微分法在概率密度函數中的應用與實例介紹

羅琳 肖成英 吳艷南

摘要：該文類比離散型隨機變量求分布函數的方法，應用微分法簡化求解一維、二維連續性隨機變量的概率密度函數，并應用于相應的實例。

關鍵詞：微分法;連續性隨機變量;概率密度函數

中圖分類號：TP3

文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2020）04-0221-03

收稿日期：2019-10-28

基金項目：民辦高校應用型本科數學類課程建設的研究（項目編號：MBXH19YB152）

作者簡介：羅琳（1985—），通訊作者，女，四川南充人，四川工商學院計算機學院講師，碩士，主要研究方向為半環。

1 概述

微分法在概率統計中隨機變量函數的分布中有廣泛的應用。若隨機變量Y是隨機變量X的函數，已知X的分布，如何求Y的分布。對于離散型隨機變量方法簡單。但若X，Y是連續性隨機變量，常規方法是“分布函數法”，即先由X，Y的函數關系用隨機變量Y的函數來表示X，再由X的分布函數推導出Y的分布，進而得到Y的概率密度函數。由此可見“分布函數法”要經歷先積分再求導的系列復雜過程，但如果借鑒離散型隨機變量解決方案，借助微分法這種繁雜瑣碎的計算麻煩便可迎刃而解。朱慧敏[1]探討了利用Newton微元法求連續性隨機變量函數的概率密度的一些方法;文獻[2]給出了求連續性隨機變量函數的概率密度函數的一般方法。為更好彌補以上方法的不足，本文從微分法的基本思想人手，給出連續性隨機變量或向量函數的概率密度的簡易方法，從而使得計算更簡便實用，并給出相應的實例。

2 微分法在一維隨機變量函數中的應用及實例

2.1 引例：離散型隨機變量X的分布列如下：

求Y=x2的分布。

解：Y的取值分別為0，1，4，9。

P（Y=0）=P（X2=0）=P（X=0）=0.3

P（Y=1）=P（X2=1）=P（X=-1）+P（X=1）=0.3.。P（Y=4）=P（X2=4）P（X=-2）+P（X=2）=0.3.P（Y=9）=P（X2=9）=P（X=3）=0.1

故隨機變量Y分布為：

求連續型隨機變量函數的概率密度函數，常規方法是先求分布函數，進而通過求導數得解。我們欲用完全類似離散型隨機變量函數求分布的簡單方法來解決連續型隨機變量的分布問題，也就是微分法。

2.2 微分法

定理1.1若D為開集，使得P（x∈D）=1且對Vx∈D，P（X=x）=g（x）dx，則g（x），x∈D為X的密度，記為X～g（x）。

分析：設X的分布函數為F（x），F（x）在x處連續可微，則

證明因為P（x∈D）=1，所以對于x∈D°，則P（X=x）=0。故F（x）在D內連續。

又因為Vx∈D，P（X=x）=g（x）dx，且F（x）=D內連續。所以F（x）在R上連續且除去最多可列個點外連續可微。

于是f（x）=（F"'（x），x∈D;為x的概率密度。

又P（X=x）=F'（x）dx=g（x）dx，所以g（x），x∈D為X的密度。

如果X的分布函數為F（x），F'（x）存在且連續，x=h（y）連續可導，P（X=h（y））=f（h（y））.|h'（y）|dy.由此可得以下推論：

推論1.1 若X的概率密度為f（x），Y=g（X），開集D使得P（Y∈D）=1且對y∈D，P（Y=y）=P（X=h（y））=f（h（y）.|dh（y）|）=f（h（y））-|h'（y）|dy，其中h（y）為y=g（x）的反函數，且在D中分段嚴格單調可微，則Y～f（h（y））.|h（y）|y∈D.

例2.1 設隨機變量X～N（μ，82），試證Y=一、M～N（0，1）。δ

證明對y∈D=（-∞，+∞），且滿足推論1的條件，

故Y～N（0，1）。

在研究物理、化學的變化造成的斷裂或失效時的固件壽命，如絕緣體構成的固體的壽命，常用對數正態分布。下面介：紹一個它的實例。

例2.2 如果X～N（μ，82），則稱Y=eX的分布是參數為（μ，82）的對數分布，試求Y的概率密度。

Weibull分布是一種最常用的分布，一般金屬構造的儀器.或設備都是使用壽命都服從Weibull分布。實際經驗表明，許多電子元件及機器設備的使用壽命都服從Weibull分布，凡是局部固件的失效或故障引起全局工作停止運行的設備的壽命近似服從Weibull分布。其分布源于指數分布，服從指數分布具有無記憶性。由它變形而來。在產品的可靠性研究中，它基本是服從Weibull分布，兩個參數。對于數學家、統計學家而言參數越少越好，但是工程師則喜歡參數越多越好，這樣便于調試。下面也舉一個實例。

例2.3 如果X～E（1），則Y=服從參數為（a，b）的Weibull分布，其中a，b為正常數。

解P（Y》0）=1又X的密度函數為fx（x）=e”*，x》0，于是對任何y》0，由

由推論1.1知，Y的概率密度fy（y）=e～ay' abay'，b-1，y》 0.

把定理1再推廣一下，得到以下推論：

推論1.2 設X的密度函數為f（x），Y=g（X）的反函數為X=h（Y），開集D使得P（Y∈D）=1，如果h;（y）在D上分段嚴格單調

注1 我們稱上述方法為概率密度的微分法。

注2 當組僅當集合A=B時，P（A）=P（B）.

注3 當且僅當A;（i=1，2，.，n）互不相容時，P（U A;）=

例2.5 設X～U（-a，a）a》0，求Y=元的分布。

例2.6 設X～E（入），求Y=X，X》 1，-x2，X《 1 的分布。

3 微分法在二維隨機向量函數中的應用

一維連續性隨機變量X有密度函數f（x），當f（x）在x處連續時，則P（X=x）=g（x）dx，推測二維隨機變量（X，Y）有聯合密度f（x，y），當f（x，y）在（x，y）連續，則P（X=x，Y=y）=f（x，y）dxdy.

定理3.1如果開集D使得P（x，y）∈D）=1，g（x，y）在D內連續，且P（X=x，Y=y）=f（x，y）dxdy，（x，y）∈D，則（X，Y）有密度函數f（x，y），（x，y）∈D，記為（X，Y）～g（x，y）。

由微積分知識知道，若x=x（u，0）y=y（u，v）在開集D內連

例3.2 設（X，Y）～f（x，y），若U=2X-Y，V=2X +3Y，求（U，V）的聯合密度。

解：對于任何（u，0），有

定理3.2 若

例3.3 設隨機變量X，Y相互獨立，且都服從標準正態分布，

例3.5 設隨機變量X，Y相互獨立，且都服從標準正態分布，

4 結束語

綜上所述，運用微分法求解一維或二維隨機變量的函數概率密度函數是一種更為簡單有效的計算方法。

參考文獻：

[1]朱慧敏.運用Newton微元法求解概率密度函數[J].復旦學報：自然科學版，2011，50（1）：65-70.，

[2]盛驟，謝式千.概率論與數理統計及其應用[M].北京：高等教育出版社，2010.

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