連續自然數及乘積的尾數和奇偶性的分析

曹振民，霍心蕊

（中國路橋工程有限責任公司；中交基礎設施養護集團有限公司，北京100011）

概述

在數論研究中,我們經常需要了解一組有一定規律（如連續自然數）的數字中各種奇偶數和尾數的分布情況,如設集合X 和Y 為X={x|x=[x1,x2]}（x1,x2∈N,x2≥x1）,Y={y|y=[y1,y2]}，（y1,y2∈N,y2≥y1）,其 中[x1,x2]表示從x1到x2的連續自然數,[y1,y2]同理。在X 和Y 之間建立一個的二元關系——一般意義上的相乘關系,設它們的乘積為S={（x,y）|x∈X,y∈Y,x*y}。顯然X、Y 和S 均為有限集。本文將對集合X、Y 及它們的乘積S 中的數字的奇偶性和尾數分布情況進行分析。

1 定義

為減少歧義,首先給出一些相關定義和分析過程中用到的符號。

1.1 尾數：對于任意給定的整數x,把x 的最后一位數,稱為x 的尾數,用符號Ri（x）（x∈Z）表示。如Ri（167）=7,Ri（0）=0,Ri（299）=9.

1.2 余數：對于任意給定的整數x 和d,用符號Mod（x,d）（x,d∈N+）表示x 除以d 的余數。如Mod（5,3）=2,Mod（4,2）=0,Mod（995,233）=63.

2 尾數分析

2.1 集合X 情況

先分析一組連續自然數中尾數個數的計算公式。

定律1：對于給定的集合X=［x1,x2］,（x1,x2∈N,x2≥x1）,其中尾數為i 的個數為：

式（1）中：Nx（i）——X 中尾數為i 的個數,i∈U,其中U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝

N0——參數,取值

T（i）——參數,當i=U0時T（i）=0；i=U1時T（i）=1

U1——集合U1=｛Ri（｛X1｝）｝?U,其中集合X1=［x1,（x2-10N0）］?X

U0——U1關于U 的補集,U0=?UU1

證明：一般地,連續自然數的尾數都是每10 個為一個周期循環。對于給定的集合X=［x1,x2］,不妨把它分成兩部分,一部分是尾數包含了集合U中所有元素的集合X0,它的基數是10 的整倍數;另一部分是X0關于X 的補集,X1=?XX0。它的基數為|X1|=|X|-|X0|.顯然有X1∪X0=X,X1∩X0=φ（空集）.

設Dx=x2-x1,X1和X0的元素在x1～x2之間的分界點為x12,即X1=［x1,x12］,X0=［x12+1,x2］。x12的幾何意義見圖1所示。

圖1X拆分示意圖

|X1|=x12-x1+1=（x2-10*N0）-x1+1=Dx-10*N0+1，|X0|=x2-（x12+1）+1=x2-x2+10*N0=10*N0

|X1|+|X0|=Dx-10*NO+1+10*N0=Dx+1=x2-x1+1=|X|，集合X0包含了N0個尾數分別為i（i∈U）的元素;集合X1包含了1個尾數分別為R（x1）～R（x12）的元素,設U1=｛Ri（｛X1｝）｝，則集合X中尾數為i的個數為上述兩者之和。證畢！

舉例1：求（22～2798）之間尾數為0～9的個數。

解：設X=［22,2798］,x1=22,x2=2798,則Dx=x2-x1=

x12=x2-10*N0=2798-2770=28,X1=［x1,x12］=｛22,23,24,25,26,27,28｝,|X1|=Dx-10*N0+1=2776-10*277+1=7，X0=［x12+1,x2］=［29,2798］,|X0|=10*N0=2770，U1=［Ri（｛X1｝）］=｛2,3,4,5,6,7,8｝,

U0=?UU1=｛0,1,9｝，從而,X的尾數個數為：

2.2 集合S=X·Y情況

現在討論兩組連續自然數乘積的各種尾數的計算公式及所占比例。

定律2：對于給定的集合X=［x1,x2］,（x1,x2∈N,x2≥x1）,Y=［y1,y2］,（y1,y2∈N,y2≥y1）,它 們 的 乘 積S=｛（x,y）|x∈X,y∈Y,x*y｝,則S中尾數為k的個數為：

式（3）中,U（k）——集合系列,具體為：

U（1）=｛（1,1）,（3,7）,（7,3）,（9,9）｝

U（2）=｛（1,2）,（2,1）,（2,6）,（3,4）,（4,3）,（4,8）,（6,2）,（6,7）,（7,6）,（8,4）,（8,9）,（9,8）｝

U（3）=｛（1,3）,（3,1）,（7,9）,（9,7）｝

U（4）=｛（1,4）,（2,2）,（2,7）,（3,8）,（4,1）,（4,6）,（6,4）,（6,9）,（7,2）,（8,3）,（8,8）,（9,6）｝

U（6）=｛（1,6）,（2,3）,（2,8）,（3,2）,（4,4）,（4,9）,（6,1）,（6,6）,（7,8）,（8,2）,（8,7）,（9,4）｝

U（7）=｛（1,7）,（3,9）,（7,1）,（9,3）｝

U（8）=｛（1,8）,（2,4）,（2,9）,（3,6）,（4,2）,（4,7）,（6,3）,（6,8）,（7,4）,（8,1）,（8,6）,（9,2）｝

U（9）=｛（1,9）,（3,3）,（7,7）,（9,1）｝

Ns（k）——S 中尾數為k 的個數（k∈U,U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝）

Nx（i）——X 中尾數為i 的個數（i∈U）,可由（1）式求出.

Ny（j）——Y 中尾數為j 的個數（j∈U）,可由（1）式求出.

證明：對于給定的集合X 和Y 的乘積S,其各種尾數的個數由X 和Y 的尾數個數確定,而X 和Y 的尾數可由定律1求出。

如S 中尾數為1的個數,只有Ri（｛X｝）中1,3,7,9與Ri（｛Y｝）中的1,7,3,9 分別相乘后得出,即Ns（1）=Nx（1）*Ny（1）+Nx（3）*Ny（7）+Nx（7）*Ny（3）+Nx（9）*Ny（9）。S中尾數為9的個數,只能由集合X和Y中的（1*9）,（3*3）,（7*7）,（9*1）得出,簡寫為：

其中U（9）=｛（1,9）,（3,3）,（7,7）,（9,1）｝。其余尾數個數的計算方法同理。證畢！

舉例2：求（22～2798）與（197～981）的乘積中,尾數分別為0～9的數字的個數。

解：設X=［22,2798］,Y=［197,981］,計算過程見表1和表2。

表1基本參數計算

現舉例說明表2中尾數為3的計算過程,其余尾 數計算過程同理。

表2 計算結果

據（3）式,Ns（3）=Nx（1）·Ny（3）+Nx（3）·Ny（1）+Nx（7）·Ny（9）+Nx（9）·Ny（7）=109729883

由表2 可看出,尾數為奇數1,3,7,9 的數字約占比4%,尾數為奇數5 的數字約占比9%,尾數為0 的數字約占比27%,尾數為偶數2,4,6,8 的數字的占比均為12%。偶數（含0）總的占比為：

這是一個有趣的現象。我們在下面進行奇偶性分析時還會提到這一點,并給出證明。

3 奇偶性的分析

3.1 集合X情況

先給出一組連續自然數中奇偶數個數的計算公式。

定律3：對于給定的集合X=［x1,x2］,（x1,x2∈N,x2≥x1）,基數為|X|=x2-x1+1,設其奇數的個數為No,偶數的個數Ne,則有：

在此,我們姑且認為尾數為0的數字屬于偶數。

在進行檢驗標本采集的過程中，檢驗工作者必須要充分了解患者的身體狀況以及需要檢查的項目，并告知患者在標本采集之前應當特別注意的地方，如：在采取樣本之前，根據其需要檢查的項目來囑咐患者合理飲食、合理運動、盡量不服用藥物等，以確保采取樣本的可靠性，從而保障檢驗結果的準確性。

證明：連續自然數的奇數個偶數是間隔分布的,奇數和偶數的個數基本相同,大約各占一半,兩者的差別僅在于給出的x1和x2的奇偶情況?，F由取余函數mod 來確定x1和x2的奇偶性,由于mod（x,2）=0 時則x 為偶數,mod（x,2）=1時則x 為奇數,而x1、x2的奇偶性不外乎4種情況：

（1）x1為奇x2為奇：即mod（x1,2）=mod（x2,2）=1,顯然x2-x1為偶數

則No=（x2-x1）/2+1=（x2-x1）/2+1/2+1/2=（x2-x1）/2+（mod（x1,2）+mod（x2,2））/2

（2）x1為奇x2為偶：即mod（x1,2）=1,mod（x2,2）=0,顯然x2-x1為奇數

則No=（x2-x1）/2+0.5=（x2-x1）/2+1/2+0/2=（x2-x1）/2+（mod（x1,2）+mod（x2,2））/2

（3）x1為偶x2為奇：即mod（x1,2）=0,mod（x2,2）=1,顯然x2-x1為奇數

則No=（x2-x1）/2+0.5=（x2-x1）/2+0/2+1/2=（x2-x1）/2+（mod（x1,2）+mod（x2,2））/2

則No=（x2-x1）/2+0=（x2-x1）/2+0/2+0/2=（x2-x1）/2+（mod（x1,2）+mod（x2,2））/2

而Ne=（x2-x1+1）-No=（x2-x1-mod（x1,2）-mod（x2,2））/2+1，證畢！

3.2 集合X·Y情況

定律4：對于給定的集合X=［x1,x2］,（x1,x2∈N,x2≥x1）,Y=［y1,y2］,（y1,y2∈N,y2≥y1）,它們的乘積S=｛（x,y）|x∈X,y∈Y,x*y｝,則S 中奇數個數Nso 和偶數個數Nse可由下式求出：

在此,我們姑且認為尾數為0的數字屬于偶數。

證明：設集合X 和Y 中的奇數分別為Nxo 和Nyo,偶數分別為Nxe 和Nye,它們可以由上述的（3-1）和（3-2）式求出。由于偶*偶=偶*奇=奇*偶=偶,而奇*奇=奇,所以S 中的奇數只能由X 和Y 中的奇數相乘得出,即：No=Nxo·Nyo=（x2-x1+mod（x1,2）+mod（x2,2））·（y2-y1+mod（y1,2）+mod（y2,2））/4

Ne=（Nxo+Nxe）·（Nyo+Nye）-Nxo·Nyo=|X|·|Y|-Nso=|S|-Nso ，證畢！

舉例3：求（22～2798）與（197～988751）乘積中,奇數和偶數的數字的個數。

解：根據公式（3-1）得,奇數Nso=

=（2798- 22 + mod（22,2）+ mod（2798,2））*（988751-197+mod（197,2）+mod（988751,2））/4

=（2776+0+0）（988554+1+1）/4=2776*988556/4=686057864

偶數Nse=（2798-22+1）·（988751-197+1）-Nso=2777*988555-686057864=2059159371

奇數占比686057864/2745217235=24.99%.

實際上,在兩組連續的自然數（x1～x2）和（y1～y2）的乘積中,當乘積的數據充分多時,奇數占比趨向于25%，偶數占比趨向于75%。證明如下：

根據公式（4）,設mx=（mod（x1,2）+mod（x2,2））,my=（mod（y1,2）+mod（y2,2）），

dx=x2-x1,dy=y2-y1,可求得：Nso=（dx+mx）*（dy+my）/4，

則奇數占比γO=Nso/Nxy=（dx+mx）*（dy+my）/［（dx+1）*（dy+1）］/4

mx和my為一常數,兩者之和最大為2,最小為0,所以當dx 或dy 其中的一項充分大時,奇數占比γO為：

這也解釋了上述表2中所有奇數的百分比之和（4%+4%+9%+4%+4%）約等于25%的原因。