密里根油滴實驗的理論分析和測量結果討論

陳學文，張家偉，方 旺，向思璇，謝騰輝，張欣笛

（重慶科技學院 數理與大數據學院，重慶 401331）

1 關于密立根油滴實驗

電荷不連續性的發現和電子電量的精確測定推進了人們對微觀結構的認識。密立根油滴實驗是由實驗物理學家密立根首先設計并完成的，在近代物理學的發展史上是一個十分重要的實驗。它證明了任何帶電體所帶的電荷都是某一最小電荷——基本電荷的整數倍；明確了電荷的不連續性；并精確地測定了基本電荷的數值，為實驗上測定其他一些基本物理量提供了可能性[1]。密立根從1906年開始致力于微小油滴帶電量的測量，用了11年時間，經過多次重大改進，終于以上千顆油滴的確鑿實驗數據無可辯駁地證實了電荷的量子性，并測出基本電荷的電量e=(1.5924±0.0017)×10-19C，現代精確值為1.602×10-19C。而在當前實驗條件遠比密立根時期好的情況下，當代大學生能否“重復密立根的故事”？這是一個值得思考的問題。

密立根油滴實驗是理工科大學物理實驗中一個十分重要的近代物理實驗，目前已有很多文獻從不同方面對該實驗作了分析討論。文獻[2]分析了密立根油滴實驗測量結果的不確定度；文獻[3]討論了基于大數據分析思路的油滴實驗數據處理方法；文獻[4]—[5]分別借助Origin軟件和Mathematica軟件討論了密立根油滴實驗的數據處理；文獻[6]—[8]討論了密立根油滴實驗中油滴的選取原則等。由于大學物理實驗課時的限制，在實際測量時一般要求學生選擇5顆不同的油滴進行測量，或者只選擇1顆“合適”的油滴，對該油滴測量5次平衡電壓和下落時間。針對測量得到的油滴帶電量，采用“倒過來驗證法”來確定該油滴所帶基本電荷的“量子數”，進而計算基本電荷量。

密立根油滴實驗是測量微小油滴的帶電量，而不是電子的電荷。該實驗通過對宏觀量的觀測來揭示微觀量本身所具有的屬性，所以必定要通過對大量觀測數據的計算和統計。只有測量足夠多數量的油滴，找出油滴帶電量分布，才能深刻體會電荷量子化的內涵。在“大學物理實驗”課堂實際測量過程中，學生往往有以下三個困惑：①為何要求平衡電壓介于150 V到400 V之間，下落時間控制在15 s到30 s之間？②“靜態平衡法”測量過程中為何可將油滴看作“勻速下落”？③如何通過1顆或5顆油滴的帶電量得出“電荷量子化”的結論？

本文針對學生在做密立根油滴實驗中存在的三個主要困惑，首先結合油滴帶電量、平衡電壓和下落時間三者之間的關系，從理論上分析選擇合適平衡電壓和下落時間的原因；進而從力學角度分析在測量過程中油滴“勻速”下落的合理性；最后基于312顆油滴的測量數據，按照油滴的帶電量進行分類，發現當電荷量不超過5 e時，可明顯看出電荷分布的量子化，但當電荷量大于5 e時，量子化現象不明顯。

2 油滴電量、平衡電壓和下落時間之間的關系

在實驗中，經霧化后的油滴的大小和電荷具有隨機性，必須選擇平衡電壓和勻速下落時間合適的油滴，才能滿足驗證物體帶電量不連續和提高實驗結果精確度的要求。本文首先通過不同帶電量油滴下落的U-tf關系討論如何選擇合適的油滴。在平衡法中，油滴所帶的電量由下式給出[9]：

表1 實驗所用的參數值

將各物理量的具體數值代入r0的表達式和式（1）可得：

若已知油滴的電荷量q，由式（3）可得平衡電壓和下落時間的關系滿足：

圖1基于式（4）給出了油滴取不同電荷量時，平衡電壓與下落時間的關系。從圖1可以看出，當平衡電壓取150～400 V，下落時間取16 s以上時，油滴的帶電量理論上不超過 5 e；若將平衡電壓控制在200～400 V，下落時間在20 s以上時，油滴的帶電量理論上不超過3 e。結合式（2）和圖1還可以看出，當油滴下落s（s=1.6 mm）距離所用時間tf＜16 s時，油滴半徑大于0.93μm，油滴質量較大，在相同平衡電壓情況下，攜帶的電量必然也大；當tf＞45s時，油滴半徑小于0.55μm，此范圍內的油滴將受到較強的布朗運動的影響[10]。因而實驗時一般要求平衡電壓取150～400 V，下落時間約為20 s[9]。在實際測量中，選擇平衡電壓 U ∈ [1 50,400](V)、下落時間 tf∈[20,30](s)的油滴進行測量，所測油滴帶電量大多為2 e或3 e，此情況下的測量結果最為理想。文獻[11]從不確定度的角度分析了油滴的選取范圍：對于平衡法，若所選油滴的平衡電壓范圍取下落時間則電荷不確定度

圖1 不同電量下密立根油滴下落時間與平衡電壓的關系

3 油滴下落的動力學分析

從噴油嘴噴發出來的油滴在摩擦力的作用下，帶大小不等、正負隨機的電荷。根據實驗儀器給出的相關參數，帶電油滴半徑一般在微米量級。為了從理論上計算油滴的運動速度，本文把小油滴近似看成小球，把空氣近似看作流體，在沒有外加電場的條件下，油滴下落過程中受到重力與空氣粘滯阻力的共同作用，并在一段時間之后達到勻速（見圖2）。

圖2 油滴受力情況示意圖

實驗中，首先通過預設一個平衡電壓U來篩選合適的油滴。加上預設的平衡電壓后，油滴若在重力、浮力和電場力的作用下受力平衡，則在兩帶電平板之間靜止（如圖2中O點）。待油滴平衡后，將儀器從“平衡”調至“工作”狀態，此時電壓增加到200 V，油滴加速上升并迅速達到某一勻速v0。油滴上升到P點后，再將儀器從“工作”調至“平衡”狀態，此時油滴“相當于”只受空氣粘滯阻力的作用。油滴所受的粘滯阻力為[12-13]：

式中，ρ為空氣密度；s為油滴截面積；C為阻力系數，與空氣（流體）的雷諾數Re有關。R是一種用來表征流體流動情況的無量綱數，其中η為流體的粘滯系數，D為球形油滴的直徑。C與Re的關系可近似為：

實驗中油滴速度v很小， Re? 1 ，式（6）中第二、三項可忽略，代入式（5）后得到：

當油滴的速度達到0.9999vm時（vm為油滴下落的極限速度），認為油滴運動為勻速運動，從式（9）可得到油滴從靜止加速到0.9999vm所需的時間為t = 9.21s gtf。表2給出了tf取不同值時油滴達到勻速所需的時間及下落的距離。從表2可以看出，油滴在極短時間內就近似達到了極限速度，因此對于勻速區域的選取并不需要特別說明，實驗本身的設計是十分合理的。

表2 不同下落時間情況下油滴達到勻速的運動距離l

4 實驗測量結果分析

密立根油滴實驗需要通過對大量觀測數據的計算和統計，找出油滴帶電量分布，才能“看到”油滴電荷分布的“量子化”現象，才能深刻體會電荷量子化的內涵。為此，本文基于312顆油滴的測量結果，給出了這312顆油滴帶電量隨平衡電壓和下落時間的分布（見圖 3）和不同油滴所對應的平衡電壓和下落時間的關系（見圖4）?？梢钥闯?，在誤差范圍內油滴電荷分布為基本電荷量（191.6× 10 C）的整數倍，這充分說明油滴電荷確實是“量子化”的。

圖3 不同平衡電壓和下落時間時的油滴電量分布

圖4 不同油滴所對應平衡電壓和下落時間的關系

從圖3可以看出，當油滴帶電量q≤5e時，電荷的“量子化”現象明顯，而當q＞5 e時，電荷的“量子化”現象不明顯；當平衡電壓U＜ 1 00 V 時，所得到的油滴帶電量大多分布在q≥4 e區間；當下落時間小于10 s時，所得到的油滴帶電量大多分布在q≥5e區間。從圖4可以看出，若油滴帶電量q=e，相對誤差偏大；若油滴帶電量為2～4 e，實驗得到的數據基本上和理論值在同一條曲線上；若帶電量在5 e及以上時，相鄰電荷之間的油滴帶電量偏離“電荷量子化”，沒有明顯的“分界”。

5 結語

本文從靜態平衡法完成密里根油滴實驗的原理出發，首先從實驗的理論分析著手，分析了不同半徑和帶電量的油滴與平衡電壓和下落時間的關系，解釋了選取合適油滴的原因；進而從力學角度推導了油滴下落過程中速度與時間的關系，發現油滴只需經過約0.1 ms或更短時間便可達到勻速，遠低于人的反應時間，因而實驗設計是合理的；最后基于大數據的實驗測量結果，直觀顯示了油滴電荷分布在誤差范圍內為基本電荷量的整數倍，證實了電荷的量子性。

通過本實驗，學生最重要的收獲是通過測量密立根油滴電荷量來深刻體會電荷量子化。在“大學物理實驗”課堂中，若能清楚闡述本文的內容，學生則能深刻理解密里根油滴實驗的精妙之處，深刻理解實驗的精髓，而不是僅僅為了測量而測量。