下行床內Kutta-Joukowski橫向力與顆粒濃度徑向分布

趙亞飛, 范怡平, 呂 涵, 王康松

(中國石油大學(北京) 機械與儲運工程學院，北京 102249)

1 前 言

氣固并流下行床是當代流態化技術中相對活躍的研究領域之一，與傳統的氣固并流上行提升管相比具有諸多優勢[1-2]。顆粒濃度沿徑向的分布是下行床氣固兩相流動特性的重要參數，許多研究者對此進行了研究[3-6]。

與下行床類似，氣固并流上行循環流化床提升管內顆粒濃度存在更為顯著的徑向分布不均現象。但是對于這種不均勻結構的成因，大多研究只是定性描述現象[7]，即使嘗試進行理論解釋[8]，也并未給出有說服力的定量分析。本文認為，無論是下行床還是提升管，其內顆粒濃度徑向不均勻分布顯然與顆粒(群)受到的沿徑向的某個橫向作用力(或合力)有關——正是該作用力(或合力)的存在，“阻止”了濃度梯度的擴散。因此，有必要從顆粒(群)受力出發，為下行床徑向分布不均勻結構的成因提出更充分的解釋。

李晨[9]在研究中計算得到固體顆粒所受到幾個力的數量級，因此本文認為：下行床內顆粒所受到的與流動方向垂直的橫向力主要有熱泳力、貝賽特力、馬格努斯力和薩夫曼力。周濤等[10]發現溫度梯度較大時，顆粒會在熱泳力作用下發生熱泳沉積。而冷模實驗中溫度梯度基本為零，但是顆粒濃度的徑向分布依然不均勻。因此，可以斷定熱泳力不是導致顆粒濃度徑向分布不均勻的主要原因。貝賽特力與固體和流體之間的相對加速度有關[11]，而顆粒的實際加減速方向往往很難預測，因此貝賽特力也不是顆粒濃度徑向分布不均勻的主要原因。黃社華等[12]的研究表明薩夫曼力在主流區域的作用很小一般可以忽略，而只在邊界層區域內加以考慮。因此在本文中，薩夫曼力不適用于分析整個床層的顆粒受力情況。

馬格努斯力與顆粒旋轉有關[13]，有實驗研究[14]證明床內顆粒是高速旋轉的，數值模擬[15-16]也發現當考慮顆粒旋轉作用后，床內更容易形成非均勻流動結構。但很難想象在下行床中某一個區域內所有顆粒都朝一個方向旋轉，因此馬格努斯力不應是顆粒濃度徑向分布不均勻的主要原因。

FAN等[13]、李晨等[17]從顆粒群受力的角度分析了提升管內顆粒濃度的徑向分布；但對于徑向濃度分布更加復雜的下行床——幾乎沒有相關研究討論其成因。本文將空氣動力學的理論和場論“移植”到兩相流中，引入Kutta-Joukowski橫向力解釋、量化下行床內顆粒濃度徑向不均勻分布形成的原因。通過分析他人實驗數據中所給出的下行床內顆粒的速度、濃度徑向分布，確定了不同操作條件下，Kutta-Joukowski力對顆粒濃度徑向分布的影響。

2 理論分析

根據空氣動力學[18]，氣固兩相流場中Kutta-Joukowski力可以表示為

式中：vp,z-vg,z為該區域內顆粒速度和氣相速度的矢量差，Г為速度環量，這是產生Kutta-Joukowski力的兩個要素。

根據斯托克斯定理[18]，在任一由封閉曲線包圍的單連通區域內，如果流體的密度為常數，沿曲線的速度環量Г等于這個區域內的渦強度I，即

而渦強度和速度旋度的關系為

對于下行床的正交坐標系而言，取其Z軸正方向向下，故速度旋度Ω、渦強度I和速度環量Г沿順時針方向為正，逆時針方向為負。

另一方面，速度旋度是速度梯度的函數，可由式(4)計算：

圖1 下行床內極坐標微元體 Fig.1 Scheme of micro-unit in polar coordinate

對于任意微小封閉單連域內的顆粒群，Kutta-Joukowski力產生的2個要素同時存在，即

下行床的形狀多為圓柱體，因此本文取柱坐標系的一個微元體如圖1所示。

Kutta-Joukowski橫向力的作用位置為微元體中間截面ABCD，作用對象為微元體空間內所包含的顆粒群；顆粒群受到的Kutta-Joukowski橫向力為

單連通域所包含顆粒群受到的單位面積Kutta-Joukowski橫向力為

值得注意的是，在上述推導過程中，因為下行床內大多數區域的顆粒徑向速度遠小于軸向速度，因此引入了p,r/ 0zv? ?= 的假設。

為了獲得Kutta-Joukowski橫向力的數值，需要確定速度矢量差vp,z-vg,z及速度梯度 ?vp,z/?r的值。

本文式(7)中速度梯度是基于ZHANG等[19]和WANG等[5]發表的實驗數據，通過讀取局部顆粒速度的數值，得到速度梯度的數值。

式(7)中vp,z-vg,z顯然與局部滑落速度密切相關，計算局部滑落速度的方法主要有2種。第1種是LI等[20]基于EMMS模型，推導得到的下行床局部滑移速度與局部空隙率的關系，如式(8)所示：

式中：mfε為起始流化空隙率，ε為局部空隙率，D為系數。

第2種方法則是曹春社等[21]通過同時測定氣相和固相的局部速度獲得的，即

式中：ε為局部空隙率，Re為雷諾數，Ret為終端速度雷諾數。

通過試算，發現由式(8)計算得到的局部滑落速度遠小于顆粒終端速度；而采用式(9)獲得的數值與實驗數據吻合較好，因此本文采用式(9)來確定式(7)中的局部滑落速度。

下行床內Kutta-Joukowski橫向力的方向與速度矢量差(即滑落速度的方向)有關，因此在通過式(7)計算Kutta-Joukowski橫向力時，得到的計算結果并不能準確的表示Kutta-Joukowski橫向力的方向，還需要進行具體分析。

3 氣體速度徑向分布特征

速度矢量差(即滑落速度的方向)決定了Kutta-Joukowski橫向力的方向，應分析下行床內局部氣速、顆粒速度的相對大小關系。

根據WANG等[3,5-6]的實驗結果——顆粒于邊壁大量聚集而中心區濃度較低，分析可知：由于顆粒大量聚集于邊壁，限制了氣體在邊壁區域的流動——大部分氣體流經除邊壁的中間區域，因此中心r/R = 0～0.316區域的氣速比較高，顆粒速度始終小于局部氣速；而在r/R ≈ 0.8～0.95的邊壁高濃度區，由于顆粒大量聚集，顆粒之間相互碰撞同樣會使顆粒動能大量耗散，同時床內顆粒會“裹挾”氣體下行，對氣體有“助力”作用，因此顆粒速度小于局部氣速。而對于r/R ≈ 0.316～0.8區域內氣體速度與顆粒速度之間的關系則需要進一步分析。

曹春社等[21]的研究表明：沿下行床徑向，氣體速度從中心逐漸增加并在r/R ≈ 0.86～0.96達到極大值然后減小(事實上，曹春社等[21]、楊勇林等[22]實驗中，顆粒速度的極大值也出現在r/R ≈ 0.86～0.96區域內)，但卻從未有人對下行床中這個氣相速度分布的形成原因進行分析。顯然，這個分布在對稱管流中非?！昂币姟?，管流速度最高點沒有出現在管中心。本文認為，這正是由于邊壁大量顆粒下滑“帶動氣體”向下運動造成的，邊壁區域大量下行的顆粒相當于“構造”了一個“運動的邊壁”，從而改變了速度分布，使氣相速度最高點的位置向邊壁移動，如圖2(a)所示。具體理論分析采用單相流體力學“比擬”，認為下行氣體對氣相流場的影響相當于是形成了一個以速度Vw向下移動的邊壁。以WANG等[3,5-6]的實驗為例分析了下行床內局部氣速的分布特征。

圖2 柱坐標中流體的定常流動 Fig.2 Steady flow of fluid in cylindrical coordinate

假設氣體在下行床中做定常流動，對一般流體而言——流體密度為常量而且溫度變化范圍不大，在不可壓縮條件下狀態方程消失，連續方程和動量方程[23]可寫為

在如圖2(b)所示柱坐標系中，慮到定常條件?u/?t=0以及連續性，方程可簡化為

考慮到軸對稱性——即u=u(r),對方程關于r積分兩次得

如圖2(c)所示，邊界條件取在r = R2(R2＞0.8)——即“運動的邊壁”，以及r = R1(0 ＜ R1＜ 0.316)——床層中心區域(之所以不取r = 0，是因為在該邊界條件下積分常數C1恒為零，失去意義)。床層中心區域的氣速不為零，因此在r = R1處u ≠ 0；而由于“運動的邊壁”的存在，在r = R2處同樣有u ≠ 0。所以，邊界條件為

代入邊界條件得

于是求得積分常數為

則該空間內的速度分布為

相應的速度極值出現在r0處：

顯然氣體速度的極值點r0存在而且與Vc和Vw的具體數值有關；由式(16)可知，在r/R ≈ R1-R2的區域氣體速度存在極值點。這也印證了曹春社等[21]的實驗結果，因此認為在r = r0處為速度極大值點；該點并不像通常單相對稱管流一樣，位于r/R = 0及r/R = 1處。若Vw增加，這個極值速度所處的位置r0向邊壁移動；若Vc增加，r0向床中心移動。根據上述單相管流的“比擬”分析可知，對于氣固下行床，當操作條件改變時，邊壁高濃度區的顆粒濃度、速度也會改變，從而影響邊界條件所取Vw值改變，導致速度極值點r0發生變化。

4 Kutta-Joukowski橫向力對顆粒徑向分布的“貢獻”

圖3 下行床顆粒濃度徑向分布 Fig.3 Radial distribution of particle solid holdup in a downer

4.1 顆粒濃度徑向分布的兩種形式

ZHANG等[4]實驗中下行床顆粒濃度徑向分布如圖3(a)所示。沿下行床徑向，上部濃相區是典型的“環-核結構”，同一截面的中心區域顆粒濃度低，邊壁環形區顆粒濃度高。隨著氣固并流下行，顆粒濃度的局部最大值從邊壁向中心“移動”，最終形成呈中心濃、邊壁稀的“反環-核分布”。WANG等[5]通過實驗測得的顆粒濃度分布如圖3(b)，循環量為100 kg?m-2?s-1時，顆粒濃度在r/R ≈ 0～0.8區域分布比較均勻，僅在近壁區(r/R＞0.8)有所增加；在較高循環量下，顆粒濃度沿徑向增加并在邊壁達到最大值，與提升管中顆粒濃度的分布相似——“環-核結構”(雖然濃度梯度明顯小于提升管)。針對這2種明顯不同徑向分布“形態”，需根據顆粒質量流率、入口氣速-壓力等具體條件分析Kutta-Joukowski橫向力。

本文根據公開發表的ZHANG等[4,19]和WANG等[3,5-6]的實驗數據，通過分析式(7)中的速度矢量差及速度梯度數值的正負，分析Kutta-Joukowski力對下行床顆粒濃度徑向分布的“貢獻”。

4.2 Kutta-Joukowski力對下行床顆粒濃度徑向分布的“貢獻”

下行床內不同區域顆粒(群)所受Kutta-Joukowski力如圖4所示。由上述分析可知，下行床顆粒(群)受到的Kutta-Joukowski力的方向為vg-vp矢量方向沿速度環量方向的反方向旋轉90°。根據讀取的ZHANG等[19]實驗中顆粒速度數據，不同截面內沿徑向有?vp,z/?r ＜ 0，即速度旋度Ω ＞0，Г ＞0。

圖4 Kutta-Joukowski力對下行床內顆粒群的作用 Fig.4 Effects of Kutta-Joukowski force on particles in the downer

與提升管不同，下行床內顆粒逐漸加速，最終甚至超過局部氣速，因此式(7)中vp,z-vg,z的方向沿軸向將發生變化，須分區進行討論。如圖3、4所示，在顆粒加速段的中心區(A區域)，由于顆粒剛開始加速，顆粒速度小于氣速，即vg-vp的方向豎直向下，而速度環量為順時針，因此顆粒群受到的Kutta-Joukowski橫向力指向下行床壁面。在顆粒加速段邊壁區(B區域)，顆粒軸向速度較小，而氣體速度則由于邊壁的存在其數值為 0，因此顆粒群受到的Kutta-Joukowski橫向力指向中心。在充分發展段的中心區(C區域)，此時顆粒已經完成軸向加速過程，其軸向速度大于氣體速度，因此顆粒受到的Kutta-Joukowski橫向力指向床中心。在充分發展段的邊壁區(D區域)，氣體速度由于邊壁限制趨近于 0，其內顆粒所受Kutta-Joukowski橫向力也指向床中心。

綜合圖3、4可知Kutta-Joukowski橫向力對顆粒濃度徑向分布的影響過程：顆粒在入口處大量聚集于近壁區，顆粒濃度在該處達到最大值。在顆粒加速段，由于A、B區域中Kutta-Joukowski橫向力方向相反，在該力的“驅動下”，大量顆粒聚集在介于邊壁和床中心的區域，因而該處出現了顆粒濃度的最大值，而后由于顆粒的加速運動——到了充分發展段，C、D區域內顆粒所受Kutta-Joukowski橫向力均指向中心，使得顆粒濃度的最大值由從邊壁轉移到中心。

而在WANG等[3,5-6]的實驗中，顆粒速度沿徑向逐漸增加，在r/R ≈ 0.8處達到最大值然后減小。在床層中心r/R = 0～0.316區域內存在顆粒濃度的局部極小值——顯然床層中心存在顆粒濃度降低的區域，如圖3(I區域)。該區域內顆粒速度沿徑向逐漸增加，有?vp,z/?r ＞0，速度旋度Ω＜ 0，Г＜ 0；而且顆粒速度始終小于局部氣速。如圖5(A區域)所示，vg-vp的方向豎直向下，速度環量為逆時針，因此該區域Kutta-Joukowski力方向為vg-vp的方向順時針旋轉90°，指向下行床中心。而在r/R ≈ 0.8～0.95的高濃度區——圖3( Ⅲ區域)，由于顆粒速度有減小的趨勢，因此有：?vp,z/?r＜ 0，速度旋度Ω ＞0，Г ＞0。該區域內顆粒速度小于局部氣速，因此vg-vp的方向豎直向下，速度環量為順時針，顆粒(群)受到的Kutta-Joukowski力方向為vg-vp的方向逆時針旋轉90°，指向下行床邊壁，在邊壁形成高濃度區，如圖5(B區域)所示。

根據上節內容，氣體速度在r/R ≈ R1-R2區域內先增加后減小，而且在邊界r = R1、r = R2處氣體速度均大于顆粒速度，因此可以判斷在r/R ≈ R1-R2整個區域內氣體速度大于顆粒速度，同理r/R ≈ 0.316～0.8區域內氣體速度大于顆粒速度。在r/R ≈ 0.316～0.8區域內顆粒速度沿徑向增加，因此有?vp,z/?r ＞0，速度旋度Ω＜ 0，Г＜ 0。同時局部氣速始終大于顆粒速度——vg-vp的方向豎直向下，速度環量為逆時針，因此該區域內Kutta-Joukowski力指向中心，如圖5(A區域)所示。

圖5 Kutta-Joukowski力對下行床內顆粒群的作用 Fig.5 Effects of Kutta-Joukowski force on particles in the downer

但是，r/R ≈ 0.316～0.8區域內顆粒濃度沿徑向接近均勻分布(Gs=100 kg?m-2?s-1)或者沿徑向緩慢增加(Gs＞100 kg?m-2?s-1)，而Kutta-Joukowski力的方向卻指向床層中心，很明顯是矛盾的。之所以出現這種結果，本文認為是因為該區域內顆粒濃度較低，而且Kutta-Joukowski力也非常小——約為r/R ≈ 0.8～0.95區域Kutta-Joukowski力的1/10，因此對顆粒徑向分布的作用不明顯。

綜上所述，可知顆粒濃度沿徑向的不均勻分布主要受Kutta-Joukowski橫向力的影響，Kutta-Joukowski橫向力是導致局部顆粒濃度徑向分布的主要原因。

5 結果與討論

5.1 顆粒群所受Kutta-Joukowski力和“濃度梯度力”

FAN等[13]針對氣固并流上行提升管的研究表明：Kutta-Joukowski橫向力和固含率沿提升管徑向的分布具有極其相似的“形態”。由此可以判斷，沿徑向方向，提升管內的顆粒群一定受到某個指向提升管中心的力(即由濃度高處指向濃度低處)，與Kutta-Joukowski橫向力相平衡，使得提升管內顆粒濃度的徑向分布保持相對穩定。即顆粒濃度會產生一個濃度“勢”，在靠近邊壁的環形區域顆粒濃度高，其濃度“勢”較大，在中心區域顆粒濃度相對較低，其濃度“勢”較小。

與此類似，本文按照式(7)中Kutta-Joukowski橫向力的計算方法，結合ZHANG等[4,19]和WANG等[3,5-6]的實驗數據，計算了所有徑向位置的Kutta-Joukowski橫向力。對比發現，Kutta-Joukowski橫向力的絕對值與濃度梯度的絕對值沿下行床徑向的分布具有極其相似的“形態”——甚至二者“拐點”的位置也幾乎一致，如圖6所示。在r/R = 0～0.7區域，Kutta-Joukowski橫向力和濃度梯度較小。在r/R ＞0.7區域，Kutta-Joukowski橫向力和濃度梯度較大且沿徑向快速增加。

圖6 Kutta-Joukowski橫向力和顆粒濃度梯度的徑向分布 Fig.6 Radical distributions of Kutta-Joukowski force and solid concentration gradient

鑒于這種徑向分布是穩定存在的，則沿下行床徑向方向，顆粒群一定受到某個力(即由濃度高處指向濃度低處)與Kutta-Joukowski橫向力相平衡，使得下行床內顆粒濃度的徑向分布保持相對穩定。事實上，對于類似的氣固并流上行提升管中兩相流動體系，即存在一個“濃度梯度力”與提升管內顆粒群受到的Kutta-Joukowski橫向力相平衡[13]。

濃度梯度dρ/dr與顆粒徑向分布有關，雖然不是矢量，但是有正、負之分。上述濃度梯度力Fρ方向為：濃度高處指向濃度低處。結合dρ/dr的正負差異，可以看出：當dρ/dr為正值時，Fρ指向下行床中心；當dρ/dr為負值時，Fρ指向下行床邊壁。因此，可以認為每個徑向位置dρ/dr的值決定了該位置Fρ的方向。

下行床中濃度梯度力定義為

式中：K為濃度梯度力系數，單位是m3?s-2；ρ為顆粒的局部密度，可由顆粒密度與局部固含率計算；A為“濃度勢”作用區域面積沿垂直于力作用方向的投影。

濃度梯度力Fρ與Kutta-Joukowski橫向力的方向是相反的，因此每個徑向位置dρ/dr的正負與Kutta-Joukowski力的方向呈對應關系。因此本文認為，濃度梯度dρ/dr與Kutta-Joukowski橫向力呈顯著的對應關系。dρ/dr的正負與Kutta-Joukowski力的方向的對應關系很明顯是確定的，為了表征濃度梯度dρ/dr與Kutta-Joukowski橫向力在數值上的對應關系，本文均采用絕對值進行分析。

5.2 顆粒循環量對Kutta-Joukowski力的影響

圖7為Kutta-Joukowski橫向力隨顆粒循環量的變化。結果表明，Kutta-Joukowski橫向力隨顆粒循環量增大而增大，而且近壁區Kutta-Joukowski橫向力增加的幅度大于中心區域。這是因為隨著顆粒循環強度增加，各徑向位置的局部顆粒濃度增大，顆粒之間的動量交換增強，導致顆粒速度徑向不均勻程度增加——即顆粒速度梯度增加，從而使Kutta-Joukowski橫向力增大。而且，大量顆粒聚集于近壁區，導致近壁區顆粒之間動量交換強于中心區顆粒，從而使近壁區Kutta-Joukowski橫向力增加的幅度大于中心區域。

圖7 Kutta-Joukowski橫向力和顆粒濃度梯度的徑向分布 Fig.7 Radical distributions of Kutta-Joukowski force and solid concentration gradient

5.3 不同軸向位置的Kutta-Joukowski力

不同軸向位置Kutta-Joukowski橫向力的徑向分布如圖8所示。結果表明，Kutta-Joukowski橫向力隨軸向位置增高先減小再增加，并逐漸趨于穩定。

氣固并流下行床內顆粒會經歷第1加速段、第2加速段及充分發展段[1]。根據式(7)中Kutta-Joukowski橫向力的計算方法，可知其大小與顆粒速度梯度及滑落速度有關。沿下行床軸向，滑落速度的變化很小，因此Kutta-Joukowski橫向力的大小主要受顆粒速度梯度影響。而顆粒速度梯度沿下行床軸向先減小后增大然后趨于穩定，所以Kutta-Joukowski橫向力出現以上分布特征。

圖8 顆粒循環量Gs=102 kg?m-2?s-1、表觀氣速Ug=10.1 m?s-1時不同軸向位置Kutta-Joukowski力的分布 Fig.8 Radial profiles of Kutta-Joukowski force at different axial heights with Gs=102 kg?m-2?s-1 and Ug=10.1 m?s-1

5.4 表觀氣速對Kutta-Joukowski力的影響

圖9 表觀氣速對Kutta-Joukowski力的影響 Fig.9 Effects of superficial gas velocity on Kutta-Joukowski force

圖9為不同表觀氣速下Kutta-Joukowski橫向力和顆粒濃度梯度沿下行床徑向的分布?？梢钥闯?， Kutta-Joukowski橫向力隨表觀氣速的增大而減小。這是因為表觀氣速增加，各徑向位置的顆粒濃度隨之減小，顆粒之間的動量交換減弱，導致顆粒速度徑向不均勻程度減小——即顆粒速度梯度減小，從而使Kutta-Joukowski橫向力減小。

圖6～9均表明Kutta-Joukowski橫向力在下行床中心處為零，且與濃度梯度的變化特征相似。在下行床中心處，由于顆粒速度沿軸線對稱，所以速度梯度為零，因此該位置對應的Kutta-Joukowski力為零，與計算結果吻合。沿下行床徑向，Kutta-Joukowski橫向力與顆粒濃度梯度有相同變化趨勢。在圖6～9中，Kutta-Joukowski力與濃度梯度的曲線會出現“波動”。主要是因為WANG等[3,5-6]和ZHANG等[4,19]實驗中顆粒速度、濃度沿徑向的分布會出現局部“波動”，這些“波動”的存在使Kutta-Joukowski力與濃度梯度計算時出現誤差。但是，誤差的存在并不影響Kutta-Joukowski橫向力與濃度梯度變化特征的一致性，不會影響研究結果。

5.5 下行床內Kutta-Joukowski力徑向分布的經驗關聯

下行床內Kutta-Joukowski橫向力的分布主要受顆粒循環強度、表觀氣速、顆粒濃度梯度、下行床直徑、氣體運動黏度、徑向位置、軸向位置影響，所以局部Kutta-Joukowski橫向力的函數形式可假設為

將各參數進行無量綱化后可得如下表達式：

根據文獻數據，用該式對下行床內局部Kutta-Joukowski橫向力的徑向分布進行關聯，得到經驗關聯式。

(1) 下行床內顆粒濃度呈“環-核結構”分布——以WANG等[3,5-6]實驗為例。

(2) 下行床內顆粒濃度呈“環-核結構”及“反環-核結構”分布——以ZHANG等[4,19]實驗為例。

由經驗公式計算得到的Kutta-Joukowski橫向力與實驗值的對比見圖10，計算值與實驗值的最大誤差為25.9%，可供工程設計參考。

6 結 論

本文分析了WANG等[3,5-6]和ZHANG等[4,19]實驗中下行床顆粒濃度徑向分布不均勻結構；同時用流體運動方程分析了局部氣速的徑向分布特征，理論分析的結果與前人實驗結果一致。將空氣動力學的Kutta-Joukowski定理“移植到”兩相流分析中，用Kutta-Joukowski橫向力解釋了下行床顆粒濃度的不均勻分布。結合目前公開發表的文獻數據，分析了下行床Kutta-Joukowski橫向力的分布特征，給出了下行床內Kutta-Joukowski橫向力的經驗關聯式，得到以下結論：

(1) 下行床內顆粒群所受Kutta-Joukowski力可由FK-J=-ρg(vp-vg)(?p/?r)r計算，力的方向由濃度較低區域指向濃度較高區域。

(2) 通過引入“移動邊壁”，分析了氣相、固相速度在r/R ≈ 0-0.96出現極值的原因。下行床內局部氣速沿徑向先增大后減小。

(3) Kutta-Joukowski橫向力在下行床中心處為零，沿徑向方向與顆粒濃度徑向梯度的分布一致。

(4) 表觀氣速一定，Kutta-Joukowski力隨顆粒循環量增加而增加；顆粒循環量一定，Kutta-Joukowski力隨表觀氣速的增加而減小。

(5) Kutta-Joukowski力的主要影響因素為表觀氣速、顆粒循環量、濃度梯度、無因次徑向、軸向位置。給出了Kutta-Joukowski橫向力的經驗模型式，可供工程設計參考。

符號說明：

A — 面積，m2

dp— 顆粒平均粒徑，μm

FK-J— Kutta-Joukowski橫向力，N?m-2

Fρ— 濃度梯度力，N?m-2

Gs— 顆粒循環量，kg?m-2?s-1

h — 測點截面高度，m

H — 下行床總高度，m

I — 渦強度，m2?s-1

K — 濃度梯度力系數，m3?s-2

r — 徑向位置，m

R — 下行床外徑，m

Ret— 終端速度雷諾數

Ug— 表觀氣速，m?s-1

ut— 顆粒終端速度，m?s-1

us— 滑落速度，m?s-1

vp,r— 顆粒徑向速度，m?s-1

vp,z— 顆粒軸向速度，m?s-1

Vc— 中心氣體速度，m?s-1

Vw— 邊壁氣體速度，m?s-1

z — 下行床軸向坐標高度，m

Z — 下行床軸向坐標軸，m

ρ — 局部顆粒密度，kg?m-3

ρg— 氣體密度，kg?m-3

ρp— 顆粒密度，kg?m-3

ε — 局部空隙率

εmf— 起始流化空隙率

Г — 環量，m2?s-1

Ω — 速度旋度，s-1

上標

b — 系數

c — 系數

d — 系數

e — 系數

下標

g — 氣體

p — 顆粒

r — 徑向

z — 軸向