新高次四維超混沌系統的廣義反同步*

鄭 莉，孫常春

(沈陽建筑大學 理學院，沈陽 110168)

近十年來，混沌理論[1]得到了迅速發展.混沌系統的特殊性在于加入了確定性輸入后，產生了類似隨機的運動，即內隨機性.這種內隨機性不同于一般隨機性，也不同于周期性，具有兩種特點.經大量研究發現，混沌廣泛存在于人類研究的各個領域.混沌現象不僅在流體力學、物理學、化學等領域被研究和應用，醫學上已經證實，麻疹的流行、血細胞生成、心肺功能的相互作用等多種人體生物現象也都是呈混沌態的.同時在社會科學中，混沌理論也被用來探討人口遷移和用電預測[2]等社會現象.已有學者提出，將混沌信號應用在人工智能中，人類將得到更高智慧的人工智能.目前對混沌理論的研究包括：提出特殊的新系統，如沒有平衡點的系統[3]、多平衡點的系統[4]、具有無窮多平衡點的系統[5]、具有共存吸引子的系統[6]、高維系統[7]、高次系統、分數階系統[8]、切換系統[9]或者兼具以上特征的多特征系統.對這些系統進行動力學分析，證明其混沌性，挖掘其新的特征并進行同步分析[10]和電路實現[11].在以往所提出的高次混沌系統中，含6次項的高次系統已經較為特殊，本文提出了含13次項的四維超混沌系統，其在x1-x2-x3三維空間中呈帽子形，在x1-x2平面投影為嘴唇形.

1 四維超混沌系統

1.1 超混沌系統概述

四維超混沌系統的表達式為

(1)

式中，a、b、c、d、e、f、g、h、l、m、n為系統中的未知參數.式(1)中包含了11項，其中5個1次項，3個2次項，1個3次項，1個6次項，1個13次項.

1.2 超混沌系統的相圖及李雅普諾夫指數譜

當a=20，b=14，c=4，d=8，e=6，f=5，g=11，h=2.8，l=1.5，m=1，n=1且初始值取(0.01，0.01，0.01，0.01)時，系統(1)是混沌的，其相圖如圖1所示.

圖1 系統(1)相圖

選取初始值為(0.01，0.01，0.01，0.01)時，系統(1)在1 000 s以內的Lyapunov指數譜如圖2所示.

圖2 系統(1)Lyapunov指數譜

式(1)狀態方程的維數為4，狀態方程的階數大于2，且LE1>0，LE2>0，LE3=0，LE4<0，LE1+LE2+LE4<0，故系統(1)為超混沌系統.

2 廣義反同步控制器設計及仿真實驗

2.1 非線性廣義反同步控制器設計

響應系統和驅動系統的軌道之間滿足某一特定函數關系的同步，稱為廣義同步，本文給出設計非線性廣義反同步控制器的方法.指定系統(1)為驅動系統，則響應系統為

(2)

令

(3)

將式(2)與式(1)相加，可得

(4)

令非線性控制器為

(5)

將式(5)代入式(4)，則有

(6)

e1(-ae2+ω1)+e2(de2+ω2)+

e3(-ge3+ω3)+e4(me1+ne4+ω4)

(7)

2.2 仿真實驗

在Matlab平臺下，取誤差為10-6，x1(0)=0.01，x2(0)=0.01，x3(0)=0.01，x4(0)=0.01，y1(0)=0.02，y2(0)=0.02，y3(0)=0.02，y4(0)=0.02，在非線性控制器作用下，驅動系統與響應系統能迅速同步.圖3為加入控制器時系統(1)和(2)的反同步誤差曲線.

圖3 加入控制器時系統(1)和(2)的反同步誤差曲線

3 結 論

本文提出了含超高次項四維超混沌系統，在非線性反同步控制器作用下，驅動系統與響應系統能夠迅速同步.因該超混沌系統具有一定的特殊性，在保密通信及圖像加密中具有更高的實用價值.