摘 要:本文根據斜率是平移變換下的不變量,舉例示范如何利用坐標軸巧妙平移解決斜率和(或積)為定值問題.
關鍵詞:坐標軸平移;圓錐曲線;定點;定值
中圖分類號:G632文獻標識碼:A文章編號:1008-0333(2021)34-0008-02
收稿日期:2021-09-05
作者簡介:劉大鵬(1971.10-),男,遼寧省黑山人,本科,中學高級教師,從事高中數學教學研究.[FQ)]
一、用坐標軸平移解已知斜率和為定值問題
定理1 已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1,a>0,b>0,定點A(x0,y0)∈C,(點A不是雙曲線頂點),動點
Px1,y1∈C,Qx2,y2∈C,若kAP+kAQ=γ,①當γ=0時,kPQ=-b2x0a2y0為定值,且等于雙曲線在點A處切線斜率的相反數;②當γ≠0時,則直線PQ恒過定點D,且Dx0-2y0γ,-y0+2b2x0a2γ.
證明 以Ax0,y0為原點,建立新坐標系X′O′Y′,聯立新坐標系下的方程
x′+x02a2-y′+y02b2=1,mx′+ny′=1,所以b2x′2-a2y′2+2x0b2x′-2y0a2y′mx′+ny′=0-a2+2ny0a22+2nb2x0-2ma2y0+b2+2mb2x0=0.
1°當k1+k2=2nb2x0-2ma2y0a2+2ny0a2=0時,kPQ=-mn=-b2x0a2y0,把雙曲線方程兩邊對x求導,得2xa2-2yy′b2=0.所以y′=b2x0a2y0.
2°當k1+k2=2nb2x0-2ma2y0a2+2ny0a2=γ時,n=a2γ+2ma2y02b2x0-2a2γy0,PQ在新系下的方程mx′+a2y0b2x0-a2γy0y′+a2γ2b2x0-2a2γy0y′-1=0,直線過定點D-2y0γ,2b2x0a2γ-2y0,點D在原坐標系的坐標為x0-2y0γ,-y0+2b2x0a2γ.
二、用坐標軸平移解已知斜率積為定值問題
定理2 已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1,a>0,b>0,定點A(x0,y0)∈C,動點Px1,y1∈C,Qx2,y2∈C,若
kAP·kAQ=γ,①當γ=-b2a2時,kPQ=-y0x0為定值;②當γ≠-b2a2時,則直線PQ恒過定點D,且Da2γ-b2a2γ+b2x0,-a2γ+b2a2γ+b2y0.
證明 由定理1的證明,得-a2+2ny0a22+2nb2x0-2ma2y0y′x′+b2+2mb2x0=0.
①當k1k2=-b21+2mx0a21+2ny0=-b2a2時,kPQ=-mn=-y0x0;
②當k1k2=-b21+2mx0a21+2ny0=γ≠-b2a2時,n=-b2+a2γ+2mb2x02y0γa2,直線PQ在新系下的方程:
mx′-b2x0y0γa2y′=a2γ+b22y0γa2y′+1,過定點D-2b2x0a2γ+b2,-2y0γa2a2γ+b2,點D在原坐標系下的坐標為a2γ-b2a2γ+b2x0,-a2γ+b2a2γ+b2y0.
三、用坐標軸平移解結論為斜率和是定值問題
定理3 已知定點Pa,0,Qa,-mm≠0,經過點Q的動直線l與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于M,N兩點,則直線PM與直線PN的斜率的和為定值2b2am.
證明 以Pa,0為原點,建立新坐標系X′O′Y′,聯立新坐標系下的方程x′+a2a2+y′2b2=1,y′=kx′-m,所以b2x′2+a2y′2+2ab2x′kx′-y′m=0.
所以a2y′x′2-2ab2my′x′+b2+2akb2m=0.所以k1+k2=2b2ma為定值.
四、用坐標軸平移解結論為斜率的倒數和為定值問題
定理4 已知定點P0,b,Q-m,bm≠0,經過點Q的動直線l與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于M,N兩點,則直線PM,PN的斜率的倒數之和為定值2a2bm.
證明 以P0,b為原點,建立新坐標系X′O′Y′,聯立新坐標系下的方程x′2a2+y′+b2b2=1,x′=ty′-m,所以b2x′2+a2y′2+2a2by′ty′-x′m=0.所以b2x′y′2-2a2bmx′y′+a2+2a2tbm=0.所以1k1+1k2=2a2mb為定值.
五、強化訓練
1.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1,a>b>0定點A(x0,y0)∈C,(點A不是橢圓頂點),動點Px1,y1∈C,Qx2,y2∈C,若kAP+kAQ=γ,①當γ=0時,kPQ=b2x0a2y0為定值,且等于橢圓在A點處切線斜率的相反數;②當γ≠0時,則直線PQ恒過定點D,且Dx0-2y0γ,-y0-2b2x0a2γ.
證明見文[3].
2.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1,a>b>0 定點A(x0,y0)∈C,(點A不是橢圓頂點),動點Px1,y1∈C,Qx2,y2∈C,若kAP·kAQ=γ,①當γ=b2a2時,kPQ=-y0x0為定值,②當γ≠b2a2時,則直線PQ恒過定點D,且Da2γ+b2a2γ-b2x0,-a2γ+b2a2γ-b2y0.
證明見文[4].
3.已知拋物線C:y2=2px,定點A(a,b)∈C,,動點Px1,y1∈C,Qx2,y2∈C,若kAP+kAQ=γ,①當γ=0時,kPQ為定值,且等于拋物線在A點處切線斜率的相反數;
②當γ≠0時,則直線PQ恒過定點D,且
D b22p-2bγ,2pγ-b.
4.已知拋物線C:y2=2px,定點A(x0,y0)∈C,,動點Px1,y1∈C,Qx2,y2∈C,若kAP·kAQ=γ,則直線PQ恒過定點D,且Dx0-2pγ,-y0.
5.已知定點P-a,0,Q-a,-mm≠0,經過點Q的動直線l與橢圓x2a2+y2b2=1
(a>b>0)交于M,N兩點,則直線PM與直線PN的斜率的和為定值-2b2am.
6.已知定點P0,-b,Q-m,-bm≠0,經過點Q的動直線l與橢圓x2a2+y2b2=1
(a>b>0)交于M,N兩點,則直線PM,PN的斜率的倒數之和為定值-2a2bm.
更多的練習題見文[5].
參考文獻:
[1]劉大鵬.斜率和(或積)為定值條件下圓錐曲線的性質[J].中學數學研究(華南師范大學版),2020(05):44-45.
[2]耿曉紅,郭守靜.基于數學抽象核心素養,引導學生變式探究——以一類圓錐曲線定值問題探究為例 [J].中學數學教學參考,2019(10):60-63.
[3]徐道.一道高考題思考后的思考[J].數學教學,2010(09):46-48.
[4]劉大鵬. 對2020年高考山東22題的推廣與解法的研究[J].數理化學習(高中版),2021(03):8-10.
[5]姚良玲,楊列敏.一個優美結論的再推廣[J]. 中學數學教學參考(上旬),2018(19):54-55.
[責任編輯:李 璟]