矩陣偽譜的新定位集及其在土壤生態系統的應用

吳智軍，李朝遷

(云南大學數學與統計學院，云南 昆明650504)

1.引言

矩陣偽譜(Pseudospectra)[1]是反映和描述矩陣擾動性的一種工具，也一定程度上反映了矩陣的非正規性的程度，其在馬爾科夫鏈[2]、微分方程數值解的穩定性[3]、動力學[4]、生態學[5]、生物學[6]、信號處理[7]等方面有廣泛的應用.

定義1.1[8]設矩陣A = (aij) ∈Cn×n，ε ≥0，‖·‖是向量范數誘導的矩陣范數.稱Λ?(A) ={z ∈C:‖(zI -A)-1‖≥?-1}為矩陣A的?-偽譜，其等價定義如下：

1) Λ?(A)={z ∈C:z ∈Λ(A+E)，‖E‖≤?};

2) Λ?(A)={z ∈C:?u ∈Cn，‖u‖=1，‖(A-zI)u‖≤?}.

進一步，若‖·‖是譜范數，則

3) Λ?(A)={z ∈C:σmin(zI -A)≤?}，

其中σmin(A)表示矩陣A的最小奇異值，Λ(A)表示矩陣A的譜，即矩陣A所有特征值構成的集合.

矩陣偽譜的理論研究主要包含偽譜的計算和偽譜定位集的確定.偽譜計算的算法有Grid-SVD算法[9]、Krylov子空間迭代算法[10]、塊隱式重啟Arnoldi 迭代算法[11-13]等.然而對于大型矩陣而言，偽譜的精確計算非常困難[14].另一方面，對于某些應用問題，如連續時間動力系統的魯棒性[15]等，只需知道偽譜在復平面的大概位置就可以進行判斷.這類應用問題研究的需求帶來矩陣偽譜另一方面的研究，即矩陣偽譜的定位問題研究.

2001年，Embree 和Trefethen[16]給出基于譜范數的矩陣Gersgorin型偽譜定位集.

定理1.1[16]設矩陣A=(aij)∈Cn×n，ε ≥0，則

其中

定理1.1只考慮了矩陣行的元素，導致定位結果往往不是很精確.為此，2016年Kostic等[17]同時利用行與列的信息改進了上述結果，得到如下兩個偽譜定位集.

定理1.2[17]設矩陣A=(aij)∈Cn×n，n ≥2，ε ≥0，則Λ?(A)?K?(A)，其中

定理1.3[17]設矩陣A=(aij)∈Cn×n，n ≥2，ε ≥0，則

其中

本文將繼續研究矩陣偽譜的定位問題，給出了優于文[16-17]中結果的矩陣偽譜定位集，并應用所得結果對土壤生態系統的穩定性進行擾動分析.

2.矩陣偽譜新的定位集

本節，應用矩陣A+E的特征多項式和三角不等式，尋找矩陣偽譜新的定位集.

定理2.1設矩陣A=(aij)∈Cn×n，n ≥2，ε ≥0，則

證設λ ∈Λ?(A)，則存在矩陣E =(eij)∈Cn×n(‖E‖2≤2)，使得

其中x ∈Cn是A+E的對應于λ 的一個非零特征向量.

設

則|xp|≥0.由(2.1)式的第p個等式得

應用三角不等式得

即

由Cauchy不等式得

其中，

由(2.2)式得，

若|xq|=0，則于是λ ∈B?(A).若|xq|≥0，則

由(2.3)式和(2.4)式得

故

證畢.

注1當?=0時，定理2.1退化為矩陣特征值包含集的Brauer卵形定理，即定理2.1是Brauer卵形定理[18]的推廣.

注2定理1.3中的需同時考慮ri(A)和ri(AT)，當ri(AT)大于ri(A)時，定位集往往沒有定位集B?(A)精確.

下面給出另一個偽譜定位集.

定理2.2設矩陣A=(aij)∈Cn×n，n ≥2，ε ≥0，則

其中

證設λ ∈Λ?(A)，x ∈Cn是A+E的對應于λ 的一個非零特征向量，類似于定理2.1，設

則|xp|≥0.于是對于任意的ip，(2.1)式的第p個等式可寫為

應用三角不等式可得

即

若|xi|≥0，由(2.1)式的第i個等式得

應用三角不等式得

即

由(2.5)式和(2.6)式得

故

若|xi|=0，(2.7)式顯然成立.因此，

故

證畢.

注3當?=0時，定理2.2退化為文[19]中矩陣特征值定位定理.

下面給出新的偽譜定位集與文[16]中的定位集之間的關系.

定理2.3設矩陣A=(aij)∈Cn×n，n ≥2，ε ≥0，則

證先證D?(A)?Γ?(A)，設z ∈D?(A)，則?j ∈N，對任意的ij使得

且

因此，

由(2.9)式和(2.11)式得，

與(2.8)式矛盾，故z ∈Γ?(A).

類似于D?(A) ?Γ?(A)，易證B?(A)?Γ?(A).下證D?(A) ?B?(A).事實上，設z ∈D?(A)，則?j ∈N，對任意的ij使得(2.8)式成立.由D?(A)?Γ?(A)得，?i ∈N，使得

由(2.8)式和(2.12)式得

故z ∈B?(A).因此，Λ?(A)?D?(A)?B?(A)?Γ?(A).證畢.

定理1.1中的偽譜定位集Γ?(A)需要確定n個圓盤，而新的偽譜定位集，即定理2.1和定理2.2中的定位集B?(A)和D?(A)需要確定n(n-1)個卵形區域.然而，正如定理2.3所示，新的偽譜定位集B?(A)和D?(A)比定理1.1中的偽譜定位集Γ?(A)更精確.下面通過數值例子比較新的偽譜定位集與文[17]中的偽譜定位集，即定理1.2和定理1.3中K?(A)和(A) 的優劣.

例2.1考慮如下四階矩陣

取?= 0.3，其偽譜Λ?(A) ，定位集D?(A)，K?(A)，B?(A)，(A)，Γ?(A)分別如圖1所示，中間區域表示由Grid-SVD法[9]計算給出的矩陣M偽譜Λ?(A)，從內到外依次為偽譜定位集D?(A)、K?(A)、B?(A)、(A)、Γ?(A)的邊界.顯然，D?(A) ?B?(A) ?(A) ?Γ?(A)，且D?(A) ?K?(A)?Γ?(A).

本例表明新的偽譜定位集比文[16]，即定理1.1中的偽譜定位集小，且在某些情況下優于文[17]，即定理1.2和定理1.3中的偽譜定位集.

圖1 矩陣M的偽譜定位集

3.應用

本節應用上述偽譜定位集對土壤生態系統的穩定性進行擾動分析.考慮土壤早期生態系統[17]，見圖2，其中從上到下為該系統中的獵物到消費者，主要由八個功能類別的消費者組成：1.變形蟲(頂級捕食者)，2.螨蟲，3.真菌線蟲，4.細菌性線蟲，5.鞭毛蟲，6.真菌，7.細菌，8.碎屑.應用文[20-21]的方法預處理得到群落矩陣A，其對角元素的絕對值表示相應功能組內的種內競爭(如配偶、空間、食物等)；對于i ＜j，-aij表示捕食者j對獵物i的捕食率；對于i ＞j，aij表示獵物i對捕食者j的供給率.考慮如下群落矩陣：

盡管矩陣特征值可用來分析土壤生態系統的穩定性，即如果該系統對應的群落矩陣的特征值都在復平面的左半平面，則該系統是穩定的，但在確定系統的生理參數和生物量密度時存在測量誤差和經驗不確定性，導致該群落矩陣并不能真實的反映實際情況，即該群落矩陣存在一定的擾動.此時應用矩陣特征值分析其穩定性并不有效，而應用偽譜來研究該系統的穩定性更加合理.另一方面，盡管可使用計算偽譜的算法，如Grid-SVD算法、Krylov子空間迭代算法、塊隱式重啟Arnoldi迭代算法等確定上述矩陣A的偽譜，進而對該系統的穩定性進行擾動分析，但卻需要更多的計算.

圖2 4個營養層次的土壤食物網的營養相互作用

下面應用偽譜定位集分析上述土壤生態系統的穩定性.考慮擾動臨界值?= 1.25×10-2，對于任意的矩陣E滿足‖E‖2≤?，群落矩陣A的偽譜定位集B?(A)位于左半復平面，見圖3，即當矩陣A的擾動?= 1.25×10-2時，A+E的特征值仍落在左半復平面，因此其對應的土壤生態系統仍然是穩定的.進一步，當擾動臨界值?= 1.75時，對于任意的矩陣E滿足‖E‖2≤?，群落矩陣A的偽譜定位集D?(A)位于復平面的左半平面，見圖4，即當矩陣A的擾動?= 1.75時，A + E 的特征值仍落在左半復平面，因此其對應的土壤生態系統仍然是穩定的.然而當?= 1.25×10-2或?= 1.75時，文[16-17]所給的偽譜定位集與右半復平面的交非空，見圖3和圖4，因此無法得到上述結論.同時，可不必使用偽譜的算法計算群落矩陣A的偽譜，仍能判斷在?=1.25×10-2或?=1.75擾動下對應的土壤生態系統仍然是穩定的.因此，避免了應用相關算法計算其偽譜，進而減少了計算量.

圖3 當?=1.25×10－2時，群落矩陣A的偽譜定位集B?(A)

圖4 當?=1.75時，群落矩陣A的偽譜定位集D?(A)