廣東 黃興仲
旋轉圓問題,由于其軌跡變化多樣,學生在解決此類問題過程中難以抓住臨界條件,致使解題無法繼續進行。教學上常以PPT、幾何模板、實物等形式輔助,但并不適合于考場環境下的求解。筆者在借鑒和分析的基礎上,探索出一種只使用圓規作圖的方式讓旋轉圓“躍然紙上”的辦法,使此類問題迎刃而解。
圖1
【2017年全國卷Ⅱ第18題】如圖1所示,虛線所示的圓形區域內存在一垂直于紙面的勻強磁場,P為磁場邊界上的一點。大量相同的帶電粒子以相同的速率經過P點,在紙面內沿不同的方向射入磁場。若粒子射入速率為v1,這些粒子在磁場邊界的出射點分布在六分之一圓周上;若粒子射入速率為v2,相應的出射點分布在三分之一圓周上。不計重力及帶電粒子之間的相互作用。則v2∶v1為
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【分析】解決此題的關鍵點在于畫出粒子的運動軌跡草圖,從而確定打到最遠處粒子的位置。
圖2
【解析】當粒子在磁場運動半個圓周時,打到圓形磁場的位置最遠(如圖2)。
【困惑】本題的要點及難點在于如何畫出粒子的運動軌跡圖,從而確定打到最遠處粒子的位置。
【前行】筆者經過查閱資料后發現,要畫出粒子的運動軌跡圖,有如下幾種方式,一是采用自制圓紙板幫助學生理解該動態過程,二是采用PPT、幾何畫板等軟件幫助學生理解動態過程。但這兩種方法都只是適用于平常環境,在考場環境中學生無法有效利用工具畫出粒子的運動軌跡圖。筆者在借鑒和分析的基礎上,認為在考場環境下,可簡單地使用圓規作圖畫出草圖,從而確定粒子的臨界運動位置。
1.旋轉圓的基本知識
要使旋轉圓“躍然紙上”,首先需要了解旋轉圓的一些基本特點:
(2)粒子在磁場中能經過的區域,是以粒子源為圓心,以2R為半徑的大圓。
2.旋轉圓“躍然紙上”的步驟
在常規教學中,可以實物的形式,幫助學生進行分析,使學生建立起相關概念,為旋轉圓“躍然紙上”的理解做好鋪墊。根據旋轉圓的基本知識,實現旋轉圓“躍然紙上”的基本步驟為:
(1)畫出以粒子源為圓心,2R為半徑的大圓(以下稱為軌跡圓);
(2)畫出以粒子源為圓心,R為半徑的圓(以下稱為圓心圓);
(3)在圓心圓上任意定一點,畫出以該點為圓心,以R為半徑的圓(以下稱為基本圓),并根據左手定則,畫出在該點的速度方向;
(4)以該點為旋轉定點,以速度方向為移動棒,使基本圓進行旋轉,即可輕松作出臨界狀態的圓(如圖3)。
圖3 基本圓旋轉示意圖
【例1】以2017年全國卷Ⅱ第18題的原題為例,先在原有的磁場圓中畫出軌跡圓、圓心圓、基本圓并標出其速度方向(如圖4),然后以P點為旋轉點,以速度方向為移動棒,推動著圓進行旋轉,可知帶電粒子距出射點最遠的點為軌跡圓與磁場圓交點的地方(如圖5),即說明當粒子在磁場運動半個圓周時,此時打到圓形磁場的位置最遠,從而為后續解答打下堅實的基礎。
圖4
圖5
【例2】如圖6所示,一粒子發射源P位于足夠大絕緣板AB的上方d處,能夠在紙面內向各個方向發射速率為v、電荷量為q、質量為m的帶正電的粒子,空間存在垂直紙面的勻強磁場,不考慮粒子間的相互作用和粒子重力。已知粒子做圓周運動的半徑大小恰好為d,則
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圖6
A.能打在板上的區域長度是2d
【分析】設磁場方向垂直于紙面向里,粒子在紙面內向各個方向發射相同速率的粒子,粒子又要打在板上,要解決這類問題,首先需滿足d<2R,其中d為P點到絕緣板的距離,R是圓的半徑(如圖7)。其次解決該類型問題,其基本步驟為:先確定臨界狀態圓的位置,而后確定該圓心。對于該題而言,主要集中兩個方向,一是粒子打在板上的最遠處,二是粒子到達板上時間的最值。
圖7
1.求粒子打在板上的最遠處
(1)確定臨界狀態圓的位置
通過先前的使旋轉圓“躍然紙上”的步驟,則可判斷出打在板上的兩個臨界圓的位置,分別為向右旋轉至剛好與直線相切、向右繼續旋轉至通過軌跡圓與直線相交點的圓。
(2)確定圓心
圖8
對于后者,只需連接固定點與軌跡圓和直線相交的點,剛好與圓心圓相交的點即為所要的圓心(如圖9)。
圖9
2.求粒子到達板上時間的最值
由于基本圓的半徑均相等,故可通過圓心角、弧長或弦長進行靈活選擇判斷。當圓心角大于180°時,通常采用基本圓進行旋轉,取其弧長最大或圓心角最大,而當圓心角小于180°時,采用弦長進行判斷較為容易?;诖?,可以作出粒子到達板上最長時間對應的圓(如圖10)和最短時間對應的圓(如圖11)。
圖10
圖11
【例3】如圖12所示,S處有一電子源,可向紙面內任意方向發射電子,平板MN垂直于紙面,在紙面內的長度L=9.1 cm,中點O與S間的距離d=4.55 cm,MN與SO之間的夾角為θ,板所在平面有電子源的一側區域有方向垂直于紙面向外的勻強磁場,磁感應強度B=2.0×10-4T,電子質量m=9.1×10-31kg,電荷量e=1.6×10-19C,不計電子重力。電子源發射速度v=1.6×106m/s的一個電子,該電子打在板上可能位置區域的長度為l,則
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圖12
A.θ=90°時,l=9.1 cm B.θ=60°時,l=9.1 cm
C.θ=45°時,l=4.55 cm D.θ=30°時,l=4.55 cm
【分析】此題對比例2,難點在于板在轉動,但其本質仍與例2中求解粒子打在板上的最遠處的過程一樣。
圖13
圖14
因θ不定,根據圖14可知,要使電子軌跡與MN相切,則電子軌跡圓的圓心C落在與MN距離為r的平行線上(如圖15)。
圖15