深度發掘圖表功能，發展數據分析觀念

黃慧明 陳志遠 黃麗艷

摘要：在大數據時代背景下，發展學生數據分析觀念，落實數據分析核心素養，對于提升公民的信息甄別能力和應用水平具有重要意義。統計圖表既是數據依附的載體，也是一種數據的表現形式，教學中應牢牢抓住這一抓手，深度發掘圖表功能，促進學生數據分析觀念發展。具體做法主要有：注重數表轉換，發展數據整理經驗;注重表圖轉換，發展數據描述經驗;注重圖數轉換，發展數據析取經驗;注重圖圖轉換，發展整體數據意識等。

關鍵詞：數據分析觀念;數據分析經驗;統計圖表;教學實踐

數據分析是義務教育數學課程標準強調的十大核心概念之一，也是高中數學六大核心素養之一?！读x務教育數學課程標準》如是描述數據分析觀念：了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析作出判斷，體會數據中蘊含著信息;了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法;通過數據分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同，另一方面只要有足夠的數據就可以從中發現規律。[1]在大數據時代背景下，信息資訊豐富多元，無論是人們面對的數據形式，還是面對的數據數量，都較以前有了顯著的不同。教學中注重發展學生數據分析素養，促其形成統計直觀，對于提升公民對各種形形色色的信息的甄別能力和應用水平，有著重要的意義。

統計圖和統計表一方面作為數據依附的載體，另一方面自身也是一種數據的表現形式。史寧中等人在《“數據分析觀念”的內涵及教學建議》中指出：隨著信息的迅速增長，我們需要擴大對數據的認識。只要蘊含著一定信息，無論是什么表現形式，都是數據。[2]不同的統計圖表，其數據的蘊含形式和內涵，各有不同。在統計教學中，深度發掘統計圖表的功能，在不同形式的圖表之間進行轉換，對于積累學生數據分析經驗，培育學生數據分析觀念，有著積極的效果。

一、注重數表轉換，發展數據整理經驗

統計表是由縱橫交叉線條所繪制的表格來表現統計資料的一種形式，是表現數字資料整理結果的最常用的一種表格。統計調查所得來的原始資料，經過整理，得到說明社會現象及其發展過程的數據，把這些數據按一定的順序排列在表格中，就形成"統計表"。統計表一般包括總標題、橫標題、縱標題、數字資料、單位、制表日期。統計表依統計項目的多少可分為簡單統計表和復式統計表。

教學中教師應重視將學生通過調查（全面調查或抽樣調查）獲得的數據，通過統計表的形式進行整理。在統計表格的繪制及數據的錄入過程中，學生逐漸感知到數據從無序變成有序，從孤立變成聯系，從模糊變成清晰，更加深刻地感受到數據的涵義，從而培育起對數據的親近感。教師還應讓學生思考“能否從統計表中還原出原始數據”這樣的問題，因為這有助于學生提升數據整理經驗的全面性。

案例1：《加權平均數2》

應該注意的是，“加權平均數”的教學內容，是一個很好的發展學生數據整理經驗的載體。以人教版八下第114頁的探究為例，按照教材的順序進行教學的話，學生最大的難點在于為什么突然冒出一個“組中值”的概念，其必要性與合理性學生是存在質疑的。筆者在實施該課教學時，將教材第122頁的“綜合運用”第6題改編后前置，先讓學生按具體溫度進行整理，得到表1，然后由前一節課所學的加權平均數公式得到：

教師提出：如果是計算的范圍是一年呢？

學生：還是一樣呀，但是表格的行數會多一些。

教師繼而提出：如果對結果的精確度要求不能么高的話，能否想個辦法減少上述表格的行數？

學生：可以把氣溫按段分組，列出頻數分布表。比如從最低13°C開始，按照13-18，18-23，23-28，28-33這樣分組。

教師：那18算哪個組？

學生：我們可以規定18算后面那一組。

或者按照 這樣分成4組，統計每一組的頻數。這個頻數就是權。

教師：也可以按

分，這樣也可以避免出現“18歸屬前面還是后面”的問題。請同學們按剛才同學的思路列出表格。第一組就按間隔5°C一組，第二組按間隔4°C一組，第三組按照7°C一組，第四組按照3°C一組。

學生展示（見表2）：

在各小組完成列表后，教師追問：如何求出平均氣溫呢？

學生：已經有了每一組數據的權，缺的是每一組數據用哪個值來計算。

教師：你們覺得用哪個值來計算合理？

學生討論后：用每一組數據的平均值作為數據的代表。

教師先指出組中值的概念，然后請各小組先在各自的表格中補上“組中值”列（見表3），并用這種方法求出相應的平均值。

學生：第一組平均值為21.16°C，第二組平均值為22°C，第三組平均值為22.03°C，第四組平均值為

教師：從各組計算的結果來看，有什么規律？

學生：組距越小，分組越多，平均值越接近實際數值。

教師：那是不是分組越多越好？

學生：分組越多整理起來越麻煩。

教師：所以有必要在精確和便捷之間尋找平衡。一般來說，數值跨度不是太大的話，分成5-12組左右較為適宜。另外我們也要看到，從頻數分布表是沒法還原出原始數據的。

在這樣的設計中，學生從實際問題出發，從統計的角度進行思考，經歷從復雜而準確的統計表到簡潔但近似準確的頻數分布表的建構過程，理解了為什么分組，怎么選取每組數據的代表，有效發展了學生數據整理的經驗。

二、注重表圖轉換，發展數據描述經驗

利用統計圖表整理和描述數據，有利于我們發現和探索數據中蘊含的規律，提取數據中的信息。初中階段涉及的統計圖主要有條形圖、扇形圖、折線圖和直方圖，不同的統計圖從不同側面對數據的特點進行了描述。教學中，引導學生學會根據問題的需要，合理進行圖表轉換，進而理解結果有“好壞”而無“對錯”之分，可以促進學生的數據描述經驗的發展。

案例2：利用抽樣調查得到的數據進行表圖轉換

下表是雷若一同學通過對所在小區某垃圾投放點管理員進行調查，了解到的自從開始實施生活垃圾分類兩個月以來該處投放點錯誤分類糾正情況的數據：

選用合適的統計圖進行數據描述并回答下列問題：

（1）第一周各種錯誤分類的具體次數分別是多少？

（2）開始實施生活垃圾分類兩個月以來，該投放點中各種錯誤分類所占的比例分別是多少？

（3）開始實施生活垃圾分類兩個月以來，該投放點中哪種錯誤分類經過糾正后改進效果最好？

學生1：第（1）個問題適合用條形圖來描述，各個類別的數目一目了然，很直觀。

學生2：我有個疑問，表格中的數據不也很具體嗎？干嘛還要畫條形圖。

學生3：數字固然具體，但是不容易記，也不便比較，條形圖把比較的結果通過“高度”呈現出來，很形象，很直觀，容易說明問題。

教師：數據數量多的話，用統計圖來描述的優勢就更明顯。

學生4：第（2）個問題適合用扇形圖來描述，各部分所占的比例很清晰，這是扇形圖的重要特點。

學生5：第（3）個問題也可以用條形圖，每周同時把四種錯誤分類的“柱”放在一起畫，可以起到比較的效果。

學生6：不行，那只能看出每周誰多誰少，看不出趨勢。

學生7：要看出變化趨勢，最好的選擇還是用折線圖。

教師：折線圖其實可以看成數量隨時間變化的函數圖像，函數是研究變化最有力的工具。

值得注意的是，因為信息技術的發展，統計圖的繪制都可以通過軟件自動生成，教學中應有意識將側重點放在“識圖”而不是“繪圖”上，這種處理對于中下層次的學生而言，可以提升他們參與相關教學活動的積極性，自然地，也會促進他們數據描述的經驗發展。

另外，在表圖轉換過程中，要注意培養學生對待數據的“科學的直觀”。表圖轉換的最大好處就是其呈現數據的直觀形象，予人以簡潔明了。但這種直觀簡潔必須建立在科學準確的基礎上，否則會出現偏頗甚至錯誤的描述。如下圖中，縱軸的起始刻度從15開始，很容易讓讀者產生錯覺，認為喜愛體育的人數差不多是喜愛新聞的3倍，實際結果還不到2倍。

再者作為表圖轉換的補充，教學中要引導學生思考“由圖化表”的問題。由于不同統計圖各有特點，其“由圖化表”的程度也不盡相同。條形圖和折線圖很容易轉換成相應的統計表，扇形圖必需明確總數才能明確具體的數目，頻數分布直方圖則無法還原出“原始數據”，只能還原出各組的頻數分布表。

三、注重圖數轉換，發展數據析取經驗

從《義務教育數學課程標準》對數據分析觀念的敘述來看，讓學生了解“對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法”是其三大內核之一。這應該從兩個方面來理解：一是要掌握基本的數據分析方法，二是會根據問題的背景選擇合適的方法。只有緊緊圍繞這兩個方面來設計和實施教學，才能逐步促使學生感受數據分析方法的好壞及適用條件，乃至創造新的方法解決問題。[3]統計圖是對經過整理的數據的一種直觀的描述，也是日常生活中接觸得較多的一種數據的載體，教師應在教會學生如何有效而快速地從中析取需要的統計特征量、發展學生的數據提取經驗上多下工夫。

1.從條形圖和扇形圖中提取統計特征量

條形圖能夠直觀顯示各項目的具體數量，扇形圖則對各部分所占的比例一目了然，只要明確眾數和中位數的概念，要從這兩種統計圖中提取出眾數和中位數比較容易。學生容易犯錯的，主要是平均數。其原因在于有些學生對于數據的“權”的概念一知半解，只是生硬地記憶教材提供的公式;而教師在教學中更多出于應試的目的，只是在?？碱}型中讓學生去進行訓練加權平均數的計算，未能深究“根據實際需要對不同類型的數據賦予與其重要程度相應的比重，其中...分別稱為...的權”的內涵，從而導致學生對“權”的表現形式停留在百分數和比例上，不善于根據具體問題去分析何為“數據”和“數據的權”。

案例3：利用條形圖析取“平均數”

如圖是根據某班40名同學一周的體育鍛煉情況繪制的條形統計圖.那么該班40名同學一周參加體育鍛煉時間的眾數、中位數和平均數分別是_________________。

學生1：由圖知，眾數是8小時;共40個數據由小到大排列后，第20個數據和第21個數據都是9小時，故中位數也是9小時;數據3、16、14、7的權依次是7、8、9、10，根據加權平均數公式易得：

學生2：我的答案中眾數、中位數和前面同學一樣，平均數和他不同。我認為數據7、8、9、10的權依次是3、16、14、7，根據加權平均數公式易得 。

教師：兩個同學之所以得到的平均數不同，關鍵在于對于什么是“數據”和“數據的權”不明確。對這兩個同學的答案，你們有什么看法？

學生3：我支持第2個同學的答案，題目中已經明確告訴我們要研究“該班40名同學一周參加體育鍛煉時間”，因此“數據”應該是時間，“數據的權”應該是相應的人數。

學生4：我也支持第2個同學的答案，他前面求眾數和中位數都已經知道“時間”是數據了啊。不能前面把“時間”當“數據”，后面又把“人數”當“數據”。

教師：像這種問題，關鍵在于審題要細致，弄清題目的研究對象是什么。本題研究對象是“該班40名同學一周參加體育鍛煉時間”，即有7小時、8小時、9小時、10小時等四個“數據”，每個數據對應的人數反映了該數據的比重，也就是該數據的“權”。對于通過條形圖析取“平均數”，有一個比較直觀的做法，橫坐標的量是“數據”，縱坐標的量是“權”。

2.從折線圖中析取統計特征量

折線圖能夠較好地反映數據的變化趨勢。其眾數、中位數、平均數的析取，和條形圖、扇形圖類似。比較不同的是，利用折線圖，有時可以無需經過計算，就可以比較兩組數據的方差。適當加強這方面的訓練，有助于學生統計直觀的達成。

案例4：利用折線圖比較兩組數據的方差

為提高節水意識，小申和小邵隨機統計了自己家7天的用水量，將得到的數據進行整理后，繪制成如圖所示的統計圖.（單位：升）

試分析這兩組數據的平均值和方差的大小。

教師：你們的答案是？

學生齊：平均數相同，小申家的數據方差小。

教師：我們請小杰說說他是怎么得出答案的。

小杰：計算啊，平均數就是各自加起來，除以7，都是800.方差嘛，也一樣，代入方差公式，巴拉巴拉，可以算出小申家數據的方差是 ，小邵家數據的方差是 。

小郴：平均數還是一樣要算。方差不用算，直接看。

教師：怎么看？

小郴：方差是表示一組數據離散程度的指標，數據越不整齊，越離散，方差就越大。兩組數據的平均數一樣，但是顯然小邵家的數據偏離平均數的幅度大很多，因此不用算也可以判斷小申家數據方差小。

教師：小郴的做法可以理解為“數形結合”。我們要認真體會各種統計特征量的含義，在解決問題時，做到活學活用。當然了，如果偏離程度沒那么明顯的話，那就只能算。

3.從直方圖中析取統計特征量

與條形圖、扇形圖、折線圖不同，頻數分布直方圖通過計算落在某個區間內的頻數來簡化數據，直觀反映了各個區間上數據分布的確切數目，但是無法通過直方圖恢復出原始數據。其平均數的析取，還要先用區間兩個端點的平均數（組中值）作為數據的代表，再利用加權平均數的公式進行計算。

案例5：利用頻數分布直方圖確定平均數

為養成學生課外閱讀的習慣，各學校普遍開展了“我的夢中國夢”課外閱讀活動.某校為了解七年級1 200名學生課外日閱讀所用時間情況，隨機抽查了部分同學，進行了相關統計，整理并繪制出如下的頻數分布直方圖.

該校七年級學生平均課外日閱讀所用時間大約是______小時.

筆者在講解此類問題時，采取“退一步”的策略，先讓學生通過條形圖求“平均數”（如案例3），再設計以下問題串進行導引和針對性提問（針對班級中的中下層次）：

（1）兩個問題的目的是否相同？兩個問題的條件的呈現方式是否相同？

（2）通過條形圖求平均數時，你怎么確定“數據”和“數據的權”？

（3）觀察頻數分布直方圖，題中共有幾組數據？每一組數據的權各是多少？

（4）怎么確定各組數據的代表？

（5）如下是兩個同學的列式求解過程，你贊同誰的做法？

在不斷的比較中，歸納相同的部分：都是通過統計圖求平均數、“數據”都指時間、“數據的權”都是相應的人數;發現不同點：一個是條形圖一個是頻數分布直方圖、一個已經有“數據”另一個缺少“數據的代表”;在明白算理的基礎上，才談得上固化學生“利用頻數分布直方圖確定平均數”的技能。

四、注重圖圖轉換，發展整體數據意識

不同的統計圖從不同的角度對數據進行描述，教學中注重統計圖之間的轉換，有助于學生進一步體會不同統計圖的特點，還有助于學生全面把握數據的內涵，發展學生的整體數據意識。教學中要先讓學生熟悉完整統計圖之間的轉換，再進一步拓展到不完整統計圖的互相補充與完善。

案例6：完整統計圖之間的相互轉換

下圖是某班學生階段測試數學成績各分數段人數的條形圖，請據此畫出該班學生數學成績的扇形圖。（分優秀——95.5～120;良好——83.5～95.5;及格——71.5～83.5;不及格——0～71.5四類）

下面是筆者和小軒（數學成績班級中下）的對話：

小軒：老師，這題我不會做。

教師：沒事，我教你。你先告訴我從已知的條形圖能得到什么信息？

小軒：總共有6條，每一條的人數也都知道了。

教師：那總人數呢？

小軒：加起來就是總人數，40人。

教師：題目要求我們做什么事呢？

小軒：畫扇形圖。

教師：畫扇形圖要知道什么信息？

小軒：分成幾塊、每一塊的百分數。

教師：很好，題目要求分成幾塊？

小軒：分成四塊。

教師：怎么把條形圖中的六塊，變成扇形圖中的四塊？

小軒：第1、2兩塊合起來是不及格，有6人;第3塊是及格，有8人;第4塊是良好，有10人;第5、6兩塊合起來是優秀，有16人。

教師：你能把每一塊的人數轉換成百分數和相應扇形的圓心角度數嗎？

小軒：能。只要把各塊的人數除以40，就可以算出百分數，再乘上周角的度數360，就可以得出每一塊的圓心角。

教師：那這個題目你會做了嗎？

小軒：會了，謝謝老師！

教師：碰到不會做的題目不要慌，先想想已知什么，還能得到什么，再想想要求什么，只需要什么，兩邊一對照，往往就可以理清思路，找到辦法。

扇形圖略。

案例7：不完整統計圖之間的互相補充與完善

某高中進行“選科走班”教學改革，語文、數學、英語三門為必修學科，另外還需從物理、化學、生物、政治、歷史、地理（分別記為A、B、C、D、E、F）六門選修學科中任選三門，現對該校某班選科情況進行調查，對調查結果進行了分析統計，并制作了兩幅不完整的統計圖.

請根據以上信息，將以上統計圖補充完整。

筆者在講解此類問題時，通常會指導學生先按照圈讀文本、比讀統計圖的程序進行閱讀，再通過閱讀獲取各自統計圖缺損的信息和同一對象的不同信息;然后根據同一對象的不同信息尋找關聯，發掘隱含信息;最后再補全缺損信息。如本題中，由扇形圖得知化學占比20%，由條形圖得知選化學的人數為10人，根據 ，可以求出總人數為50人。

當然，發展學生的數據分析觀念，最主要的途徑是讓學生親歷有意義的統計活動過程。但是如果在課堂教學中，教師能夠充分發掘統計圖表功能，做到以上四個注重，對于發展學生數據分析觀念必將產生積極的影響。另外應該指出的是，教師還應當注意統計與其它模塊知識的結合，在大統計思維下去發掘統計圖表功能，發展學生數據分析觀念。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]史寧中，張丹，趙迪.“數據分析觀念”的內涵及教學建議[J].課程.教材.教法，2008，（6）：40-44.

[3]付巍.數據分析觀念的內涵及培養[J].數學通報，2015，（8）：28-31，35.

作者簡介：黃慧明，廈門市金尚中學高級教師，廈門市學科帶頭人，專家型教師培養對象。