是存在的。 當離散型隨機變量x的分布律為:pk=p(x=xk),k=1,2,… 則x的特征函數: (2) 當連續型隨機變量x的概率密度函數為p(x), 則x的特征函數: (3) ①fx(o)=1, |fx(t)|≤1 -∞ ③設y=ax+b,其中a,b是常數,則fy(t)=eitbfx(at) ④設x,y獨立,則fx+y(t)=fx(t)·fy(t) 若x是連續型隨機變量,其概率密度函數為p(x),有特征函數fx(t),則有 設隨機變量x的分布函數為F(x),有特征函數f(t),x1與x2為F(x)的任意兩個連續點,則有 例2:試證f(t)=cost為一特征函數,并求它所對應的隨機變量x的分布。 例3:設隨機變量x服從參數為α,β的Γ分布,求其數學期望和方差。 且iE(x)=f′(0),i2E(x2)=f″(0); 由于分布函數和特征函數之間有一一對應的關系,從而知: 例5:設x1,x2和x3是相互獨立的,且服從正態分布N(0,1),試求隨機變量Y1=x1+x2和Y2=x1+x3組成的(Y1,Y2)的分布。 解:(Y1,Y2)=(x1+x2,x1+x3) ∵xi~N(0,1),i=1,2,3, ∴(x1,x2,x3)~N(0,E3), 從以上5個例子可以看出,有些概率問題利用分布函數很難給出證明,即使能給出證明也很麻煩,而利用特征函數及其導數性質便可很巧妙地給出證明,這充分說明了注重知識的內在聯系是很重要的。1.2 特征函數的性質
1.3 特征函數的唯一性定理
1.4 特征函數的逆轉公式
2 特征函數的應用
2.1 求隨機變量的分布
2.2 求隨機變量的數字特征
2.3 求獨立隨機變量和的分布