數學函數教學的難點及解決策略

李慧芬

摘 要：中學階段的數學學科教學內容相對以前而言跨度較大，學生在學習初期能夠通過以前掌握的數學知識進行代入，學習的效果相對較好且內容的理解較為順暢。但隨著教材內容的逐漸深入學生對知識的掌握愈發困難，尤其到了函數的教學時學生對教材中的重點難點難以通過自身思維能力進行解決，需要通過教師的反復講解才能夠勉強完成學習任務。面對這一情況，教師在教學過程中應對函數的教學方式進行充分的改進，對教學過程中的重點難點及突破策略進行深入的思考，使學生能夠以流暢、自然的方式掌握數學知識，提升學生對函數的掌握效果，促進學生數學核心素養的全面提升。本文針對中學數學教材中函數教學的重點難點及突破方式進行解析，以期提升學生的函數學習效果。

關鍵詞：中學數學;函數教學;重點難點;突破方式

案例背景：

中學階段的學生接觸函數缺乏函數的基礎，在學習的過程中也較為困難，對其中的重點知識理解起來也有著一定的障礙。因此，教師在教學的過程中應通過教學方式的創新與實踐提升學生對函數的學習效果。目前中學階段的學生對函數的概念較為模糊，學生在這一階段的思維能力也并未成熟，對較為復雜的函數難以進行理解和學習。在當下數學教學中也存在著一定的問題有待完善。身為新時代的中學數學教師應對函數的教學進行充分的調整，及時發現傳統教學模式中留存的問題，并以積極探索的方式設計可行性較高的案例進行實踐，以期提高學生的函數學習效果及數學綜合能力。

案例描述：

案例一：在對《常量與變量》進行教學的過程中，教師首先便可構建較為生活化的問題情境，引導學生在自身較為熟悉的情境中進行代入展開學習。首先教師在教學導入環節應通過生活化的問題引導學生進入到教學情境中進行思考，如：同學們，每天早上我們走路到學校共計1000米，假設需要步行20分鐘，那么在以上的數字中哪些是能夠變化的哪些又是客觀存在且不能夠進行改變的呢？學生經過思考能夠較為簡單地得出1000米為固定條件，騎行時間可以通過騎行的速度進行改變。這種教學方式不僅能夠充分激發學生的學習興趣及參與的欲望，還能夠完成生活化問題情境的構建，使學生能夠跟隨教師的問題進行思考和知識的學習，在情境構建結束后教師便可通過設定問題的方式繼續進行引導，題目如下：某超市大米打折，每斤米的價格為10元，如果早上售出150份，中午售出205份，晚上售出310份，那么早中晚各自賣了多少錢？如果周末一天售出大米x份，總收入為y元，如何通過公式進行表達？在等式中哪些量是固定的？哪些是變化的？學生在這樣的問題中首先能夠對有著實際數字的大米收入進行計算，即150×10=1500元，205×10=2050元，310×10=3100元，共計6650元。學生經過這樣的計算將數字替換為xy也能夠以等式的方式進行展現，即10x=y。通過問題的解答學生能夠逐漸發現函數中變量和常量的關系及區別，并能夠通過等式的方式進行兩者的區分。在學生理解結束后教師還可通過列出公式的方式讓學生進行常量和變量的分辨，如：y=12x-3，8x÷2=y，y=x2等，學生在對常量知識進行掌握后在進行分辨能夠對學生的學習效果進行充分的鞏固。這種構建教學情境的方式對學生的學習效果而言有著良好的提升作用，學生也能夠在情境中以較高的參與興趣和學習效果掌握函數相關的知識。

案例二：例如在對《函數》進行教學的過程中，教師首先便可通過設置問題的方式引導學生展開思考，如：用生活中最為常見的火柴棒組成一個正方形，并在其右側再次構建一個正方形依次增加，請問構建兩個正方形需要多少個火柴棒？三個正方形需要多少？四個正方形需要多少？一百個正方形要多少個火柴棒？其中有什么規律？在給出問題后教師可引導學生以在草稿紙上進行模擬的方式展開實踐及思考。學生經過思考能夠較為簡單的得出一個三角形需要四根火柴棒，在其旁邊搭建正方形則需要三根，因此一個為四根、兩個為七根、三個為十根以此類推，一百個正方形則需要3×100+1=301根火柴棒。通過這一問題的設立學生能夠發現在生活中函數的應用范圍十分廣泛，在學習的過程中也能夠感受到函數的表現方式及等式的構建方式。在問題解析結束后教師應引導學生發現在上述算式中有兩個變量，在等式中給出一個變量便間接地確定了另一個因變量。此時教師便可通過總結的方式引導學生發現自變量和因變量的關系，即確定了x值便確定了y值，在函數領域中便稱y為x的函數，其中x為自變量y為因變量。學生在這樣的課堂中能夠始終以積極主動的方式進行參與并跟隨教師的引導逐漸理解函數的知識，在學習的過程中也能夠保持較為高昂的學習興趣及學習欲望，在良好學習氛圍的影響下積極展開思考和探究，自主發現函數之間的關系和變自變量、因變量及常量之間的關系，提升函數學習效果。

案例三：例如在對《一次函數的圖像》進行教學的過程中教師便可引導學生以數形結合思想的應用展開學習及思考。首先教師以問題的方式引導學生進行思考，如：烏龜和兔子參加短跑比賽，烏龜每分鐘能前進1.5米，兔子每分鐘能前進2米，烏龜的起點比兔子靠前2米，烏龜和兔子同時出發，請分別寫出烏龜和兔子距兔子起跑點的距離y與出發的時間x的關系式并推導誰能獲勝。學生經過對之前掌握知識的運用能夠得出y=2x，y=1.5x+2，此時教師便可引導學生回憶正比例函數及一次函數的知識進行勝利者的推導，引導學生以小組合作的方式展開探討。在學生探討的過程中若學生得出了正確的結論教師便可引導學生通過圖像的方式進行表達，若學生并未得出正確結論教師便可通過圖像驗證的方式展開一次函數圖像的教學和講解。在知識講解結束后教師便可開始引導學生通過交流和討論的方式利用數形結合進行知識的探索，如等式中的k、b對一次函數展示的圖像和性質有著什么樣的影響？學生在交流的過程中教師也可通過適當的方式幫助學生進行探究，在等式中研究一個因素的影響可保持其他因素的固定，僅對被研究的因素進行改變觀察其變化，如y=3x-6，y=3x+6，y=-3x-6，y=-3x+6。學生通過教師的引導能夠在小組合作學習的過程中逐漸摸索出正確的結論，一次函數中y=kx+b，其中k、b為常數，k不能等于0。k在一次函數中能夠決定一次函數圖像的傾斜方向，k為正數時y的值隨x的增加而增加，k為負數時y隨x的減少而減少，k相同時則直線相互平行。b的正負值能夠決定直線與y軸的交點，b為正數時交點位于正半軸中，b為負數時交點位于負半軸上，b相同時直線相交于一點。通過應用數形結合的方式引導學生以小組合作展開知識的探究和學習，能夠使學生以較為主動的學習態度積極對知識進行學習和交流，在發現問題時也能夠與同學及教師進行及時的溝通，避免自身因錯誤理解導致的概念學習錯誤或計算方式錯誤等情況的發生。這種教學方式的應用不僅能夠幫助學生掌握數形結合思想，還能夠使學生在教師的引導下充分應用自身邏輯思維能力對復雜的推導過程進行思考，培養學生邏輯思維能力的同時促進學生學習效果的全面提升，強化學生對函數的學習積極性及函數知識的應用能力。

案例四：例如在進行課后作業設計的過程中，教師便可通過設置生活化問題的方式引導學生鞏固對函數基本概念的認知，如車輛每小時前進x公里，到達a點需經過xx距離、三角形的底出現了變化量為x的改變，其底邊、角、面積、高有著什么樣的變化、在購買文具的過程中商品的數量、單價及總價中哪個是常量？哪個是自變量？哪個是因變量等。學生根據教師的引導能夠對基礎知識進行反復的盤點，提升學生對基礎知識的掌握程度。教師還應設計問題引導學生能夠對屬性的本質進行分化，變量其本質便是在變化過程中能夠取不同數值的量，例如汽車行駛過程中的時間、路程與速度之間有何關系、汽車勻速行駛時不同時間所走的不同路程等都可作為變量概念的講解。再而教師在教學過程中還應引導學生對概念進行總結和深入的認知，通過多種方式如表格、圖像、數字等進行函數關系的體現，引導學生對同一信息以不同的方式進行處理，提升學生的問題解析能力并夯實學生的函數基礎知識。

【案例分析】：

一、中學函數教學難點分析

（一）函數概念理解較為模糊

中學階段的學生對函數的理解相對較差，對其中的概念難以進行理解進而出現理解錯誤和學習錯誤的情況產生，學生也因此難以對函數進行充分的解讀，導致學生在中學數學課堂中難以進行函數知識的運用，對自身思維能力的運用也難以與函數進行融合。這是當下數學教學中學生僅僅停留在函數概念的層次上難以進行深入的原因之一，這種情況也導致學生進行題目的解答時難以進行知識的靈活運用，以死記硬背的方式進行知識的學習，以套公式的方式求解。這種解題方式雖然能夠得到答案但學生的綜合能力培養效果相對較差。

（二）學生數學思想掌握較差

在數學學科中的數學思想較多，函數方程思想、整體思想、建模思想、數形結合思想、化歸思想、歸納推理思想、分類討論思想、隱含條件思想、極限思想、方程思想、類比思想等都是數學學科中十分常用且應用效果十分優秀的數學思想。學生對這些較為復雜的數學思想掌握較差，在函數的學習過程中也難以對數學思想進行靈活的運用，這也導致了學生難以將數字與圖形進行結合，對學生的學習效果及學習能力都造成了一定的影響。

（三）函數意識相對較差

在數學課堂中學習函數的過程中在變量中經常出現多種復雜的函數關系。但中學階段的學生因函數意識較差，在遇到此類問題時往往難以進行解答，對其中的函數關系分辨能力也相對較差。部分同學甚至在學習函數時因此存在著較大的難度，導致學生出現厭學、反感的不良心理出現，解題時也只能通過燈亮關系進行推導，函數知識的學習和應用對此類學習困難的學生而言可謂惟恐避之不及。

（四）思維能力發展進度較慢

中學階段的學生形象思維仍是主要的認知方式，函數的知識又相對抽象，在學習的過程中對學生的思維能力及認知能力都有著一定的要求。教師在教學過程中只有通過數形結合思想的運用才能夠使學生理解函數知識，在求解的過程中教師也應引導學生通過思維能力的運用構建正確的函數圖形或表格，并通過數字與圖形相互轉換的方式展開函數的學習。但因學生思維能力的發展進度較為緩慢，在課堂中學生難以及時地將數形結合思想進行運用和整合，對較為抽象的運算過程及運算內容也難以進行細致的理解，導致學生在學習函數時面臨著較大的問題。

二、中學函數教學有效性的提升策略

（一）培養學生學習興趣，體現學生主體地位

1.構建問題情境，提升學習欲望

函數的知識在中學階段的學生看來是枯燥而乏味的，大部分的內容都是枯燥的數學概念和等式之類。教師在函數的教學過程中應通過多種教學方式的應用激發學生的學習興趣，構建合理的教學情境，使學生能夠在教師擬定的情境中以較高的學習興趣進行參與，對函數知識進行深入的理解。構建函數教學情境的方式還能夠帶領學生在問題情境中進行深入的思考，對教學中的重點難點以自主探究、自主思考的方式進行突破，使學生在課堂中不僅能夠掌握基礎的函數知識，還能夠對學生的概念轉化能力、數學學習興趣及抽象知識理解能力進行全面的提升，促進數學函數教學有效性的提升和發展。在案例一中教師便通過較為生活化的方式進行了引導，學生在自身較為熟悉的情景中進行導入，通過案例一中以問題導入、以解決問題的過程展開教學的方式學生也能夠利用自身已經掌握的數學知識進行帶入，避免了因初次接觸函數導致的生疏感和陌生感，不僅學習壓力較低，還能夠將函數的學習方式進行全面的提升，為學生留下良好的函數印象，使學生能夠對函數進行正確的理解，逐漸對等式中的元素進行了解，為后續函數知識的學習奠定了基礎。

2.構建學習氛圍，提升參與欲望

中學階段的學生函數知識，對較為抽象的數學概念進行學習學習的難度自然較大。教師在教學過程中應為學生構建合作、交流、共進、探討的學習氛圍，引導學生在教師的引導下展開自主學習。教師在教學設計中也應對課前預習、課堂中聽講、課后復習及練習進行整體的設計，引導學生通過探究式學習的方式逐漸摸索出適合自身的學習方式。教師在構建學習氛圍時教師應著重于融入生活化元素，體現學生的主體地位，使學生在掌握知識后能夠進行成果的展示和表達，滿足學生表現欲望的同時提升學生課堂中的參與欲望，感受學習數學知識的快樂。在案例二中教師便通過引導學生實際操作的方式參與到課堂中，學生在以火柴拼圖形作為基礎的導入中有著較高的參與欲望，積極的教學氛圍也讓學生對函數知識更加的渴求，在實踐中也能夠逐漸發現操作中的函數問題。教師在學生發現問題時也進行了積極的引導，根據學生的疑惑和求知欲帶領學生進行知識的探索，講解函數知識的同時以趣味化的實踐提升了學生的學習興趣。

（二）重視數形結合，講解應用方式

中學階段學生的函數學習興趣需要教師的充分引導，在教學設計中教師應對函數的分解及組合方式進行深入的解析，使學生能夠在學習過程中不斷以新的學習目標進行知識的深入學習，提升學生的學習欲望。在函數教學中運用數形結合思想是最為直觀且效果較為優秀的，教師在教學過程中也應引導學生發現數形結合的重要性并通過教師的講解發現等式分解及組合的方式。首先教師應引導學生理解先分解再組合，最后以綜合的方式進行應用，學生在掌握基礎技能后能夠降低學生的學習壓力。在教學中教師還應引導學生以交流和鼓勵的方式進行整體的提升，促進學生函數學習效果的提升。此外，教師在繪圖教學中也可融入數形結合思想，使學生將較為抽象的函數計算及推導的過程中提升自身解題能力，通過函數在圖表中不同的位置及表現進行問題的解析，將函數和思想融為一體進行問題的解決。在案例三中教師也是通過問題進行教學內容的導入，面對耳熟能詳的龜兔賽跑游戲學生的學習興趣也相對較高。案例三中的問題嚴格來說是車輛行駛問題的拓展，教師換了一種較為童趣的方式進行表達，學生處于好奇和展示知識的迫切，愿意積極地配合教師展開學習，在講解中教師也充分運用了數形結合思想，將原本較為復雜的問題以函數圖像的方式進行展現，學生能夠更加直觀地對問題進行分析，提升了學生將算式轉化為圖像的能力，帶動學生函數學習效果的提升。

（三）函數概念重點講解

1.函數概念形成的講解

在中學數學課堂中教師應重視學生對函數基礎概念的掌握，保證學生能夠在面對問題時能夠從本質上進行分析和推導，提升學生的解題能力及解題效果。首先，教師應引導學生通過多種方式進行推導，如生活中的案例、學生的生活經驗等都可當作相應的素材，使學生在符合自身認知能力及學習進度的情況下能夠正確掌握函數的基本知識及基本的應用方式、表現方式等，提升學生在對函數作用的認知，強化學生的函數觀念促進學生對函數概念的形成過程了解程度的提升。

2.結合實際案例展開概念教學

學生在對函數知識進行復盤后教師可通過實際函數案例的方式引導學生進行函數概念的學習，使學生在實際案例中完成作業時進行更加直觀且準確的推導，理解函數的關系及結構，鞏固學生對函數知識的學習效果及掌握程度，使學生在重點難點的學習過程中能夠以較為堅實的基礎進行支撐，發揮自身邏輯思維能力及數學核心素養進行探究式學習，提升學生的學習效果。

（四）數學函數課后作業布置合理化

1.課后作業分層，提升訓練針對性

在同樣的函數教學課堂中因學生的思維能力及數學基礎的不同在一定程度上會導致學生的學習效果存在著差異，教師在布置課后作業的過程中若并未對這種差異性進行重視則會導致課后作業的內容出現缺陷，學習效果較差的學生難以進行解答，學習效果較好的學生認為題型過于簡單的情況。因此，教師在教學過程中應通過課堂練習的方式對學生的學習效果進行檢驗，保證課后作業設計的針對性及合理性，使不同學習結果的學生都能夠通過課后作業的布置進行自身能力的提升并鞏固基礎知識。在進行作業設計的過程中教師應針對學習結果較為優秀的學生設置較多的提高類型題目，引導學生在難度較高的練習內容中進行函數學習成果的鞏固和思維能力的提升;對學習成果中等的學生教師可布置以基礎知識復習為主的練習內容，在其中插入適當的提高類型題目，使學生在鞏固基礎知識后能夠嘗試進行自身函數解析能力的提升;對學習成果較差的學生教師可布置較為基礎的題目，幫助學生在課后的時間中鞏固基礎知識，使學生能夠跟隨教學進度展開學習，保證全體學生的整體發展，避免出現學習進度相差較大的情況產生，促進學生數學能力的發展。

2.課后作業提趣，提升完成欲望

在中學階段函數的教學中，教學內容對學生而言本就較為枯燥，學生在課后還要進行枯燥的運算及推導對學生而言無異于是一種“折磨”，因此，教師在進行作業設計的過程中應根據學生現階段的興趣及年齡特質進行課后作業的趣味化設置，使學生在完成作業的過程中能夠保持較為高昂的興趣和完成意愿，引導學生在課后能夠積極進行能力的提升和知識掌握程度的培養。例如在一次函數作業的設計中，教師便可為學生布置較為生活化的“手機充電的同時玩游戲”主題作業，假設充電速度為每分鐘1%，用手機玩游戲的耗電為每分鐘0.4%，以此為基礎進行題目的針對性設計。學生在面對這一問題時完成的興趣較高，在一定程度上能夠抵消函數枯燥乏味的運算過程，使學生在完成作業的過程中能夠感受到快樂，理解函數在生活中的常用性和重要性，對函數的基本推導方式進行鞏固，提升學生的課堂學習效果。在案例四中，教師為了提升課后作業的趣味性避免了傳統的計算作業，轉而通過生活中較為常見的案例及知識進行引導，目的主要是為了夯實學生的函數基礎。函數的學習本就較為復雜，在教學初期為學生構建良好的基礎十分必要，這一課后作業的設計可謂是整體教學中的點睛之筆，不僅完善了課堂中因時間限制難以進行訓練和鞏固的不足，還使學生感受到了函數的趣味和在生活中的常用性，較為基礎的問題也能夠使學生對函數的學習產生良好的印象，不會因枯燥切復雜的推導作業產生抵抗情緒，對學生的學習效果也有著全面的提升作用。

（五）課后反思完善教學

在教學結束后教師并未完成全部的教學任務，教師還應對課堂教學的過程進行充分的反思，發現自身教學過程中存在的問題及缺陷，通過適當的方式進行調整和完善，提升自身教學能力，使學生能夠在不斷改革的課堂中進行高效的知識學習。此外，在教學反思的過程中教師還應虛心聽取學生的意見，根據學生的語言反饋及成績反饋、作業反饋等對自身特定的教學片斷進行回憶，反思其中的不足并尋找完善的方式。在完善的過程中教師應通過信息技術的應用汲取優秀教師的教學經驗，去其糟粕取其精華，不斷完善自身教學素養，拓展知識面，為學生構建多元化的高效教學課堂，提升學生的函數學習效果，促進學生課堂參與度的提升和學習興趣的發展。

【案例反思】

綜合上述案例及反思，在函數的教學中教師應根據學生的實際學習情況及學習能力進行教學方式的選擇及教學策略的運用，嚴格以新課標及新課改為標準進行教學結構的調整，使學生能夠在以自身為主體的課堂中展開高效的自主學習及自主探究，以主動學習的方式進行知識的汲取，提升學生的學習效果及學習能力。教師在教學過程中也應對自身的教學能力進行持續的提升，只有不斷的學習才能夠不斷地革新教學觀念，為學生解決函數問題、講解函數知識的同時提升學生的學習質量。教學結束后教師也應進行積極的反思，對課堂中的表現進行客觀的審視，發現其中存在的教學問題并想方設法進行完善和實踐，提升學生對函數的學習興趣，帶動函數教學重點難點的突破，使初中數學課堂成為活躍、高效且生動的互動式探究課堂。

參考文獻

[1]賈靖林.信息化環境下初中數學函數教學的策略研究[J].中國教育技術裝備，2011（05）：85-86.

[2]陳向榮.信息化環境下初中數學函數教學的策略研究[J].新課程（中），2018（03）：143.

[3]盧興林.初中數學函數教學的難點及解決策略[J].考試與評價，2020（06）：118.