連通子集性質的推廣與等價刻畫

黃 瑞

(阜陽師范大學 數學與統計學院，安徽 阜陽 236037)

集合上賦予一個拓撲就得到了該集合上的一個拓撲空間，一個集合上可以定義若干個不同的拓撲空間，如3個點的集合上能定義29個拓撲，在不區分同胚的情況下，這29個拓撲空間共分成9類，每一類的結構和拓撲性質各不相同。一般地，對一個拓撲空間的研究往往是從研究該空間中的特殊子集開始的，如鄰域、導集、閉包等概念的“源頭”都是拓撲空間中的特殊子集“開集”，局部連通空間的“源頭”是拓撲空間中的特殊子集“開集”和“連通子集”，局部道路連通空間的“源頭”是拓撲空間中的特殊子集“開集”和“道路連通子集”。連通子集是拓撲空間中的一類特殊子集，很多文獻中都闡述了連通子集的性質，[1-7]給出了連通子集的一些重要性質，如文中預備知識中的引理2-5，除此之外一般文獻中還會給出連通子集的其他一些重要性質，如若一個子集被“夾在”了一個連通子集和其閉包之間，則這個子集也是連通子集。

關于連通性的研究有很多，文獻[8]研究了連通子集的充要條件，[9]研究了一類正弦曲線的連通性，[10]則研究了一般拓撲空間的連通性，其中給出了二維歐氏平面中所有至少有一個坐標為有理數的點的全體構成的集合是一個連通子集的結論，[11]和[12-13]分別研究了點集拓撲中的連通性和子基的連通性，[14-20]則研究了特殊拓撲空間的一些特殊連通性。本文將進一步研究連通子集的性質。

1 預備知識

定義1[1]已知拓撲空間（X，Γ），若（X，Γ）中存在兩個非空的隔離子集A，B，且滿足A?B=X，則稱拓撲空間（X，Γ）是不連通空間，否則稱（X，Γ）是連通空間。

定義2[1]已知Y是拓撲空間（X，Γ）的子集，若Y作為（X，Γ）的子空間是連通空間，則稱Y是拓撲空間（X，Γ）的連通子集，否則稱Y是拓撲空間（X，Γ）的不連通子集。

引理1已知拓撲空間（X，Γ），A?Y?X，則A是（Y,Γ|Y）的連通子集 ?A是（X，Γ）的連通子集。

證 明A是（Y,Γ|Y）的通子集 ?（A,Γ|Y|A）=（A,Γ|A）是連通空間 ?A是拓撲空間（X，Γ）的連通子集。

引理2[1]設{Yγ}γ∈Γ是拓撲空間X的連通子集族，且，則是X的連通子集。

引理3[1]設C是拓撲空間X的連通分支，則

（1）若Y是X的連通子集，且Y?C≠?，則Y?C；

（2）C是拓撲空間X的連通的閉集。

引理4[1]設Y是拓撲空間X的連通子集，A，B是拓撲空間X的隔離子集，且Y?A?B,則或者Y?A或者Y?B。

引理5[1]已知拓撲空間X，則下列條件等價

（1）拓撲空間X是不連通空間；

（2）拓撲空間X存在兩個非空的閉集A，B，滿足A?B=X,A?B=?；

（3）拓撲空間X存在兩個非空的開集A，B，滿足A?B=X,A?B=?；

（4）拓撲空間X存在既開又閉的非空真子集。

引理6已知拓撲空間（X，Γ），A?Y?X，則

（1）若（Y，Γ|Y）是（X，Γ）的開子空間，則A是（Y，Γ|Y）的開集?A是（X，Γ）的開集；

（2）若（Y，Γ|Y）是（X，Γ）的閉子空間，則A是（Y，Γ|Y）的閉集?A是（X，Γ）的閉集。

證明（1）若A是（Y，Γ|Y）的開集，則存在（X，Γ）中的開集U使得A=U?Y，又Y也是（X，Γ）中的開集，故A=U?Y是（X，Γ）中的開集；

若A是（X，Γ）的開集，則A?Y=A就是（X，Γ）的子空間（Y，Γ|Y）的開集。

同理可得（2）的證明。

引理7設A，B是拓撲空間（X，Γ）中的隔離子集，若A?B是拓撲空間X的開集（閉集），則A，B是拓撲空間X的開集（閉集）。

證明若A，B中有一個是空集，則結論顯然成立。下設A，B≠?，令Y=A?B，則拓撲空間（X，Γ）的子空間（Y，Γ|Y）是不連通空間。

若Y=A?B是（X，Γ）中的開集，由引理 5的證明過程知A，B是開子空間（Y，Γ|Y）中既開又閉的非空真子集，再由引理6知A，B是拓撲空間（X，Γ）中的開集。

同理，若Y=A?B是（X，Γ）中的閉集，則A，B是拓撲空間（X，Γ）中的閉集。

2 連通子集兩條性質的推廣

由定義1知判斷拓撲空間X是否是連通空間的一個重要思路是將X表示成兩個隔離子集A,B的并，即X=A?B,然后通過已知條件確定A,B是否非空。若A,B都非空，則拓撲空間X是不連通空間，若A,B有一個非空，另一個是空集，則X是連通空間。引理2正是用上面的思路給出的證明，事實上引理2中“交集非空的連通子集族”這個條件可放寬，引理2可以推廣成下面的定理1。

定理1設{Yr}r∈Γ是拓撲空間X的連通子集族，?α,β∈Γ，在指標集Γ中有有限個元素γ1=α,γ2,…γn,γn+1=β，使得與Yγi+1不隔離，則是X的連通子集。

證明設，其中A，B是拓撲空間X中的隔離子集。?α∈Γ，則Yα是拓撲空間X的連通子集，且Yα?A?B,由引理 4知要么Yα?A，要么Yα?B。

不失一般性設Yα?A，則?β∈Γ，在指標集Γ中有有限個元素γ1=α，γ2,…γn,γn+1=β，使得?i=1,2,…,n,都不隔離。

綜上，?α∈Γ,不失一般性設Yα?A，則?β∈Γ，都有Yβ?A，故即從而得到是拓撲空間X中的連通子集。

定理1給出了連通子集的并仍是連通子集的一個充分條件。事實上，連通子集的交也未必是連通子集，如在有限補空間R中，A={-1,0,1,2,…}，B={1,0,-1,-2,…}都是連通子集，但A?B={-1,0,1}卻不是有限補空間R中的連通子集。

引理4中連通子集包含在兩個隔離子集的并之中，這“兩個隔離子集”可放寬松為“兩個無交的開（閉）集”，結論仍然成立，引理4可推廣成下面的定理2。

定理2設Y是拓撲空間（X，Γ）的非空連通子集，A、B是拓撲空間X中的無交開（閉）集，且Y?A?B，則或者Y?A或者Y?B。

證明若A，B是拓撲空間（X，Γ）中的無交閉集，則A，B就是拓撲空間X中的隔離子集，由引理4知結論成立。

下設A，B是拓撲空間（X，Γ）中的無交開集，則A?Y，B?Y就是連通空間(Y,Γ|γ)中的開集，且(A?Y)?(B?Y)=?,(A?Y)?(B?Y)=(A?B)?Y=Y。由引理5知，要么A?Y=?，要么B?Y=?。

若A?Y=?,則B?Y=Y,即Y?B;若B?Y=?,則A?Y=Y,即Y?A。

3 連通子集和不連通子集的等價刻畫

由定義2知連通子集作成的子空間是連通空間，因此連通空間具有的性質連通子集也必定滿足，而由引理5可得拓撲空間是連通空間的充要條件是該拓撲空間中既開又閉的子集只能是空集和全集，于是得到下面的定理。

定理3Y是拓撲空間(X,Γ)的連通子集?(Y,Γ|Y)中既開又閉的子集只有?和Y。

定理4設Y是拓撲空間(X,Γ)的一個包含多于1個點的子集，則Y是拓撲空間(X,Γ)的連通子集?Y中的任意兩個點在(Y,Γ|Y)中是連通的。

證明充分性。取a∈Y,?y∈Y，則a,y在(Y,Γ|Y)中是連通的，即在 (Y,Γ|Y)中存在連通子集Yay，使得a,y∈Yay?Y。

必要性。(Y,Γ|Y)是連通空間，則 (Y,Γ|Y)中任意兩個點在(Y,Γ|Y)中都是連通的。

由定理4易見拓撲空間X是連通空間的一個充要條件是拓撲空間X中的任意兩個點在拓撲空間X中是連通的，這是連通空間的一個“正面”的等價刻畫。

定理5設Y是拓撲空間（X，Γ）的一個子集，則Y是拓撲空間（X，Γ）的不連通子集?存在（X，Γ）的開集（閉集）A，B，使得Y?A?B,A?B?X-Y，A?Y≠? ，B?Y≠?成立。

證明必要性。拓撲空間（Y，Γ|Y）是不連通空間，由引理5得，存在（Y，Γ|Y）中的非空開集（閉集）AY,BY，使得AY?BY=Y,AY?BY=?。從而存在（X，Γ）中的開集（閉集）A，B，使得A?Y=AY，B?Y=BY。

易見

從而得到

成立。

充分性。由條件知A?Y,B?Y為拓撲空間（Y，Γ|Y）中的非空開集（閉集），且滿足

由引理5得，Y是（X，Γ）的不連通子集。

易見當定理5中的Y=X時，定理5就變成了引理5，因此從這個意義上來說，定理5可看成是引理5的一個推廣。

定理6設Y是拓撲空間（X，Γ）的一個子集，則是拓撲空間（X，Γ）的不連通子集? 存在（X，Γ)的非空子集A，B，使 得，A?Y≠? ，B?Y≠? 成立。

證明必要性。由拓撲空間是不連通空間知，存在（X，Γ）中的非空隔離子集A，B，且，即Y?A?B成立。

若A?Y=?，由(A?Y)?(B?Y)=(A?B)?Y=Y,得到B?Y=Y,即Y?B,則，從而得到。

由定理5知是（X，Γ）的不連通子集。

4 連通子集與既開又閉的子集之間的關系

連通子集和既開又閉的子集都是拓撲空間中的特殊子集，由引理5知兩者之間存在著“密切”的關系，下面將進一步研究兩者之間的關系。

定理7設Y是拓撲空間（X，Γ）的連通子集，B是拓撲空間（X，Γ）的既開又閉的子集，則或者Y?B=?，或者Y?B=Y。

證明B?Y是拓撲空間（X，Γ）的子空間(Y,Γ|Y)中既開又閉的子集，且(Y,Γ|Y)是連通空間，由引理5知，若Y?B≠?，則必有Y?B=Y。

定理8拓撲空間中既開又閉的非空連通子集必是該拓撲空間的連通分支。

證明設B是拓撲空間(X，Γ)中的既開又閉的非空連通子集，取a∈B?X,設a在拓撲空間(X，Γ)中所在的連通分支為C。

一方面，B是拓撲空間(X，Γ)中的連通子集，且B?C≠?，由引理3知，B?C;另一方面，由引理3知，連通分支C是拓撲空間(Y,Γ)中連通子集，C?B≠? ，由定理 7知，C?B=C,即B?C。綜上B=C，結論得證。

5 小結

連通子集是拓撲空間中的一類重要的特殊子集。文中首先推廣了[1]中的連通子集的兩條重要性質，定理1推廣了引理2中連通子集的并仍是連通子集的充分條件，定理2推廣了引理4中的結論；其次給出了連通子集的兩個等價刻畫，不連通子集的兩個等價刻畫；最后研究了拓撲空間中連通子集與既開又閉的子集之間的關系。另外，文中還給出了拓撲空間中連通子集的交不是連通子集的一個具體的例子。