關于《電話計費問題》的教學思考

劉陽

電話計費問題是生活中的常見問題，具有一定的現實性和開放性，代表著生活中大多數需要進行方案選擇的數學問題。所以對這類問題的探究，是“數學來源于生活，回歸于生活，服務于生活”的體現。

一、內容和內容解析

本節課是 “實際問題與一元一次方程”的最后一課時，《課標》中要求：“能夠根據具體情況中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型?！彼赃@一探究目的不僅是解決這個具體問題，而且是通過這個問題的解決過程讓學生進一步體驗“建模解題”的過程，滲透建模思想。

建模大致分為三個環節：將實際問題轉化為數學模型（建立模型）——解決數學模型——利用模型結論解釋實際問題，在這三個環節中“建立模型’’尤為重要，需要學生具有一定的分析、轉化能力。這節課建立模型的關鍵有兩個，一是應用分類思想對不同情形分別進行分析;二是發現并利用相等關系確立方程模型.其中分類思想是解決問題時的重要策略，需要學生在適當條件下具有較強的分類意識和確定分類節點的能力。同時，本問題中的相等關系，較之前的問題具有更強的隱蔽性，需要學生去體會數量間的大小變化來確定和解決.增加了列方程的難度。

基于以上分析，確定本節課的教學重點為：在實際背景中找到等量關系建立電話計費問題的方程模型。

二、目標和目標解析

（1）體驗建立方程模型解決問題的一般過程。

達成目標（1）的標志：經歷以下過程：通過分類討論將電話計費問題轉化為方程問題——解決方程問題——利用方程問題的結論解釋各個分類區間的話費變化情況，從而最終得到整體的話費選擇方案。

（2）體會分類思想和方程思想，增強應用意識。

達成目標（2）的標志：學生對下列方面有體會：①什么情況下需要分類討論;②如何根據已知條件初步選擇分類節點;③一個量由“大于另一個量”逐步演變為“小于另一個量”的過程中，會經歷“兩個量相等”這一過程;④相等關系的數學模型——方程建立對問題整體分析的重要性;借助圖表分析的優越性，等等。

三、教學問題診斷分析（學情分析）

學生在前一階段的學習中已經具備了實際問題建立一元一次方程和解一元一次方程的一般步驟的基礎，能進行數學建模和簡單解釋。而對于“電話計費問題”這種綜合性問題，還缺乏經驗，容易無所適從或片面理解.學生一般可以發現“計費方式”的選擇依賴于“主叫時間”的變化，要根據時間分類討論，對于初一的學生來說， 他們雖具有一定的分析和篩選信息的能力，但缺乏系統、有效的分類方法，會容易分類粗糙不準確;同時對于電話計費這種生活化的問題，學生更習慣用生活化的原理和語言去解釋，如“計費的多少、增長的快慢”等，而缺乏將其數學化，然后利用數學原理來解釋的意識。

基于以上分析，對本節課學生不是完全沒有基礎，只是思維方式的邏輯性和解決方法的科學性上有待清晰的梳理和規范，所以本節課針對此實施以下三個步驟：①先由學生根據問題情境獨立思考并表述對問題的認識;②交流討論，借鑒其他同學的觀點再思考討論，進一步表述;③教師加以點撥，引導學生數學化地解決問題，而后學生第三次系統認識并解決問題.

根據上述分析，確定本節課的教學難點為：由實際問題抽象出數學模型的探究過程。

四、教學支持條件分析（含教學方法）

為了更直觀形象地突出兩種計費方式的變化規律，可借助信息技術工具，將兩種計費的變化轉化為圖形直觀演示，幫助學生確定探究方向，驗證探究結論。

此外，本節課將采用課堂多元對話模式，結合合理恰當的課堂追問來輔助。

五、教學過程設計

1.創設情景，新課誘導

下表是移動公司兩種計費方式

問題1能正確解讀這兩種資費方式嗎？

【師生活動】學生思考、組織語言回答，過程中教師對回答方向適當提示，如“月使用費的比較”“超時費的比較”等，幫助完善解讀，列舉出兩個具體主叫時間，讓學生口答。

設計意圖：了解學生對表格的理解程度，引導學生對信息做初步梳理和簡單加工;通過對幾個容易計算的主叫時間的話費計算，滲透“話費多少取決于主叫時間”。

問題2你覺得選擇哪種計費方式更省錢？

【師生活動】若學生回答方式一或二省錢，可發動其他學生通過舉例加以質疑;若學生回答中出現分類討論趨勢，教師則加以肯定并進一步引導，對分類后各區間的變化趨勢作進一步的探究.

設計意圖：學生對電話計費問題有生活基礎和一定的認識基礎，在給出探究問題后，通過設置幾個追問，讓學生充分表達自己直觀的認識，準備進一步探究。

2.深入探究，建立模型

問題3通過剛才的討論，你對電話計費問題有什么新的認識？

【師生活動】若學生還沒有明確的分類，則引導學生思考“你可以確定哪一個時間區間內兩種計費的比較結果？”，引導學生分類;

若學生已經對問題進行了分類，則追問“為什么這樣分類？”以及“在每一個時間區間內是怎么分析的？”，引導學生理性分析.

設計意圖：互相參考觀點后重新認識問題，方向和結論已經逐步接近合理的方向，此基礎上教師幫助學生確定 “分類的關鍵點”，使學生由“感性認識”逐步過渡至“理性分析”.

問題4設一個月內用移動電話主叫為t（正整數） 分.當 t 在不同時間范圍內取值，能列表分別說明兩種方式如何計費嗎？

設計意圖：讓學生體驗用表格整理信息，并通過列表使學生進一步明確兩種計費方式的變化規律，同時考察學生列代數式表示未知量.

問題5觀察列表能發現如何根據主叫時問選擇省錢的計費方式嗎？

【師生活動】一般學生能準確判斷“t小于150”“t=150”“t=350"三種情況，而對于 “t大于150且小于350"和“t大于350”兩種情況，教師輔助學生分析.

多元對話追問：

（1）當“t大于150且小于350"時，是否存在某一主叫時間使兩種套餐的計費相等？為什么？（可利用追趕問題解釋）

（2）利用方程求出使兩種方式的計費相等的主叫時間，得“t= 270 min”這個關鍵點.

（3）對于“大于150 min且小于270 min”或大于270 min且小于350 min”時，分別分析并解釋哪種計費方式比較省錢？

對于“t大于350"時兩種計費方式的比較，教師可以更多地讓學生去探究方法并表述，在此基礎上加以適當的總結.

設計意圖：這一問是本節課的關鍵，學生通過分類討論得到“方程模型”，并利用方程求出關鍵數據，這可以使學生認識到方程的重要性和應用價值，增強學生對模型的應用意識和應用能力.

問題6在得出方程模型的結論之后，引導學生利用結論解釋實際問題。

設計意圖：完成建模全過程，再次讓學生體會“數學來源于生活，回歸于生活，服務與生活”。

3.課堂小結，模型內化

電話計費問題核心是方程問題。

無法整體研究時，要靈活運用分類討論思想。

分類討論時可以先看已知條件初步選擇關鍵點。

這類問題中相等關系比起之前更具隱蔽性，但一個量從“小于另一個量”到“大于

另一個量”的過程中，會經歷“二者相同”的時刻，這個時刻一般是建立方程的關鍵。

4.變式訓練，延展體會

5.布置作業，深化鞏固

六、反思

通過本課的教學，我意識到采用豐富的激勵語言和評價方式調動學生積極思考、大膽發言的積極性，“以動帶靜”，才能提升全班的聽課狀態。