小區域GNSS高程異常擬合方法研究

謝萌麗,姜永濤,劉國仕

(1.南陽師范學院,地理科學與旅游學院 測繪工程，河南 南陽 473000;2.昆明理工大學,國土資源工程學院 資源勘查工程與技術，云南 昆明 650031;3.邵陽學院,湖南 邵陽 422000)

0 引 言

我國工程建設普遍采用正常高系統,而正常高一般采用等級水準測量方式獲取,耗時、繁瑣且效率低．全球衛星導航系統(GNSS)定位技術可以快速、精確地獲取大地高[1],但是,由于未能獲得同等精度的高程異常值,導致轉換的正常高達不到高程精度要求[2],制約了GNSS高程定位技術的應用．

區域高程異常值可通過對已知GNSS水準點的高程異常擬合獲取,常用方法有等值線圖法[3]、解析內插法[4]、曲面擬合法[5-6]、加權平均法[7]、非格網GNSS散點數據考慮地形改正法[8]和BP神經網絡法[9]等．研究顯示,在高程異常變化比較平緩大區域,可首選二次多項式或雙線性內插高程異常擬合方法[10-11];若已知高程異常點呈直線排列可采用三次樣條曲線、多項式曲線擬合法[12]．現有文獻主要針對大面積區域高程異常擬合研究,缺乏對小區域高程異常擬合方法和精度的探討．為此,本文利用湖南省新化縣四等水準測量和E級GNSS測量成果,研究縣城區域尺度GNSS高程異常擬合方法及其精度,對于小區域高程擬合方法的選取有借鑒意義．

1 數據與方法

1.1 數據來源

對湖南省新化縣分別進行四等水準測量及E級GNSS測量,獲取控制點平面坐標、大地高及正常高數據,數據及控制點分布如圖1和表1所示．

圖1 GNSS水準點點位分布

表1 GNSS水準起算點和檢核點

1.2 空間插值原理

1.2.1 反距離加權插值法

反距離加權插值法假定每個已知數據點都會對待定點產生一種局部影響,這種影響隨著距離的增大而減?。淳嚯x加權高程異常插值實質是由插值點周圍已知點的高程異常值加權平均求算的[7]．

設在插值點周圍選m個已知點,高程異常為ζi(i=1,2,…，m),則待定點的反距離加權高程異常值為

(1)

1.2.2 多項式插值法

多項式插值法是由已知高程異常數據擬合出一個由多項式函數定義的平滑曲面,并根據該函數求算待定點高程異常值．通常多項式曲面無法通過每個已知點,一般利用最小二乘方法獲得最佳擬合結果．

常用的二次曲面擬合法,公式如下:

ζ(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x2+

a4y2+a5xy,

(2)

式中：ai(i=0,1,…，5)為待定系數；(x,y)為高程異常點的平面坐標．

由已知數據可根據最小二乘原理求算公式(2)中的擬合系數ai,而后可以求得待定點處的高程異常值．

全局多項式插值法是利用所有數據進行多項式擬合,階數視數據表面包含的彎曲個數而定;而局部多項式插值法是對位于指定重疊鄰域內的數據分別進行多項式擬合,通過樣本屬性對搜索鄰域進行定義,且鄰域相互重疊．全局多項式插值法適用于分析數據長波變化,而局部多項式插值法適用于分析短波信息．

1.2.3 徑向基函數插值法

徑向基函數(RBF)插值法是在多維空間中尋找一個能夠最佳匹配已知高程異常數據的曲面,然后對待定點進行插值,獲取高程異常值．RBF為一系列精確插值法的組合,其擬合曲面通過每一個已知點,且曲面總曲率最小[13],擬合函數為

(3)

式中：φ(di)(i=1,2,…,n)為n個徑向基函數；wi為權．

RBF中權wi的計算,是根據采用的RBF,由高程異常擬合數據集(ζi,di)(i=1,2,3，…，n)求算．其中,di為待定點到已知數據點ζi的距離．

1.2.4 核平滑障礙插值法

核平滑障礙插值法是將每個已知點處的局部趨勢融合形成預測面,再與待定點相匹配進行插值[14]．核平滑障礙插值法可看做局部多項式插值法的變型,用于解決局部不穩定問題．其優點在于通過使用嶺參數將少量偏差引入方程,解決大預測標準誤差和失真預測的問題．但嶺參數應盡可能小,以維持擬合模型的穩定性[14]．

1.2.5 克里金插值法

克里金插值是根據待定點周圍有限鄰域內的若干已知點數據,在考慮已知點與待定點的空間位置關系以及變異函數提供的結構信息,對待定點進行的一種線性無偏最優估計[15-16]．克里金插值公式如下:

(4)

(5)

克里金插值的適用條件是區域變量存在空間相關性,在使用時須檢查數據是否存在正態分布、是否平穩、是否有趨勢項,若存在趨勢,需要對趨勢進行多項式移除后,才能進行空間插值．

普通克里金插值法適用于滿足二階平穩假設的區域變化量,而泛克里格插值法適用于非平穩或具有漂移存在的區域變化量．小區域高程異常滿足二階平穩變化條件,且數據存在兩種趨勢,西北高東南低,因此在使用泛克里金插值法時應進行一階和二階移除比較．

1.3 實驗方法

如圖2所示，大地高H與正常高Hγ之差為高程異常ζ,三者之間關系為

H=Hγ+ζ.

(6)

圖2 大地高與正常高關系

似大地水準面(ζ)為一個光滑的曲面,可采用空間插值方法(數學曲面)進行高程擬合研究．為研究縣城區域尺度不同GNSS高程異常擬合方法及其精度,本文實施方案如下:

1) 確定數據點和檢核點．為詳細研究不同高程擬合方法的內插和外推精度,本文對GNSS水準點進行數據點和檢核點的劃分,如表1和圖1所示,共選取16個數據點和8個檢核點．檢核點中,有4個在數據點范圍內,用于評定內插精度;4個檢核點位于已知數據點外,用于評定外推精度．

2) 利用ArcGIS地統計工具,進行GNSS水準高程擬合方法研究及精度評定．

ArcGIS地統計工具中的插值方法可分為空間確定性插值和地統計插值．前者包括反距離加權、多項式插值法、RBF插值以及核平滑障礙插值法,后者包括普通克里金、泛克里金等插值方法[14,17]．對GNSS水準高程擬合方法及其精度評定過程如下:

1)選用不同插值方法,利用GNSS數據點進行空間插值,獲取插值擬合函數;

2)根據擬合函數,求算檢核點的高程異常擬合值;

3)統計檢核點高程異常擬合值與實測值的殘差,采用中誤差指標,分析和探討不同插值方法內插和外推精度．

2 結果與分析

2.1 空間插值結果

對湖南省新化縣GNSS水準數據,不同擬合方法的高程異常曲面結果如圖3所示.

(a)反距離權重插值法 (b)全局線性多項式插值法

(c)全局二次多項式插值法 (d)全局三次多項式插值法

(e)徑向基函數插值法 (f)局部多項式插值法

(g)核平滑障礙插值法 (h) 普通克里金插值法

(i)泛克里金插值法(一階移除) (j) 泛克里金插值法(二階移除)

圖3 不同擬合方法的高程異常結果

圖3可以看出,湖南省新化縣高程異常整體呈現西北高,東南低的趨勢．不同的空間插值方法得到的高程異常曲面(似大地水準面)不同,相同擬合方法不同參數的結果也具有較大差異．

2.2 擬合精度評定

本文對高程異常擬合精度評定中,1～4點為內插點,分別對應E009、E013、E015、E016,5～8為外推點,分別對應E006、E007、E024、E025．根據檢核點高程異常擬合值與實測值的差值,得到的精度統計結果如表2和圖4所示.

表2 不同插值法的內插與外推精度 m

如圖4和表2,在縣域尺度高程擬合方法中,內插精度最高的為RBF插值法,精度為±0.0158 m,其次為泛克里金二階插值法、泛克里金一階插值法和全局二階多項式插值法等．徑向基函數為一系列精確插值法的組合,其擬合曲面通過每一個已知點,且曲面總曲率最小,因此內插精度最高．

外推精度最高的為局部多項式插值法,精度為±0.0104 m,其次為全局二階多項式、克里金插值和全局線性多項式插值．在多項式插值中,多項式階數應依據數據趨勢而定,對于縣域尺度GNSS高程異常數據,由于局部多項式插值法更能體現曲面的短波變化,因此,插值精度較高．

其余插值方法,如反距離權插值法是按距離定權,建立函數關系進行擬合和預測的,該方法內插精度高于外推精度,但整體擬合精度不高．克里金插值法外推精度整體高于內插精度,原因是克里金插值可反映高程異常的整體曲面特征,但是在使用泛克里金二階插值法時,點8(外推點)無法生成預測值,說明該方法有一定局限性．在克里金插值方法中,普通克里金插值精度高于泛克里金一階插值,這是由于普通克里金插值法適用于滿足二階平穩假設的數據,而泛克里金插值法適用于非平穩或具有漂移存在的區域變化量[17]．

在本文研究插值方法中,RBF插值方法內插精度最高,其中誤差為±0.0158 m,局部多項式插值法外推精度最高,其中誤差為±0.0104 m;綜合來說,局部多項式插值法整體精度最高．因此,在小區域高程異常擬合中,可以優先考慮局部多項式插值法．

3 結 論

本文采用湖南省新化縣城區四等水準測量和E級GNSS測量數據,利用ArcGIS地統計工具,研究小區域GNSS水準高程擬合方法及精度,主要結論有: 1)在本文研究的插值方法中,徑向基函數插值法內插精度最高,其中誤差為±0.0158 m,局部多項式插值法外推精度最高,精度為±0.0104 m;綜合來說,局部多項式插值法整體精度最高;2)在多項式插值中,局部多項式插值法更能體現數據的短波變化,在小區域GNSS高程異常擬合中內插和外推精度較高；3)普通克里金插值法適用于滿足二階平穩假設的數據,由于縣域尺度高程異常變化屬于平穩特征信號,因此普通克里金插值法在克里金插值中精度最高．本文研究結果對于小區域高程擬合方法的選取有一定的借鑒意義．