常微分方程理論在“數學物理方程”課程中的應用

[摘 要] 偏微分方程求解既是“數學物理方程”課程教學的主體內容，又是課堂教學的重難點。求解偏微分方程的方法有很多，如特征線法、波的反射原理、分離變量法、格林函數法、傅里葉變換、拉普拉斯變換等。學會求解一些簡單的偏微分方程是數學專業學生學好“數學物理方程”課程乃至為以后繼續深造打下基礎的關鍵。因此，揭示偏微分方程求解方法中所蘊含的數學思想，幫助學生系統而深入地掌握求解的方法顯得尤為重要。以方程特殊形式解的求解、分離變量法、傅里葉變換法為例，結合具體的定解問題求解來闡述將偏微分方程問題化歸為常微分方程問題這一思想在偏微分方程求解中的應用。

[關鍵詞] 研究型教學;數學物理方程課程;常微分方程理論

[基金項目] 2020年度華南農業大學校級線下課程建設項目——數學分析（華南農教〔2020〕32號）

[作者簡介] 危蘇婷（1990—），女，江西瑞金人，理學博士，華南農業大學數學與信息學院軟件學院講師，主要從事偏微分方程研究。

[中圖分類號] O175.24? ?[文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2021）21-0141-04? ?[收稿日期] 2020-12-10

一、引言

“數學物理方程”課程既是數學與應用數學專業的一門重要專業課，也是物理、力學等理工科專業的基礎課程。該課程的研究對象是一些具有實際應用背景的偏微分方程。課程的主要內容是介紹如何將物理、力學和工程技術等應用學科中的現象和實際問題通過數學建模的過程轉化為偏微分方程定解問題，求解這些定解問題的基本方法，研究解的性質的技巧，利用理論分析結果解釋一些物理現象或解決實際問題。作為一門應用性較強的課程，“數學物理方程”課程的教學目標不僅需要讓學生理解和掌握偏微分方程的基本概念、求解方法和理論，更應培養學生運用數學工具解決實際問題的能力，從而提高學生的科學素養。在本科生課堂教學中，如何教會學生求解偏微分方程是教學的一大重點和難點。實際上，求解一些簡單的偏微分方程的方法有很多，如特征線法、波的反射原理、分離變量法、格林函數法、傅里葉變換、拉普拉斯變換等。系統掌握這些方法的關鍵在于深刻理解其中所蘊含的數學思想。本文將以特殊形式解的求解、分離變量法、傅里葉變換方法為例，結合具體的定解問題求解來展示將偏微分方程問題化歸為常微分方程問題這一思想在偏微分方程求解中的應用，并啟發學生深入思考以下問題：為什么常微分方程理論可以應用于求解偏微分方程;利用分離變量法求解偏微分方程的關鍵點是什么;傅里葉變換作為一種特殊的積分變化為什么可以用于求解偏微分方程;等等。對這些問題進行深入的探討，不僅可以使學生加深對偏微分方程知識的理解，而且有助于發現和深刻認識所學的不同數學知識之間的內在聯系，進一步提升自己的數學能力。

二、具體實例

在“數學物理方程”課程中，將偏微分方程轉化為常微分方程進行處理是求解偏微分方程問題的常用思想之一，由此可見常微分方程理論在求解偏微分方程中起著至關重要的作用。下文將從求特殊形式的解、分離變量法、傅里葉變換三個方面介紹常微分方程理論在求解偏微分方程問題中的應用，并分析其本質思想。

（一）求偏微分方程的特解

“數學物理方程”課程主要研究三類經典的偏微分方程，即波動方程（雙曲型方程）、熱傳導方程（拋物型方程）和拉普拉斯方程（橢圓型方程）。掌握這三類方程的求解方法是“數學物理方程”課程學習的重點之一。眾所周知，對于大部分的數學物理方程，我們都無法求出其精確的解析解。但是對于一些方程，我們可以找到具有某種特殊形式的解，如行波解、自相似解、徑向對稱解等。對這些特解的研究有助于我們更好地了解方程解的性態，進而解釋方程所描述的物理現象。下面通過實例說明在求解三類經典偏微分方程的某些特解時，往往需要借助常微分方程理論。

例1：求解齊次波動方程的柯西問題

在上述三個例子中，我們分別研究了三個經典偏微分方程解的存在性。從中我們可以看到，如果假設方程的解滿足某種不變性（如傳輸不變性、自相似性和對稱不變性等），則其對應的偏微分方程問題可以簡化為相應的常微分方程問題，這樣我們便可利用常微分方程理論求得原偏微分方程問題的某種特殊形式解。值得指出的是，以上例子我們得到的結果分別為波動方程的泊松公式、熱核函數。這些內容都對研究復雜的非線性偏微分方程有著非常重要的作用。

（二）分離變量法

分離變量法是求解偏微分方程初邊值問題的一個重要方法。通俗地說，其核心思想是將方程的解（多元函數）的變量進行分離，即寫成若干個只依賴于一個變量的函數之積，由此將偏微分方程的定解問題簡化為若干個常微分方程的邊值問題。下面我們以弦振動方程的定解問題為例來具體說明這一理論。

分離變量法是求解偏微分方程的混合問題的一個普遍方法，它不僅適用于熱傳導方程，而且適用于求解波動方程、調和方程，以及一些形式復雜的方程（組）。通過例4可以發現，利用分離變量法求解偏微分方程的定解問題，可以將問題歸結為求解常微分方程特征值的問題。例4中所對應的特征值問題的特征函數是三角函數。根據定解條件，需要將解函數按特征函數展開為無窮級數，即標準傅里葉級數。對于一些特殊的變系數常微分方程，其特征函數可能不是三角函數，而是貝塞爾函數、勒讓德函數等其他函數，此時按特征函數展開的方法依然成立。因此，在學習過程中復習和鞏固常微分方程求解方法，熟悉特征值、特征函數及按特征函數展開等知識點，有助于理解和運用分離變法求解偏微分方程。值得注意的是，利用分離變量法求得的方程的解是關于具有變量分離形式的因子的無窮級數求和。根據泛函知識可知，我們最后得到的解并不一定具有變量分離的形式。此外，在分離變量法的基礎上，人們又發展了伽遼金方法（Galerkin method）。此方法是目前證明非線性偏微分方程一般形式解的存在性的基本方法之一。