淺議導數和邊際在量本利經濟分析中的應用

◎文/過 濤 丁建華 王毅成

一、導數的概念和定義

（一）導數的概念

導數是一個數學概念， 導數的概念在于刻劃瞬時變化率。導數作為函數的變化率，主要研究函數變化形態。 求導數的運算被稱為微分運算，是微分學的基本運算。導數的概念和其他數學概念一樣，是源于人類的實踐。

導數的思想最初是由法國數學家費馬在1629 年為研究極值問題而引入的。17 世紀英國數學家牛頓在研究物理變速運動物體的瞬時速度問題，采用了相同的研究思想。 17 世紀德國數學家萊布尼茨在研究幾何曲線的斜率問題，也采用了相同的研究思想。

（二）導數的定義及表述式

設函數y=f（x）在點x0的某個領域內有定義，若極限存在，則稱f在點x0處可導，稱該極限為函數f在x0處的導數，記作f（x0）。

于是，導數的定義從數量關系上看，所反映的是函數的自變量的變化對相應的函數值變化快慢影響的程度，即變化率，也稱為瞬時變化率；對數學表達式而言，所表達的是函數增量和自變量之比的極限問題。

二、“邊際”概念提出的背景

隨著市場經濟的不斷發展， 經濟活動中的實際問題也愈加復雜， 簡單的數學工具無法滿足復雜的經濟分析需要。 19 世紀70 年代， 經濟學家在研究經濟問題時發現了經濟領域也存在大量的變化率問題， 為了充分利用數學工具，解決經濟領域的變化率問題，提出了“邊際”的概念，并定義“邊際”是經濟函數的一階導數。

根據“邊際”的定義，我們認為，“邊際”既不是一個單純的數學概念， 也不是一個單純的經濟學概念。 他是經濟學和數學相結合的紐帶和橋梁， 他是為了經濟學和高等數學相結合而引入的新概念，“邊際” 概念的引入使復雜變化的經濟學問題應用導數來解決成為可能；“邊際”概念的引入，開辟了高等數學應用的新領域， 從自然科學發展到社會科學；“邊際”概念的引入，使復雜的經濟分析走向定量化、精準化、簡捷化、直觀化。

三、邊際的定義表達式及延伸應用定理

（一）邊際定義表達式

函數f（x） 的一階導數f′（x）稱為f（x）的邊際函數；在點x0的值f′（x0）稱為f（x）在x0處的邊際值。 記作：經濟函數y=f（x）可導，邊際函數My=f′（x）。

（二）邊際延伸應用定理

如果f（x）有二階導數存在，且f′（x）=0，若f″（x0）<0，則f（x0）是極大值，若f″（x0）>0，則f（x0）是極小值。 即：邊際延伸應用的前提條件是f″（x）存在，且f″（x0）≠0。

四、邊際原理在線性量本利經濟函數的應用和思考

（一）應用邊際定義進行邊際計算

1.線性量本利經濟函數表達式

（1）收入函數S=S（q）=Pq

（2）成本函數C=C（q）=Vq+F

（3）利潤函數R=R（q）=Pq-Vq-F

其中：S收入C成本R利潤

S（q）收入函數C（q）成本函數R（q）利潤函數

q數量（變量）F產品固定成本（常數）

V單位產品變動成本（常數）P單位產品價格（常數）

2.線性量本利邊際函數表達式及計算結果

（1）邊際收入函數MS=S′（q）=（Pq）′=P

（2）邊際成本函數MC=C′（q）=（Vq+F）′=V

（3）邊際利潤函數MR=R′（q）=（Pq-Vq-F）′=P-V

（二）根據邊際的計算結果得出如下結論

1.邊際收入=單位產品價格=P

2.邊際成本=單位變動成本=V

3.邊際利潤=邊際收入-邊際成本=P-V

4.邊際利潤=單位產品價格-單位變動成本=P-V

5.邊際固定成本等于零

（三）應用邊際原理得出線性量本利盈虧

平衡分析法的簡化計算公式

3.盈虧平衡時邊際收入和銷售價格S0′=P0=R0′+V

4.盈虧平衡時邊際成本和單位變動成本C0′=V0=P-R0′

5.盈虧平衡時固定成本F0=R′（q）·Q

（四）線性量本利經濟函數邊際計算結果和結論的思考

1.從線性量本利經濟函數有關邊際計算結果和結論來看，存在一個共同的特點，他們的經濟函數的一階導數的計算結果均為常數，所以他們的二階導數的計算結果均等于零，因此，根據邊際延伸應用定理，線性量本利經濟函數不符合邊際延伸應用的條件：“f″（x）存在，且f″（x0）≠0”。 據此，我們不能應用利潤最大化定理和平均成本最小化定理的有關方法和結論作為線性量本利函數的邊際結論和方法，如不能應用“邊際利潤等于零，邊際收入等于邊際成本時， 實現的利潤最大，此點對應的產量為利潤最大時的最優產量”等非線性邊際結論作為線性量本利函數的邊際分析結論。 同時也不能將“邊際利潤等于銷售價格減去單位變動成本”等線性量本利經濟函數的邊際分析結論推廣應用到非線性量本利經濟函數的邊際分析中，在具體的邊際分析中不能混淆，否則，必然會造成分析結論的錯誤， 在現實的經濟生活中，這種混淆和錯誤時有發生，并且在現行的許多出版物中經常出現，因此這是一個值得研究和探討的問題。

2.從線性量本利經濟函數有關邊際的計算結果和結論來看，還有一個共同的特點，就是都與“PV”有關系。 因此，在線性量本利經濟函數的邊際分析中，有必要引入“線性量本利經濟函數邊際PV 分析法”（ 以下簡稱“PV分析法”） 。

（五）“PV 分析法”概述

1.邊際利潤等于零、邊際收入等于邊際成本（P-V=0），稱為產量（銷售量）的增減對彌補固定成本沒有貢獻（“零貢獻”）。 對盈利企業來說，產量（銷售量）的增減不增盈，對虧損企業來說，產量（銷售量）的增減不減虧。

2.邊際利潤大于零、邊際收入大于邊際成本（P-V>0），稱為產量（銷售量）的增減對彌補固定成本有“正貢獻”。 對盈利企業來說，產量（銷售量）的增加會增盈；產量（銷售量）的減少會減盈。 對于虧損企業來說，產量（銷售量）的增加會減虧；產量（銷售量）的減少會增虧。

3.邊際利潤小于零、邊際收入小于邊際成本（P-V<0），稱為產量（銷售量）的增減對彌補固定成本有“負貢獻”。 對盈利企業來說，產量（銷售量）的增加會減盈；產量（銷售量）的減少會增盈。 對于虧損企業來說，產量（銷售量）的增加會增虧；產量（銷售量）的減少會減虧。

（六）邊際原理在線性量本利經濟函數的實例應用

1.邊際利潤大于零、邊際收入大于邊際成本（P>V 型）的實例應用

分析采用的資料：A 產品銷售價格260元/個， 單位變動成本180 元/個， 固定成本660 萬元/年，銷售量20 萬個/年，生產能力25萬個/年。

（1）根據分析資料計算的邊際數據

①邊際收入MS=S′（q）=P=260 元/個

②邊際成本MC=C′（q）=V=180 元/個

③邊際利潤MR=R′（q）=S′（q）-C′（q）=P-V=80 元/個

④邊際固定成本MF=F′=0

⑤盈虧平衡時邊際利潤R0′=FQ=33 元/個

⑥盈虧平衡時邊際收入和銷售價格S0′=P0=R0′+V=213 元/個

⑦盈虧平衡時邊際成本和單位變動成本C0′=V0=P-R0′=227 元/個

⑨盈虧平衡時固定成本F0=R′（q）·Q=1600 萬元

⑩銷售收入5200 萬元

?銷售成本4260 萬元

?銷售利潤940 萬元

（2）分析

①邊際利潤的一般經濟含義是當銷售量為q個單位處于某一水平有微小變化時利潤的瞬時變化率；可以表述為：銷售量為q個單位時，再增加（減少）銷售一個單位時利潤的增加（減少）量，邊際利潤等于利潤函數的一階導數。由于線性量本利經濟函數的特性，根據邊際定義得出結論： 邊際利潤等于銷售價格減去單位成本。 A 產品此時邊際利潤等于80 元/個，邊際利潤大于零，屬于具有“正貢獻”產品，因此，增加銷售量會使企業增產增收，減少銷售量會使企業減收，甚至虧損。 如果銷售量增加5 萬個， 在其他因素不變的情況下，可以增加利潤400 萬元；如果銷售量減少5 萬個，在其他因素不變的情況下，銷售利潤減少400 萬元；盈虧平衡的產量8.25 萬個/年，如果銷售量低于8.25 萬個，企業生產本產品將發生虧損。

②邊際成本的一般經濟含義是當銷售量為q個單位處于某一水平有微小變化時成本的瞬時變化率；可以表述為：銷售量為q個單位時，再增加（減少）銷售一個單位時成本的增加（減少）量，邊際成本等于成本函數的一階導數。由于線性量本利經濟函數的特性，根據邊際定義得出結論： 邊際成本等于單位變動成本。該產品目前的邊際成本（單位變動成本）為180 元/個，盈虧平衡時的邊際成本（單位變動成本）是227 元/個，也就是說，該產品邊際成本上升26.11%，生產該產品將沒有利潤； 該產品邊際成本由180 元/個上升到260元/個，邊際利潤為零，該產品變成“零貢獻”產品。

③邊際收入的一般經濟含義是當銷售量為q個單位處于某一水平有微小變化時收入的瞬時變化率；可以表述為：銷售量為q個單位時，再增加（減少）銷售一個單位時收入的增加（減少）量，邊際收入等于收入函數的一階導數。由于線性量本利經濟函數的特性，根據邊際定義得出結論： 邊際收入等于銷售價格。 該產品目前的邊際銷售收入（銷售價格）為260 元/個，盈虧平衡時的邊際銷售收入為213 元/個，也就是說，該產品邊際銷售收入下降18.07%，生產該產品將無利可圖；該產品邊際銷售收入由260 元降為180 元/個，邊際利潤為零，該產品變成“零貢獻”產品。

④降低固定成本，可以直接增加利潤，該產品固定成本20%， 盈虧平衡時邊際利潤由33 元/個下降為26.40 元/個，也下降了20%，該產品盈虧平衡時固定成本為1600 萬元，說明在其他因素不變的情況下， 固定成本增加142.42%，生產該產品才會虧損。

⑤邊際固定成本為零， 表明固定成本不隨銷售量的變化而變化， 但單位固定成本隨銷售量的變化而變化，并且成反比關系，銷售量20 萬個時，單位固定成本33 元/個；銷售量25 萬個時，單位固定成本26.4 元/個；銷售量15 萬個時，單位固定成本44 元/個。

2.邊際利潤等于零、邊際收入等于邊際成本（P=V型）的實例應用

分析采用的資料：產品銷售價格220 元/個，單位變動成本220 元/個，固定成本660 萬元/年，銷售量20萬個/年，生產能力25萬個/年。

（1）根據分析資料計算的邊際數據

①邊際收入MS=S′（q）=P=220 元/個

②邊際成本MC=C′（q）=V=220 元/個

③邊際利潤MR=R′（q）=S′（q）-C′（q）=P-V=0

④邊際固定成本MF=F′=0

⑥盈虧平衡時邊際收入和銷售價格S0′=P0=R0′+V=253 元/個

⑦盈虧平衡時邊際成本和單位變動成本C0′=V0=P-R0′=187 元/個

2.1.2 文獻報告 文獻學習是科學研究的基礎，通過查閱文獻可以快速掌握專業知識，了解相關學科發展動態，從而有助于科研選題。由于專業不同，每位學生的研究內容也各有側重，因而學生的文獻學習具有各自特點，在一起交流有擴大知識面、互相啟發、開闊研究思路的作用。如中醫專業學生進行關于《四圣心源》醫書中主張“中氣之治”學術思想的探討；中藥專業學生進行鹿茸商品規格的分子鑒定技術、氣相色譜—質譜聯用技術等專題討論。

⑨盈虧平衡時固定成本F0=R′（q）·Q=0

⑩銷售收入 4400 萬元

?銷售成本 5060 萬元

?銷售利潤 -660 萬元

（2）分析

②降低邊際成本（單位變動成本）是實現扭虧為盈的主要途徑， 該產品的盈虧平衡時邊際成本（單位變動成本）C0′=V0=187 元/個，在其他條件不變的情況下，邊際成本（單位變動成本）下降15%以上，就能扭虧為盈。

③提高邊際收入（銷售價格）也是實現扭虧為盈的主要途徑， 該產品盈虧平衡時邊際銷售收入（銷售價格）S0′=P0=253 元/個，在其他條件不變的情況下， 銷售價格提高15%以上就能扭虧為盈。

④降低固定成本，可以直接減少虧損，該產品固定成本降低20%， 盈虧平衡時邊際利潤由33 元/個下降為26.40 元/個， 也下降了20%，盈虧平衡時固定成本極值為零，說明單靠降低固定成本無法實現扭虧為盈。

⑤邊際固定成本為零， 表明固定成本不隨銷售量的變化而變化， 但單位固定成本隨銷售量的變化而變化，并且成反比關系，銷售量20 萬個時，單位固定成本33 元/個；銷售量25 萬個時，單位固定成本26.4 元/個；銷售量15 萬個時，單位固定成本44 元/個。

3.邊際利潤小于零、邊際收入小于邊際成本（P

分析采用的資料：產品銷售價格230 元/個， 單位變動成本240 元/個， 固定成本660萬元/年，銷售量20 萬個/年，生產能力25 萬個/年。

（1）根據分析資料計算的數據

①邊際收入MS=S′（q）=P=230 元/個

②邊際成本MC=C′（q）=V=240 元/個

③邊際利潤MR=R′（q）=S′（q）-C′（q）=P-V=-10 元/個

④邊際固定成本MF=F′=0

⑥盈虧平衡時邊際收入和銷售價格S0′=P0=R0′+V=273 元/個

⑦盈虧平衡時邊際成本和單位變動成本C0′=V0=P-R0′ =197 元/個

⑨盈虧平衡時固定成本F0=R′（q）·Q=-200 萬元

⑩銷售收入 4600 萬元

?銷售成本 5460 萬元

?銷售利潤 -860 萬元

（2）分析

①邊際利潤為-10 元/個， 邊際收入小于邊際成本，A 產品此時屬于“負貢獻”產品，銷售量的增減對彌補固定成本有“負貢獻”。 增加銷售量，會使企業增加虧損；雖然減少銷售量會使企業減少虧損， 但不管銷售量如何減少， 虧損不會低于固定成本數額， 銷售量為零， 虧損數額等于固定成本額， 只要有銷售量，虧損數就大于固定成本數額。

②降低邊際成本（單位變動成本）是實現扭虧為盈的主要途徑， 該產品的盈虧平衡時的邊際成本為197 元/個，在其他條件不變的情況下，邊際成本下降17.92%以上，就能扭虧為盈。

③提高邊際收入（銷售價格）也是實現扭虧為盈的主要途徑， 該產品盈虧平衡時邊際銷售收入（銷售價格）S0′=P0=273 元/個，在其他條件不變的情況下，邊際銷售收入（銷售價格）提高12.09%以上就能扭虧為盈。

④降低固定成本，可以直接減少虧損，該產品固定成本降低20%， 盈虧平衡時邊際利潤由33 元/個下降為26.40 元/個， 也降低了20%。 盈虧平衡時固定成本極值為-200 萬元，表明在其他條件不變的情況下，就是固定成本為零時，還要虧損200 萬元。

⑤邊際固定成本為零， 表明固定成本不隨銷售量的變化而變化， 但單位固定成本隨銷售量的變化而變化，并且成反比關系，銷售量20 萬個時，單位固定成本33 元/個；銷售量25 萬個時，單位固定成本26.4 元/個；銷售量為15 萬個時，單位固定成本44 元/個。

通過邊際原理在線性量本利經濟函數的應用和實例應用分析，我們比較充分地認識到： 線性量本利經濟函數應用邊際原理，對線性量本利經濟函數進行一階導數的計算，不僅直接得出邊際數據，簡化了盈虧平衡分析的計算公式，同時也有利于對邊際概念的理解，特別是再引入“PV 分析法”，使線性量本利經濟函數邊際分析更加簡捷明確，有利于普遍推廣應用，同時也符合現實統計和財務制度的要求。 這里需要特別強調：邊際在線性量本利經濟函數的應用，不僅限于本文例舉的財務管理相關內容，只要符合線性量本利經濟函數類型，包括：生產管理、管理會計、 技術經濟等領域的一般經濟分析、預測和決策經濟分析都是適用的，在這里就不贅述。

五、邊際原理在非線性量本利經濟函數的應用與思考

線性量本利經濟函數的一階導數均為常數，可以根據邊際計算結果和結論及“PV 分析法”進行定量定性的邊際分析，而非線性量本利經濟函數通過一階導數計算， 得出的是邊際函數，難以直接進行邊際經濟分析。這就需要邊際經濟的延伸應用， 將二階導數求極值的方法應用于非線性量本利經濟函數，從而形成非線性量本利經濟函數邊際的優化分析體系，應用利潤最大化定理，解決非線性量本利經濟函數中利潤最大值時最優產量的計算；應用平均成本最小化定理，解決非線性量本利經濟函數的平均成本最低時最優產量的計算， 從而解決非線性量本利經濟函數的邊際分析問題。

（一）利潤最大化定理的應用與思考

1.定理一般表述

在經濟函數符合邊際延伸應用定理的前提條件下，邊際利潤為零，當邊際成本和邊際收入相等時，實現的利潤最大。此點對應的產量為利潤最大時的最優產量。

2.應用定理及計算方法

設利潤函數R（x），收入函數S（x），成本函數C（x）

要使MaxR（x）存在，必R（x）可導，R″（x）<0

且R′（x）=0，求得x

對應有MaxR（x）

R（x）=S（x）-C（x）

R′（x）=S′（x）-C′（x）

若R″（x）<0

令R′（x）=0

有S′（x）-C′（x）=0

存在MaxR（x）

3.定理的理解與思考

①當邊際成本小于邊際收入時， 說明增加一個單位數量（產量或銷量），會使利潤逐步提高（C′（x）

②當邊際成本大于邊際收入時， 增加一個單位數量（產量或銷量），會使利潤逐步降低（C′（x）>S′（x），R（x）↓）。

③只有C′（x）=S′（x）時，存在MaxR（x）。此點對應的產量為利潤最大時的最優產量。

4.利潤最大化定理的應用實例

（1）公司B 產品非線性量本利經濟函數

①收入函數S（q）=0.6q2+160q

②成本函數C（q）=0.8q2+80q+6480

③利潤函數R（q）=S（q）-C（q）

=-0.2q2+80q-6480

其中q單位為套，其他單位為萬元

（2）根據邊際原理得出公司B 產品邊際函數

①邊際收入函數MS=S′（q）=1.2q+160

②邊際成本函數MC=C′（q）=1.6q+80

③邊際利潤函數MR=R′（q）=-0.4q+80

（3）根據利潤最大化定理計算

①方法一：

由于R″（q）=-0.4 <0，存在MinR（x）

令R′（q）=0

有-0.4q+80=0

則q=200

②方法二：

當C′（q）=S′（q）時

有1.6q+80=1.2q+160

則q=200

（4）q=200 時利潤最大化的最優數據

①邊際收入S′（200）=400

②邊際成本C′（200）=400

③邊際利潤R′（200）=0

④收入S（200）=56000

⑤成本C（200）=54480

⑥利潤R（200）=1520

（5）B 產品不同產量q 時數據對比情況（詳見表1）

表1 B 產品不同產量q 時數據對比情況

（二）平均成本最小化定理的應用與思考

1. 定理一般表述

在經濟函數符合邊際延伸應用定理的前提條件下，邊際平均成本為零，當平均成本與邊際成本相等時，平均成本最低。此點對應的產量為平均成本最低時的最優產量。

2.應用定理的計算方法

設x為產量，C（x）為成本

則C′（x）為邊際成本，為平均成本

要使A（x）達到最?。ㄇ驧inA（x））

必A′（x）可導

若A″（x）>0

令A′（x）= 0 求得x 對應的MinA（x）

根據商的求導法則

若A″（x）>0， 存在MinA（x）

令A′（x）=0

∴C′（x）-A（x）=0

即C′（x）=A（x）時存在MinA（x）

3.定理的理解與思考

①因為當邊際成本小于平均成本時，說明增加一個單位的產量的成本小于原來的平均成本，則增產會使平均成本逐步降低；

②而當邊際成本大于平均成本時， 說明增加一個單位的產量的成本大于原來的平均成本，則增產會使平均成本逐步升高；

③只有邊際平均成本為零， 當邊際成本等于平均成本時，平均成本最低，此點對應的產量為最優產量。

4.平均成本最小化定理的應用實例

（1）公司B 產品非線性量本利成本經濟函數

（2）根據邊際原理得出公司B 產品邊際經濟函數

（3）根據成本最小化定理計算

①方法一：

則q2=8100

得q1=-90，q2=90

取q=90（q>0）

②方法二：

則q2=8100

得q1=-90，q2=90

取q=90（q>0）

（4）q=90 時平均成本最小化的最優邊際經濟和經濟數據

①邊際收入S′（90）=268

②邊際成本C′（90）=224

③邊際利潤R′（90）=44

④收入S（90）=19260

⑤成本C（90）=20160

⑥利潤R（90）=-900

⑦平均成本（90）=224

（5）B 產品不同產量q時數據對比情況（詳見表2）

表2 B 產品不同產量q 時數據對比情況