破解平拋運動的五種方法

甘肅 張金龍 田生杰

平拋運動是高中物理非常常見的一種勻變速曲線運動，也是高中物理教學的重點內容之一。該內容與生活實際聯系緊密，命題取材豐富廣泛，命題角度新穎多變，常以生產、生活、科技為背景命題，解題方法靈活。本文通過實例分析破解平拋運動的五種方法，旨在幫助學生提高分析問題、解決問題的能力。

破解方法1 以分解速度為突破口求解平拋運動問題

【典例1】(2016年上海卷第23題)如圖1所示，圓弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是位于豎直平面內以O為圓心的一段圓弧，OA與豎直方向的夾角為α。一小球以速度v0從桌面邊緣P水平拋出，恰好從A點沿圓弧的切線方向進入凹槽。小球從P到A的運動時間為________，直線PA與豎直方向的夾角β為________。

圖1

【點評】分析題意可知小球做平拋運動，一定要注意恰好沿切線方向進入凹槽，這是本題的突破口，從而得知速度的方向，進而對速度進行分解并利用平拋運動的規律求解。

【拓展1】如圖2所示，足夠長的傾角為θ=30°的固定斜面與足夠長的傾斜墻壁平行放置，間距為d，從斜面頂端O點以初速度v0平拋一個可視為質點的小球，小球最后落在斜面上的C點，從小球運動軌跡上離斜面最遠處的A點作斜面的垂線，與斜面的交點為B，OB=x1，BC=x2，不計空氣阻力，重力加速度為g，則

( )

圖2

A.一定有x1=x2

B.一定有x1

圖3

破解方法2 以分解位移為突破口求解平拋運動問題

【典例2】如圖4所示，跳臺滑雪運動員經過一段加速滑行后從O點水平飛出，經過3.0 s落到斜坡上的A點。已知O點是斜坡的起點，斜坡與水平面的夾角θ=37°，運動員的質量m=50 kg。不計空氣阻力。(取sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10 m/s2)求：

圖4

(1)A點與O點的距離L；

(2)運動員離開O點時速度的大小。

【點評】本題是一道非常典型的“斜面+平拋模型”問題，解答這種題型時除了要運用平拋運動的位移和速度規律，還要充分運用斜面的傾角，找出斜面傾角同位移與水平方向之間的關系，從而使得問題順利解決。

【拓展2】一帶有乒乓球發射機的乒乓球臺如圖5所示，水平臺面的長和寬分別為L1和L2，中間球網高度為h。發射機安裝于臺面左側邊緣的中點，能以不同速率向右側不同方向水平發射乒乓球，發射點距臺面高度為3h。不計空氣的作用，重力加速度大小為g。若乒乓球的發射速率v在某范圍內，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網右側臺面上，則v的取值范圍是

( )

圖5

破解方法3 利用假設法求解平拋運動問題

對于平拋運動的物體，空中飛行時間由高度決定，水平方向位移由高度和初速度共同決定。所以，高度相同時，水平位移與初速度大小成正比，但有時高度不同，很難比較水平位移，這時可以采用假設法。例如，通過移動水平地面使平拋物體下落相同高度，從而進行求解。

【典例3】(2015年上海卷第16題)如圖6所示，戰機在斜坡上方進行投彈演練。戰機水平勻速飛行，每隔相等時間釋放一顆炸彈，第一顆落在a點，第二顆落在b點。斜坡上c、d兩點與a、b共線，且ab=bc=cd，不計空氣阻力。第三顆炸彈將落在

( )

A.bc之間 B.c點 C.cd之間 D.d點

圖6

圖7

【解析】如圖7所示，假設第二顆炸彈經過Ab，第三顆經過PQ(Q點是軌跡與斜面的交點)；則a，A，B，P，C在同一水平線上，由題意可知，設aA=AP=x0，ab=bc=L，斜面傾角為θ，三顆炸彈到達a所在水平面的豎直速度為vy，水平速度為v0，設第二顆炸彈經過水平面a后，水平方向位移

x1=Lcosθ-x0=v0t

設第三顆炸彈經過水平面a后，水平方向位移

x2=2Lcosθ-2x0=v0t2

解得t2=2t1，y2>2y1所以Q點在c點的下方，即第三顆炸彈將落在bc之間，故選項A正確。

【點評】本題采用了假設法，即斜面不存在時落點Q在c點的下方，斜面存在時，落點一定在b、c之間，解決本題也要抓住幾何關系并充分利用平拋運動的規律。

【拓展3】如圖8所示，AB為斜面，BC為水平面，從A點以水平速度v0拋出一小球，此時落點到A的水平距離為s1，從A點以水平速度3v0拋出小球，這次落點到A點的水平距離為s2，不計空氣阻力，則s1∶s2可能等于

( )

A.1∶3 B.1∶6 C.1∶9 D.1∶12

圖8

圖9

【思路點撥】本題中從A點以不同速度拋出小球，豎直方向上下落的高度可能不同，很難比較水平位移，可以假設兩次小球的軌跡是固定的，如圖9所示，設想水平面BC高度可以調節，當BC較高時比如在1位置上方，兩次小球均會落到水平面BC上，計算可得s1∶s2=1∶3。不妨設此時第一個小球剛好落到B點，而當BC高度由此逐漸降低如圖中2位置，兩次將分別落到斜面和水平面上，在一定范圍內，隨著BC往下調，s1不變，s2不斷增大，比值逐漸減??；當BC降低到一定高度如圖中3位置下方時，兩次小球均會落到斜面AB上，計算可得s1∶s2=1∶9，且這一比值不再隨BC高度的降低而變化。所以位移比應介于1∶3與1∶9之間，故選項ABC正確。

破解方法4 利用平拋運動重要推論求解平拋運動問題

求解物理問題，有時利用重要推論求解題目可以達到事半功倍的效果。平拋運動的重要推論如下：

推論1：做平拋運動的物體在任意相等時間內速度的改變量Δv=gΔt相同，方向恒為豎直方向；

推論2：做平拋運動的物體在任意時刻的兩個分速度與合速度構成一個矢量直角三角形，在任意時刻的兩個分位移與合位移也構成一個矢量直角三角形；

推論3：做平拋運動的物體在任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點；

推論4：做平拋運動的物體在任意時刻，其速度方向與水平方向的夾角為θ，位移方向與水平方向的夾角為α，則tanθ=2tanα；

【典例4】如圖10所示，從傾角為α的斜面上的某一點先后將同一個小球以不同的初速度水平拋出，小球均落在斜面上。當小球的初速度為v1時，小球到達斜面時速度與斜面的夾角為θ1，當小球的初速度為v2時，小球到達斜面時速度與斜面的夾角為θ2，下列說法正確的是

( )

圖10

A.當v1>v2時，θ1>θ2

B.當v1>v2時，θ1<θ2

C.無論v1、v2大小關系如何，均有θ1=θ2

D.θ1、θ2的大小與斜面的傾角α無關

【解析】分析本題直接利用上文中的推論5可知，從斜面上平拋出的物體落到斜面時速度方向與斜面的夾角是一個定值與初速度大小無關，只與斜面傾角有關，快速得出選項 C正確。

【點評】本題是一道非常典型的“斜面+平拋模型”問題，核心的解題思想是平拋運動的基本規律及相關的推論，熟練運用物理中的二級結論有時可達到事半功倍的效果。

圖11

【拓展4】微信小程序中“跳一跳”游戲曾經有一段時間非常受人歡迎，玩游戲時需要操作者控制棋子離開平臺時的速度，使其能跳到旁邊平臺上。如圖11所示的拋物線為棋子在某次跳躍過程中的運動軌跡，其最高點離平臺的高度為h，在運動過程中可視為質點，只受重力作用，在下圖中能正確表示棋子速度矢量變化過程的是

( )

A

B

C

D

【思路點撥】本題是一個圖象問題，分析速度這一矢量變化的過程，棋子離開平臺后做斜上拋運動，水平方向為勻速直線運動，豎直方向先為豎直上拋運動后為自由落體運動，速度的變化量全部在豎直方向上，根據推論1可得出選項 B正確。

破解方法5 利用等效法求解類平拋運動問題

當物體受到與初速度方向垂直的恒定合外力作用時，其運動軌跡與平拋運動相類似，這類運動稱為類平拋運動。這類運動的特點是初速度v0≠0，物體所受合外力為恒力而且與初速度方向垂直，通過將運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即合力方向)的勻加速直線運動。

( )

圖12

【點評】這類問題首先要判斷是否屬于類平拋運動問題，接下來求出物體運動的加速度，將運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向的勻加速直線運動，兩分運動彼此獨立，互不影響，且與合運動具有等時性。

【拓展5】如圖13所示，已知甲空間中沒有電場磁場；乙空間中有豎直向上的勻強電場；丙空間中有豎直向下的勻強電場；丁空間中有垂直紙面向里的勻強磁場。四個圖中的斜面相同且絕緣，相同的帶負電小球從斜面上的同一點O以相同初速度v0同時沿水平方向拋出，分別落在甲、乙、丙、丁圖中斜面上A、B、C、D點(圖中未畫出)。小球受到的電場力、洛倫茲力都始終小于重力，不計空氣阻力。則

( )

甲

乙

丙

丁

A.O、C之間距離大于O、B之間距離

B.小球從拋出到落在斜面上用時相等

C.小球落到B點與C點速度大小相等

D.從O到A與從O到D，合力對小球做功相同