考慮定價和需求關系的供應鏈網絡優化研究

胡鴻韜，邊迎迎，郭書源，王帥安，嚴 偉

(1. 上海海事大學物流工程學院，上海 201306；2. 香港理工大學物流及航運學系，香港 999077)

1 引言

經濟的不斷發展使得當今世界的競爭變成了供應鏈之間的競爭。供應鏈網絡是由供應鏈中的制造商、供應商、零售商以及消費者所構成的網絡[1]。在現有的供應鏈網絡研究中，一般假設產品的需求量是已知的。但是，在產品質量、市場環境等條件相同的情況下，需求量在很大程度上是由產品價格決定的。如果價格超過消費者的估值，即使高質量的產品也很難打開市場，進而影響企業利潤。因此，在供應鏈網絡研究過程中考慮產品價格對消費者需求的影響具有理論意義和實際價值。

當前，供應鏈網絡優化問題已經被國內外許多學者研究。Fattahi等[2]用模擬退火算法研究具有產能限制的動態供應鏈網絡設計問題。陳芳等[3]和郭傳好等[4]研究了乳制品的供應鏈網絡設計及成本優化問題。王熹徽等[5]研究了社會損失最小化的救災物資供應鏈網絡設計優化問題。也有部分學者研究了供應鏈網絡的復雜性對消費者需求的影響。通過研究供應鏈的復雜性和運作過程的不確定性，萬仲平等[6]指出激烈和復雜的市場競爭導致了消費者需求的不確定性。

此外，針對存在競爭關系的供應鏈網絡結構設計問題，Zhang Shuzhong[7]提出價格是影響消費者是否選擇產品或服務的唯一因素。Shen[8]認為制定合理的價格是保證市場競爭力的有效手段。Ahmadi-Javid和Ghandali[9]也指出供應鏈網絡中價格敏感型消費者的需求取決于產品價格。之后的學者在研究動態的供應鏈網絡問題中考慮了產品的價格和需求量。例如，Ahmadi-Javid和Hoseinpour[10]在考慮價格敏感型需求的基礎上研究了多商品供應鏈網絡優化問題，并對配送中心的容量限制進行分析。Talluri 和Van Ryzin[11]提出不同的產品，其定價和生產量不同，并且其價格會隨時間而變化。然而，在合理地引入價格和產量決策的同時，對需求的描述是及其困難的。例如，楊道箭等[12]將需求用一個確定的隨機函數來表示。Sahling和Kayser[13]假設在動態供應鏈網絡中，消費者需求服從正態分布(參數已知)，根據產品生產量的變化解決未滿足的訂單量和累計的庫存量。徐家旺和黃小原[14]采用已知確定概率的離散情景并結合魯棒性來描述供應鏈網絡中需求的不確定性。然而以上并沒有動態的描述供應鏈網絡中的價格和需求的關系。

針對價格敏感型消費者，本文引入價格-需求函數來動態描述產品價格變化對消費者需求的影響。由于動態定價會導致數學模型的非線性，對于模型中的非線性部分，將價格離散化是最常見的處理方式[9-11]，例如，Fattahi等[2]為了便于求解復雜供應鏈網絡優化問題，在引入價格-需求函數后將定價水平離散化，但由此增加的整數決策變量，在一定程度上會降低模型的求解規模和求解速度。Du Yuquan等[15]在研究考慮油耗和排放的泊位安排問題時，用二階錐規劃求解非線性問題。Wang Shuaian等[16]研究班輪運輸中在需求對運輸時間敏感的前提下集裝箱船的排班問題，針對非線性項用二次曲線和分支定界法求解。

綜上，本研究構建了考慮定價和需求關系的供應鏈網絡優化模型，并通過不同規模的算例驗證了模型的可行性和有效性。首先在供應鏈網絡優化設計中引入價格—需求函數，刻畫產品定價和消費者需求的關系。由于引入價格-需求函數，目標函數中產生非線性項，使用外部近似法將其近似成有限條切線并添加線性約束，使其可以用數學商業優化軟件求其最優解，確定產品的定價和需求。

本文余下部分結構如下：第二部分對研究的問題進行描述，并對相關符號進行說明；第三部分建立考慮定價和需求關系的供應鏈網絡優化模型；第四部分使用外部近似法對目標函數中的非線性項進行處理，使得可以直接求解，并通過不同規模的算例驗證了模型的可行性和有效性；相關的結論在第五部分展示。

2 問題描述及符號說明

2.1 問題描述

如圖1所示，本文針對價格敏感型消費者，建立了一個由單一制造商、多個倉庫、單一顧客群組成的三級供應鏈網絡。在該供應鏈網絡中，考慮單產品在多周期內進行生產運輸。制造商生產產品且全部運至倉庫，產品從倉庫直接運至消費者進行銷售。消費者端引入價格-需求函數[2]描述產品定價和需求量的關系，從而在對定價進行決策的同時動態描述需求的不確定性。

圖1 供應鏈網絡結構圖

2.2 符號說明

集合：

T周期的集合，t∈T，T={1,2,…,|T|}

W倉庫的集合，w∈W

參數：

Rw倉庫w投入運營的固定成本

Gt周期t內原材料的單位采購成本

Mt周期t內制造商生產單位產品的生產成本

It周期t內制造商處原材料的單位庫存成本

Iwt周期t內倉庫w中單位產品的庫存成本

Vwt周期t內制造商將單位產品運往倉庫w的運輸成本

Cwt周期t內倉庫w將單位產品運往顧客的運輸成本

A單位產品需要的原材料數量

h0期初原材料的庫存量

hw0期初倉庫w中產品的庫存量

Hmax制造商處原材料的最大庫存水平

Ωmax制造商的最大生產能力

Kmax制造商車隊運輸產品的最大運輸能力

a價格-需求函數中的參數，當價格小于a時，需求為D

b價格-需求函數中的參數，當價格大于b時，需求為0

D需求的最大值

決策變量：

pt周期t內產品的價格

dt周期t內產品價格確定后的需求量

yw0-1變量，當且僅當倉庫w投入運營時為1，否則為0

qt周期t內，制造商處對原材料的采購量

ht周期t內，制造商處原材料的庫存量

hwt周期t內，倉庫w處產品的庫存量

kwt周期t內，制造商將產品運往倉庫w的運輸量

swt周期t內，倉庫w將產品運往顧客群的運輸量

3 數學模型

3.1 基本假設

(1)不考慮供應鏈網絡中同級間的競爭。

(2)制造商所需的原材料是單一的，且不考慮原材料采購的提前期。

(3)采用(t，Hmax)策略進行原材料的補貨，即周期t檢查庫存并把現有庫存補充到最大庫存水平Hmax。

(4)生產的產品只需滿足一種類型的顧客需求。

3.2 價格-需求函數

一般來說，顧客的需求量是與產品當前定價相關的，在此引入價格-需求函數[2](圖2)來描述其間的關系。即產品價格pt小于a時需求dt為最大值D；產品價格在a和b之間時，需求與價格線性相關且隨著價格的變大而變??；價格大于最大值b時需求為0。

圖2 價格-需求函數

根據圖2，可以寫出價格-需求函數的關系式：

(1)

3.3 數學模型

本文以最大化供應鏈總利潤為目標、以生產量和定價為決策變量，建立了混合整數非線性規劃(MINLP)模型。由于產品生產量影響顧客需求量，制造商處需要保證原材料的庫存確保產品的生產。對于企業倉庫而言，它的選擇和運營不僅需要考慮多方面的因素，也需要投入大量的人財物。因此倉庫的選擇會在整個計劃期初進行決策且只決策一次。因為價格在不同周期可能不同，而需求會受價格的影響，所以需求量也會相應發生動態變化。模型[P]如下：

(2)

s.t.qt+ht=Hmax?t∈T

(3)

(4)

(5)

kwt≤Kmax·yw?w∈W,?t∈T

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

hw(t-1)+kwt=hwt+swt?w∈W,?t∈T{1}

(13)

hw0+kw1=hw1+sw1

(14)

yw∈{0,1}

(15)

(16)

目標函數(2)表示供應鏈網絡的總利潤。其中，第一項表示銷售產品的總收入；第二項為倉庫的建設成本；第三項表示原材料的采購成本；第四項表示制造商的生產成本；第五項表示制造商處原材料的庫存成本；第六項表示倉庫中產品的庫存成本；最后兩項表示產品的運輸成本。約束(3)表示任意周期t內的原材料采購量。約束(4)表示制造商生產的產品全部運至下一級倉庫w中。約束(5)為產能約束，表示制造商的生產水平不超過它的最大生產能力。約束(6)表示產品由制造商到倉庫w的運輸量不能超過它的最大運輸能力。約束(7)表示倉庫w中產品的庫存量不能超過它的最大庫存能力。約束(8)表示產品由倉庫w到消費者的運輸量不能超過它的最大運輸能力。約束(9)表示從倉庫運輸產品的量要滿足消費者的實際需求。約束(10)是價格-需求函數表達式。約束(11)和約束(12)表示產品生產的流平衡。約束(13)和約束(14)表示產品運輸的流平衡。約束(15)和約束(16)闡明了0-1變量和非負變量的數值定義。

4 求解及數值分析

4.1 目標函數近似線性化

因為[MINLP]中目標函數是連續函數，所有的約束都是線性的且都是“≤”、“=”和“≥”連接的，沒有“<” 和“>”約束，所以[MINLP]的可行域是閉的。由于約束(10)(16)的限制，所以[MINLP]的可行域是有界的。因此，可行域是一個緊集。又因為當所有的決策變量為0是問題的一個可行解，所以可行域非空。即，[MINLP]存在最優解。針對目標函數中存在的非線性項ptdt，現有的商業規劃求解軟件(如CPLEX)無法直接求解。所以本文使用外部近似法把非線性項轉化為線性項并添加線性約束求解。

定義Pt為周期t內的收入，即Pt=pt·dt，由約束(10)可知：

(17)

模型[P]變為[P1]：

(18)

s.t. (3)-(9)，(11)-(17)

由于函數Pt在[a,b]是一個凸函數，此時可以使用外部近似法對函數Pt進行近似。

由公式(17)可知，當pt∈[a,b]時，函數Pt是非線性的，所以只需對[a,b]上的曲線進行近似。函數Pt在[a,b]上存在以下兩種情況：

圖3 時的收入函數

圖4 時的收入函數

下面本文將以第(1)種情況為例對曲線進行近似。

由于函數Pt是一個凸函數，此時可以使用外部近似法對函數Pt進行近似。對?pt∈[a,b]，用線段近似Pt并控制其近似誤差，設計算法生成分段線性函數。定義公差ε，定義Ψ為切線集合，ψ={1,2,…,|Ψ|}。切線表達式為：rtψ×pt+etψ，其中，rtψ表示切線ψ的斜率，etψ表示切線ψ的截距。那么，分段線性近似函數可表示為：

(19)

(20)

綜合公式(19)(20)可得：

Pt≤rtψ×pt+etψ, ?t∈T,?ψ=1,2,…,Ψ

(21)

因此，模型[P1]可以寫成[P2]：

(22)

s.t. (3)-(16)，(21)

由于CPLEX的特長是求解混合整數線性規劃模型。經過轉換，雖然約束數量有所增加，但是增加的約束仍然是“≤”連接，且目標函數及約束的性質并沒有發生改變。故由線性處理前存在最優解可知，通過外部近似法處理后的模型[P2]仍然存在最優解。

為了便于理解，分段線性近似函數的切線生成步驟如下，圖5(以t期產生的4條切線為例)所示：

圖5 t期切線生成步驟

Step 0：設置切線ltψ和曲線Pt之間的誤差ε，定義切點的坐標為(utψ,vtψ)，切線交點即誤差值點的坐標為(mtψ,ntψ)；

Step 1：令ψ=1，此時切點(utψ,vtψ)=(b, 0)，過點(utψ,vtψ)作曲線Pt的切線ltψ；

Step 3：令切線ltψ和曲線Pt之間的差值為ε，得出誤差值點(mtψ,ntψ)，其中ntψ=rtψ·mtψ+etψ；

Step 4：判斷mtψ≥a，若是，令ψ=ψ+1進入Step 5；否則計算結束，輸出一組直線的斜率和截距；

Step 5：過點(mt(ψ-1),nt(ψ-1))作曲線Pt的切線ltψ，跳轉到Step 3；

4.2 數值分析

為了證明前面所建模型和算法的有效性，借助計算機(12 GB，i7-4790，3.60 GHz)用數學規劃求解軟件CPLEX(12.5.1)分別比較不同規模和不同誤差下的求解效率。參數設置和求解結果分別見表1和表2：

表1 參數設置

表2 不同規模算例求解結果

通過比較我們可以看出，算法在求解大規模情況時，雖然時間明顯加長，但仍可以有效地解決問題。

此外，通過改變誤差ε的取值，對同一規模觀察求解時間的變化。當T=50，W=50時，不同ε值對求解結果的影響如表3所示：

表3 誤差值靈敏性分析表

通過表3可以得到：隨著誤差值ε的逐漸減小，總利潤變得越來越小，求解時間不斷增加。

5 結語

本文構建了一個價格與需求相關的三級動態供應鏈模型。該模型采用(t，Hmax)庫存策略，以價格敏感型消費者為中心。根據模型非線性的特點，用外部近似法把非線性項轉換為線性項。最后通過算例給出了模型的應用并對切割的誤差值進行靈敏性分析?？梢缘玫揭韵陆Y論：(1)文章所建立的模型和求解方法可以有效的解決此類供應鏈的問題，也可以求解大規模問題；(2)在利用外部近似的方法求解模型時，不同誤差值的設置對求解的結果和速度影響較大，誤差值越小，求解的速度越慢，精度越高。因此，本研究不僅為此類供應鏈確定合理的價格提供了借鑒和幫助，還有效地指導供應鏈網絡中的企業權衡其成本和收益，提高顧客的滿意度。

此外，本文的研究也存在一定的不足之處，例如，假設生產的產品只需滿足一種類型的顧客需求，而現實生活中顧客的需求通常多種多樣，這就要求供應鏈可以提供多種類型的產品。再者，大規模算例的求解時間明顯變長，可以進一步設計相關算法提高求解效率。