區間畢達哥拉斯模糊冪加權幾何Bonferroni平均算子及其應用

蔣瑩瑩，段鵬舉

（宿州學院 數學與統計學院，安徽 宿州234000）

0 引言

1986 年，Atanassov［1］提出直覺模糊集（Intuitionstic fuzzy sets，IFS），隨后Atanassov 等［2］對其又進行擴展，于1989 年提出區間直覺模糊集（Interval-valued intuitionstic fuzzy sets，IVIFS），但在決策問題時可能會出現隸屬度與非隸屬度之和大于1 的情況，致使分析出現偏差. Yager［3-4］引出畢達哥拉斯模糊集（Pythagorean fuzzy sets，PFS）來刻畫問題，即隸屬度與非隸屬度之和大于1的同時其平方和不超過1，其刻畫模糊的能力較IFS 強. 2014 年Zhang［5-6］對PFS 進一步擴展，提出區間畢達哥拉斯模糊集（Interval-valued Pythagorean fuzzy sets，IVPFS），很大程度上彌補PFS與IVIFS的不足，取得一些研究成果.

Yager［7］等定義有序加權平均（Order weight average，OWA）算子，Xu［8］等在冪平均（Power average，PA）算子的基礎上提出冪幾何（Power geometric，PG）算子，同時在PA算子與OWA算子基礎上，考慮集成數據間的相互支撐度對權重影響，提出冪調和平均（Power harmonic average，PHA）算子等概念并探討在群決策中應用. Zhu［9］等在猶豫模糊集（Hesitant fuzzy sets，HFS）環境下通過Bonferroni平均算子且根據屬性值的重要程度不同，提出HFWBM 算子和HFWGBM 算子. 張迪［10］等提出區間猶豫梯形模糊幾何Bonferroni平均（Interval-valued hesitant trapezoidal fuzzy geometric Bonferroni mean，IVHTrFGBM）算子，并在多屬性決策領域中應用.

目前，基于Bonferroni 平均（BM）算子在IVPFS 下多屬性群決策成果甚微. 于是，基于Zhang 提出的IVPFS借鑒IVHTrFGBM算子構造IVPFGBM算子，再結合李進軍［11］的IVPFPG算子及李曉然［12］的IWGBM算子構造出區間畢達哥拉斯模糊冪幾何Bonferroni 平均（Interval-valued Pythagorean fuzzy power geometric Bonferroni mean，IVPFPGBM）算子，同時考慮決策者的偏好、屬性的權重影響構造出區間畢達哥拉斯模糊冪加權幾何Bonferroni 平均（Interval-valued Pythagorean fuzzy power weight geometric Bonferroni mean，IVPFPWGBM）算子. 本文給出充分考慮決策者之間的相關性及屬性指標間的交互性的多屬性群決策方法.

1 備用知識

定義1［13］設為論域X 上的一個區間畢達哥拉斯模糊集（IVPFS），其中，分別表示X 上元素x 屬于I 的區間隸屬度和區間非隸屬度，且?x ∈X，有滿足

定義2［12］設為任意兩個IVPFN，定義如下運算法則：

定義3［12］設為IVPFN，其得分函數與精確函數分別為：

給出如下IVPFN排序方法：

（1）若sα1＜sα2，則α1?α2；

（2）若sα1＞sα2，則α1?α2；

（3）若sα1=sα2，有1）若hα1＜hα2，則α1?α2；2）若hα1＞hα2，則α1?α2；3）若hα1=hα2，則α1=α2.

1.1 區間畢達哥拉斯模糊冪幾何（IVPFPG）算子

定義4［10］設為一組IVPFN，則IVPFPG算子為：

（1）supp(αi,αj)∈[0 ,1] ；

（2）supp(αi,αj )=supp(αj,αi)；

（3）若d(αi,αj )＜d(αs,αt )，則supp(αi,αj )＞supp(αs,αt).

1.2 Bonferroni幾何（GB）平均算子

定義5［13］設p,q ≥0，ai≥0(i =1,2,…,n )，則GB算子為：

2 區間畢達哥拉斯模糊冪加權幾何Bonferroni平均（IVPFPW-GBM）算子

為決策優化，需要在IVPFPGBM 算子的基礎上增加決策者間和屬性間的支撐度、權重等因素，構造IVPFPW-GBM算子.

定義6設p,q ≥0 ，且不同時為0，為一組IVPFN，權重向量且，則IVPFPW-GBM算子為：

其中T(αi)同定義4.

定理1設p,q ≥0 ，且不同時為0，為一組IVPFN，則IVPFPWGBM算子集成后仍為IVPFN，且

其中

證明令，由定義2得

再由運算法則（1）～（4），可得

因此

市場上對客戶信用評價的模型良莠不齊，很多評價模型開發企業的產品并沒有經過大量數據實驗、研究的檢驗。企業因為缺乏對客戶信用信息的足夠重視，在判斷客戶信用時，往往以主觀意見及歷史交易記錄為依據與客戶達成交易。

式（1）得證.

定理2設p,q ≥0，且不同時為0，為一組IVPFN，則

（1）冪等性：若αi=α(i =1,2,…,n )，則

（2）置換不變性：設(β1,β2,…,βn)是(α1,α2,…,αn)的任一置換，則

（3）有界性：ξ-≤IVPFPW-GBMp,q( α1,α2,…,αn)≤ξ+，其中

定理2證明過程同定理1，證明略.

3 基于IVPFPW-GBM算子多屬性群決策方法

現有IVPFN 環境下多屬性群決策問題描述為：候選方案集A={A1,A2,…,Am} ，決策者集且權重向量為，其中λj≥0，=1. 屬性集且權重向量為,其中.決策矩陣,其中表示決策者Ek∈E，給出方案Ai∈A 在屬性cj下的決策值.

Step1將IVPFN決策矩陣E(k)規范化［6］轉化為規范矩陣，其中

Step2算出決策者之間的支撐度，加權支撐度，進而得到的可信度指標

Step3通過IVPFPW-GBM 算子整合決策者的決策矩陣得綜合決策矩陣，其中

Step4由式（2）～（5）分別算出屬性間的支撐度，加權支撐度T(χij)，進而得到χij的可信度指標Δij.

Step5通過IVPFPW-GBM 算子將候選方案Ai的屬性值集成綜合屬性值ηi:ηi=IVPFPW-GBM(χi1,χi2,…,χin).

Step6計算綜合屬性值的得分值sηi，對方案進行排序擇優.

4 應用實例

企業項目投資，已知有5 個候選方案A={A1,A2,A3,A4,A5} ，所要考慮的評價指標有C={c1,c2,c3,c4} ，分別為：投資報酬率，市場潛力，能源消耗，環境與生態效益；其中各指標的權重向量為ω=(0.3,0.32,0.22,0.16)T. 企業內部選派3名決策者E=(E1,E2,E3)（權重向量為λ=(0.35,0.27,0.38)T）對此3個方案進行評選.

表1 決策矩陣E(1)

表2 決策矩陣E(2)

表3 決策矩陣E(3)

Step1其中c1,c2,c4為效益性指標，c3為成本型指標，將區間畢達哥拉斯模糊決策矩陣( k=1,2,…,5) 規范化為，見表4、表5和表6.

表4 規范化的決策矩陣E(1)

表5 規范化的決策矩陣E(2)

表6 規范化的決策矩陣E(3)

Step2利用式（2）～（5）計算決策者間的支撐度，加權支撐度矩陣，進而得到的可信度指標矩陣

Step3通過式（1）集結決策者的決策矩陣得綜合決策矩陣D=( χij)5×4（取p=q=1），見表7.

表7 IVPFPW-GBM算子集成結果

Step4再用式（2）～（5）計算出屬性間的支撐度矩陣(j,k=1,2,…,4,j ≠k )，加權支撐度，進而得到χij的可信度指標

Step5再通過式（1）算子將候選方案Ai的屬性值集成綜合屬性值ηi：

Step6用定義3計算綜合屬性值ηi的得分值sηi: sη1=0.927 7; sη2=0.926 4; sη3=0.944 2;sη4=0.946 6;sη5=0.946 2.

由排序定義可知A4?A5?A3?A1?A2，即方案A4最優.

5 對比分析

下面討論IVPFPW-GBM算子參數p,q 對方案排序的影響，見表8.

表8 IVPFPW-GBM算子參數p,q 對方案排序

由表8結果可知，參數p,q 主觀選取影響備選方案的排序，但最優結果不變. 縱觀整個信息集成決策過程，構造的IVPFPW-GBM算子優點得到充分體現，既充分考慮決策者、屬性間的關聯性、支撐度等內在聯系，又規避奇異值的擾動提高決策的精準度.

6 總結

本文在IVPFN環境下融合PG算子與GBM算子，繼承算子能綜合決策者間的支撐度集結多個屬性值成一個評價值優勢，也增加對決策者與屬性權重的刻畫，提出IVPFPW-GBM算子并討論其性質. 綜合考慮評價值可行性與有效性使得決策過程中充分參考因素間的交互性，避免決策者的偏好風險，較好地提高預測精準度.