收斂數列性質的可視化

劉艷　鄭慕聰

摘 要 基于數列極限的嚴格定義，給出數列極限可視化的幾何解釋，用可視化的幾何解釋簡潔直觀地分析和證明收斂數列的三個基本性質。通過可視化的方法讓學生感受數列極限定義的精髓，并且更加直觀的理解收斂數列的基本性質。

關鍵詞 高等數學 數列極限 收斂 可視化

中圖分類號：O171文獻標識碼：A

0引言

高等數學是以微積分為主要內容，結構嚴謹，概念抽象，內容深刻，系統性強?；靖拍钍侵R體系的基礎，它往往體現了重要的數學思想，卻又很抽象。以極限為工具的基本概念和基本方法演繹形成結構嚴謹內容深刻的這一套現代數學知識體系對學生的抽象思維能力和邏輯推理能力要求高，這讓許多剛進大學數學課堂的學生很難適應。特別是，數學語言“”描述的數列極限的概念學生很難理解，由數列極限的定義得到收斂數列的基本性質學生更是難以掌握。如何讓學生更好地理解數列極限的概念和收斂數列的性質，這是教師要解決的關鍵問題。本文從全新的角度，通過可視化的方法讓學生感受數列極限定義的精髓，并且用可視化的方法讓學生更加直觀的理解收斂數列的基本性質。

1數列極限的定義及可視化

眾所周知，微積分是由牛頓和萊布尼茨獨立創立的。在當時，微積分的理論基礎并不完善，特別是沒有給無窮小準確的定義，牛頓所謂的無窮小被當時的大主教貝克萊抨擊為“幽靈”。后來經過歐拉、達朗貝爾等幾代數學家共同努力下，柯西給出了極限概念的準確描述，最終由維爾斯特拉斯給出“”、“”的嚴格定義。極限嚴格的定義是數學家們經過100多年的努力最終給出的，學生一開始難以理解是正常的。極限作為高等數學的基本工具是非常重要的概念，教師的任務就是讓學生在能夠接受的范圍內更好更清晰的理解這一核心概念。

定義1：設為一數列，若存在常數，對于任意給定的正數，總存在一個正整數，使得當時，都有，則稱是數列的極限或稱收斂于。記

或

如果一個數列有極限，就稱這個數列是收斂的，否則稱它為發散的。

對于數列極限這一概念，學生都可以樸素的理解為：隨著無限增大，與無限接近，想要多接近就有多接近。數學的概念都是由精確的數學語言來刻畫，對于定義1中抽象的數學符號以及表達式的含義需要給學生清晰的解釋。

首先將定義1用更簡潔的數學語言來表達

， ，當時有? ?（1）

事實上，我們可以將數列看作是一個離散變量的函數，

，，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

那么 表達了這個函數的一個變化過程：隨著自變量不斷變大，朝X軸的正向趨向于無窮，因變量即函數值無限趨向于。這時數列在直角坐標系下的圖像就可以直觀的反映出來。

觀察（1）式，用絕對值來刻畫的接近程度。如何表達與想要多接近就有多接近，達到無限接近的程度呢？這時的任意性的價值就體現出來，無論給定有多小，都比還要小。而“”，當不等式成立正好反映了這個函數的變化過程，通常來說，這里的是依賴于的，取得越小，所找到的一般就越大。后面的可視化內容會反映這一點的。只要滿足存在性即可，它不是唯一的，也不需要滿足唯一性，也就是說一旦給定一個具體的，就能找到一個相應的。事實上，只要存在一個相應的，那么所有比大的正整數都可以滿足不等式。

當然，為了讓學生更直觀的理解上述內容，我們接下來需要將相關概念通過動態圖像表達出來。由于即即，也就是說落入到的鄰域。從函數的角度看待，它是一個帶狀區域。由于的任意性，所以帶狀區域的寬度可以任意收縮。用PPT動畫展示帶狀區域收縮的變化過程，如圖1、圖2所示，并指出無論多小，總存在相應的，項以后的所有項都落入帶狀區域內。

最后，我們給出一個具體的例子的圖像說明的關系，如圖3、圖4所示，得到該數列極限的直觀的幾何解釋。

2收斂數列性質的可視化

收斂數列具有三個基本性質：極限的唯一性、收斂數列的有界性和收斂數列保號性。理解這些性質并且能夠從收斂數列的定義出發來認識這些性質對理解極限是微積分的基本工具有著重要意義，這種邏輯推理的思想和方法一直貫穿于課程始終。下面我們通過定義1的可視化幾何解釋來說明這三個基本性質。

定理1：如果數列收斂，那么它的極限唯一。

對于學生來說，這個結論顯而易見，很好理解?？墒潜粏柕綖槭裁次ㄒ?，學生第一反應也許是怎么可能不唯一！接下來自然會想到如果不唯一那么就會有矛盾。如何尋找矛盾，這時就必須回到數列收斂概念本身。如果收斂到兩個不同的值（不妨設），那么由定義1的幾何解釋，根據的任意性，取，通過PPT動態展示就會得到如下圖5所示的情形。

圖5中，項以后的所有項既要進入上面的帶狀區域又要進入下面的帶狀區域，這顯然是個矛盾。在這種直觀的推理解釋下，學生對于極限概念和唯一性的認識就有了更為深刻的印象。

定理2：如果數列收斂，那么一定是有界的。

證明有界，就是要證明存在某個正數，對，。還是回到定義1的幾何解釋，由的任意性，取，就會得到如下圖6所示的情形。對于，我們可以找到相應的，項以后的所有項進入到圖6中的帶狀區域，這顯然是有界的。前項是有限項，顯然也是有界的。于是就找了圖6中的，對，。這就說明有界。

定理3：如果，且（或） ，那么存在正整數，當時都有（或）。

定理3刻畫了收斂數列的保號性。保號性對于學生來說是一個新概念，所謂保號性就是收斂數列的極限的正負可以保證數列從某項開始以后無窮多項的正負。從具體的收斂數列的圖像（圖3、圖4）來看是顯而易見的。如何從條件，且 出發得出結論呢？我們依然回到定義1的幾何解釋，由的任意性，取，就得到如下圖7所示的情形

對于，我們可以找到相應的，項以后的所有項進入到圖7中的帶狀區域，由于帶狀區域在X軸上方，所以當時都有。對于時的情形如圖8所示，不難得出相應的結論。

3總結

數列極限的“”的嚴格定義中的任意性是定義的靈魂，它保證了與極限可以無限接近。把數列看作離散變量的函數，從函數圖像的角度給出數列極限的幾何解釋可以更直觀的反映出的關系?；诘娜我庑?，選取合適的值，由數列極限可視化的幾何解釋不難得到收斂數列的基本性質：極限的唯一性、收斂數列的有界性和保號性。

高等數學課程是大學理工科專業的基礎課程，具有概念抽象，結構嚴謹，系統性強的特點。極限是高等數學中的基本工具，理解和掌握極限概念對學生學好這門課程起著至關重要的作用。本文提出的可視化的方法讓學生更加直觀的理解數列極限的概念和收斂數列的性質。當然這只是高等數學課程的開始，如何將抽象的數學理論和方法用可視化的方法或者生動形象的例子展現在課堂上，讓學生更好的學，并且激發學生思維的火花將是我們下一步教學研究與改革的方向。

基金項目：陜西師范大學教學改革研究重點項目（17GGK-JG03）;西安科技大學教育教學改革與研究項目（JG18069）。

作者簡介：劉艷（1978.9-），女，漢族，陜西興平人，西安科技大學理學院講師，碩士，主要研究領域為智能信息處理;鄭慕聰（1981.2-），男，漢族，湖北老河口人，陜西師范大學數學與信息科學學院講師，博士，主要研究領域模糊推理與決策、數學教育教學。

參考文獻

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