中西方音階中的數學知識

李新華

中西方音樂在世界藝術領域中都有著各自重要的地位.中國音樂古樸素雅，西方音樂豐富多變，均受到人們的喜愛.當我們對二者進行時，就會發現它們的音階體系有著明顯的差異.由于地域位置、生活環境和選取材料的不同，人們所獲得的音階構成形式也有很大的差異，由此便誕生了七聲音階和五聲音階.

中國的傳統音階是五聲音階，由“Do、Re、Mi、Sol、La”這五個全音組成，在中國古代典籍中寫作：宮、商、角、徵、羽.西方音階是七聲音階，即“Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si”.

中國傳統五聲音階早在公元前十世紀就已經出現.《國語》記載的“景王問鐘律于伶州鳩”中，就曾提到“宮、角、羽”三個音.西方音樂學家通常把古希臘音樂作為西方音樂的起源.但古希臘調式音樂為“四音列”，每兩個相同結構的“四音列”首尾相連可組成一個七聲調式，這可能是七聲音階最早的雛形.

令人驚訝的是，我們可以運用數學知識來解釋音樂的基本元素——樂音與音階的構成原理.

我國最早有關音律的記載是《管子·地員》中提到的用“三分益一”和“三分損一”的方法研究五聲音階中各音階弦長比.這種依據聲學原理，運用數學方法研究音階的理論稱為“三分損益律”，如下圖.作為一種生律法，它不僅可以生成五聲音階，還可以生成十二律.《呂氏春秋·音律》中就記載了十二律的名稱和推算過程.

幾乎在同一時期，古希臘數學家畢達哥拉斯也在探索音樂與數學的關系.他認為琴弦的長短和音調的高低是成比例的，當弦長比分別為 2：1（純八度）、3：2（純五度）、4：3（純四度）時，發出的音是協調完美的.他以純五度作為生律的關鍵，提出了“五度相生律”，亦被稱為“畢達哥拉斯律”.“五度相生律”與“三分損益律”有著極其相似的地方，這說明人類聽覺能力的進化和對自然音階的認識是有共性的.而且，中西方音樂中音階的構成形式雖然不同，但最終結果均是將一個完整的八度音階分成了十二個半音.

另外，人耳之所以能夠聽見動聽的樂音，是因為物體振動產生的聲波，通過空氣傳播引起我們耳鼓微小振動.振動的強弱（能量的大?。w現為聲音的大小，不同物體的振動體現為聲音音色的不同，而振動的快慢就體現為聲音的高低.

當聲音頻率過高或過低時，人的耳朵就會感覺不舒服或完全不能感知，音樂中常使用的頻率范圍大約是16至4000赫茲.在七度音階中，頻率為261.63赫茲的音在音樂里用字母c1來表示.一根弦所發出的聲音與同一根弦的長度減半后發出的聲音非常和諧，因其振動頻率十分和諧，即“共鳴”，此時的兩個音便是我們常說的八度音.英國數學家泰勒確立的數學公式精確地描述了弦的狀態與音樂的關系，即：弦振動的頻率與弦的張緊力的平方根成正比，與弦的線密度的平方根成反比，與弦的長度成反比.利用這個公式，我們可以知道，一對八度音事實上就是頻率之比等于2：1的兩個音.

顯然，數學知識在樂理的研究與發展中發揮著重要作用，人們運用數學知識可以完美、精確地詮釋樂音與音階的構成原理.