一般常寬多邊形的構造

段博韜

（淮北師范大學 數學科學學院，安徽 淮北235000）

0 引言

數學家對于常寬凸集的研究經歷漫長且豐富的歷史，并且在醫學、機械工程、計算機、建筑、化工、地理等領域具有廣泛應用［1-2］. 常寬凸集的概念由歐拉首次提出. 1876年，Reuleaux構造以正三角形三個頂點為圓心，以邊長為半徑的外接圓弧構成的非圓常寬曲線，后人稱之為Reuleaux三角形. 該方法被推廣在奇數邊正多邊形上得到Reuleaux正多邊形［3］. 之后，Meissner將Reuleaux三角形推廣至三維空間［4］，構造出兩種不同的三維常寬凸集. 1915年，Blaschke與Lebesgue分別證明平面上等寬度的常寬凸體中Reuleaux三角形面積最小，這個定理就是著名的Blaschke-Lebesgue定理［5］. 對于這個命題，國內外的數學家們又先后給出其他巧妙的證明［6-8］. 2007 年，Robert 等用數學歸納法給出一種n 維常寬凸集的構造方法［9］.

平面上非圓常寬凸體的例子非常有限. 除比較經典的Reuleaux正多邊形，潘生亮利用Minkowski支撐函數得到一類新的光滑的常寬凸集［10］；Martini等利用Reuleaux三角形構造平面中新的常寬凸集［11］；徐文學構造一類新的偶數邊常寬凸集［12］.

在這些經典構造的基礎上，本文首先使用多次旋轉固定長度的線段的作圖方法構造一類圓弧構成的平面圖形；其次證明這類圖形在閉合條件下具有常寬性質；最后，利用線性規劃約束條件的基本可行點［13］，求出閉合條件下的全體可行點，并以此推廣Reuleaux多邊形的構造方法.

1 預備知識

記Rn為帶有標準內積的n維歐氏空間，Sn-1為Rn中的單位球面. 點集K ?Rn稱為凸的，如果對任意x,y ∈K, 連接x,y 的線段[x,y]完全包含于K 內［14］. 若K 為內部非空的緊致凸集，u ∈Sn-1,則稱

為K 在u 方向上的支撐超平面［15］. 當K 的任意一對平行的支撐超平面H(K,u),H(K,u),u ∈Sn-1間的距離恒為常數d(d ＞0)時，稱K 為寬度為d 的常寬凸體. 平面上常寬凸體的邊界稱為常寬曲線，圓是典型的常寬曲線.

2 主要結果

通過對經典Reuleaux多邊形的歸納，下面給出一類平面圖形的作圖方法.

作法作平面上一個長度為d(d ＞0)的線段A0B0（如圖1所示）.

圖1 多次旋轉固定長度的線段

圖2 曲線α 在不同方向上的杠桿相交

（a）令i=1,2,…, n,點Oi為線段Ai-1Bi-1上一點（可以取Ai-1,Bi-1），點Ai-1,Oi之間距離為ri(0 ≤ri≤d).以Oi為旋轉點逆（順）時針旋轉線段Ai-1Bi-1,旋轉角度后得到線段AiBi及圓?。ㄔ试S圓弧半徑ri或d-ri為0，即對應圓弧退化為點）.

（b）令點On+1為線段AnBn上一點（可以取An,Bn），點An,On+1之間距離為rn+1(0 ≤rn+1≤d),以On+1為旋轉點逆（順）時針旋轉線段An,Bn，旋轉角度后得到線段An+1Bn+1及圓?。ㄔ试S圓弧半徑rn+1或d-rn+1為0，即圓弧退化為點）.

注1在上述作圖中，設點A,B 分別在圓弧上，且線段AB 過旋轉點Oi，其中i=1,2,…, n, n+1 .若=du,u ∈S1,則稱線段AB 為該圖形在方向u 上的杠桿，旋轉點Oi為杠桿AB 的支點.

注2在上述作圖中，若圓弧組成的曲線閉合（即點An+1與點B0重合，點Bn+1與點A0重合），且各方向上的杠桿長度恒為d(d ＞0),記L(d)為這類閉合曲線的全體.

于是，可以證明如下結論.

定理1若α ∈L(d),d ＞0,則α 為平面常寬曲線.

證明對?u ∈S1, 存在α 在方向u 上的一條杠桿[x0,y0],其中x0=y0+du,x0,y0∈α.令u=(0,1),由α 的封閉性，可以將杠桿[x0,y0] 沿曲線α 依照上述作圖方法逆時針旋轉φ(φ ∈[0,π]) ，得到α 在方向u(φ)=(cos φ,sin φ) 上 的 杠 桿[ ]x(φ),y(φ) , 其 中x(φ)=y(φ)+du(φ), x(φ),y(φ)∈α. 進 而 可 以 將x(φ) 表 示 為,其中ri∈[0,d],0=φ1＜φ2＜…＜φs=φ.由sin φ ≥0,φ ∈[0,π]容易得到. 同樣地，將杠桿[x0,y0],沿曲線α 依照上述作圖方法順時針旋轉φ(φ ∈[0,π])，得到α在方向u(-φ)上的杠桿[x(-φ),y(-φ)] ，可得

仿照上述的討論，結合y0=x0-du,y(φ)=x(φ)-du(φ),同理可得

綜上，曲線α 在u 方向上的寬度為d.又由u 的任意性可知，封閉曲線α 在任意方向上的寬度恒為d,曲線α 是寬度為d 的常寬曲線.

定理2若α ∈L(d),d ＞0, 則對任意u1,u2∈S1, u1≠±u2,α 在方向u1,u2上的杠桿必存在唯一交點.

證明如圖2 所示，令線段[x1,y1], [x2,y2]分別為曲線α 在方向u1,u2上的杠桿，其中x1=y1+du1,x2=y2+du2,x1,x2,y1,y2∈α.由定理1的證明過程可知

因u1≠±u2,故支撐線H(α,u1),H(α,-u1)與支撐線H(α,u2),H(α,-u2)不平行. 進而曲線α 包含于支撐線H(α,u1),H(α,-u1),H(α,u2),H(α,-u2)構成的平行四邊形區域中，點x1,y1與點x2,y2分別位于平行四邊形兩組平行的對邊上. 顯然，線段[x1,y1]與[x2,y2]有唯一交點.

下面討論由上述作圖方法所得曲線的閉合條件. 由定理2可知，對任意i=1,2,…,n, 上述過程中的杠桿AiBi與杠桿A0B0有唯一交點，設交點為Pi，線段B0Pi長度為si,線段AiPi長度為ti, 其中si,ti∈[0,d],i=1,2,…,n.顯然，曲線閉合當且僅當sn=tn.此時，點Pn為杠桿AnBn，An+1Bn+1上的支點On+1,并且圓弧的半徑

圖3 兩種情形下數列{si},{ti}的遞推關系

其中t1=r1,s1=d-r1,i=1,2,…,n-1.由式（2）整理得sin φi+1ti+1-sin φiti=ri+1(sin φi+1-sin φi).兩邊求和得到數列{sin φmtm},m=2,3,…,n 的通項公式

于是，數列{tm} 的通項公式

若曲線閉合，當m=n,將式（1）代入式（4）和式（5），得

結合式（6），可以將曲線閉合的約束條件整理為

注意到，圓能夠由上述作圖方法得到，故任意取φ1,φ2,…,φn滿足0 ＜φ1＜φ2＜…＜φn＜π,則r1=r2=…=rn+1=是式（7）的一個解. 因此可以任意取φ1,φ2,…,φn(0 ＜φ1＜φ2＜…＜φn＜π)為某些固定值，結合變量r1,r2,…,rn+1的有界性，將曲線的閉合條件表示為線性規劃問題的單純形可行域.

令rm=xm,將式（7）轉化為線性規劃約束條件的標準形式，可得

其中：松弛變量xn+m+1為圓弧的半徑d-rm,m=1,2,…,n+1 .

由于單純形為凸多胞體，因此利用式（8）的基本可行解（即單純形可行域的頂點）的凸組合可以表示出滿足閉合條件的解集. 下面應用這種方法構造具體的常寬多邊形.

例1當n=3,d=1時，取φ1=0.3,φ2=1.7,φ3=2.4,代入式（7）得到閉合條件

共解得6個基本可行解X1,X2,…,X6（精確到0.000 1）.

應用本文作圖方法可以分別作出這些基本可行解對應的常寬多邊形（如圖4）.

圖4 基本可行解對應的常寬多邊形

例2當n=4,d=1時，取,代入式（7）得到閉合條件

共解得12個基本可行解X1,X2,…,X12（精確到0.000 1）.

任取基本可行解的凸組合

應用本文作圖方法可以作出可行解X對應的常寬多邊形（如圖5）.

圖5 可行解X 對應的常寬多邊形