基于三維有限元波箔片模型的氣體箔片軸承承載性能研究

梁 波，羅欣洋，寧家強，程定斌，徐科繁，張廣輝，劉占生

(1.中國航空工業集團公司 南京機電液壓工程研究中心航空機電系統綜合航空科技重點實驗室,江蘇 南京 211106;2.哈爾濱工業大學 能源科學與工程學院,黑龍江 哈爾濱 150001)

箔片空氣動壓軸承(Air Foil Bearing)是通過彈性箔片將轉軸包裹，由轉子高速旋轉產生的動壓效應將箔片撐開，進而形成氣膜使轉子浮起的一種軸承形式。箔片空氣動壓軸承主要有懸臂型、纏繞型、波箔型和外楔型等形式[1]。圖1為典型的波箔型徑向空氣箔片軸承。

圖1 典型的空氣箔片軸承結構形式[2]

箔片空氣動壓軸承在小型高速旋轉機械中具有廣闊的應用前景，尤其是在飛機空氣循環機中，此時機載環境惡劣，轉速變化劇烈，而箔片空氣動壓軸承既能適應高速運轉條件下的穩定運行，又具有可靠性高、長壽命、無潤滑油污染、溫度適應性寬等優點[3]，因此已經取得廣泛的應用[4]。

戚社苗等[5]借助MATLAB PDE工具箱對雷諾方程進行了高精度計算。徐方程等[6]考慮了箔片間的摩擦效應，結果表明摩擦效應增大了波箔的剛度。李潔[7]基于曲殼模型對箔片軸承的承載特性進行了分析，通過商業軟件ANSYS模擬以及實驗驗證了其準確性。許浩杰等[8]研究了箔片結構參數對箔片軸承承載性能的影響，結果表明當偏心率一定時，軸承承載力與波箔厚度成正相關。Gu等[9]采用包含分離和摩擦行為的通用接觸模型對平箔和波箔的相互作用進行了建模，結果表明該模型允許平箔與波箔分離，符合工程實際。

綜上所述，箔片軸承的承載性能受箔片彈性變形影響較大，而后者與箔片結構參數密切相關，這一點有待進一步研究。本文以波箔型空氣動壓軸承為研究對象，結合有限元法建立了兩種箔片變形模型，通過耦合求解雷諾方程以及箔片變形模型，獲得了不同波箔片彈性和不同平箔片厚度對軸承承載力的影響，為后續波箔型空氣動壓軸承的設計制造提高理論參考。

1 雷諾方程

箔片空氣動壓軸承的控制方程是雷諾方程，其無量綱形式參見式(1)。雷諾方程是非線性的二維橢圓型方程，可通過有限差分法[10-16]或有限元法[17]求解。本文選擇前者。并結合五點差分格式求解。此時軸向為周期邊界條件，周向為大氣邊界條件

(1)

為提高程序在大偏心率時的收斂性，本文采用亞松弛法(SUR)[13]獲取每一次迭代的初值，見式(2)，此時亞松弛系數為0.5

(2)

2 箔片變形模型

2.1 基于三維有限元法的箔片變形模型

文獻中動壓軸承的平箔片變形模型主要有以下三種：(1)忽略平箔片并假定波箔片與彈簧等價[8]；(2)考慮平箔片沿著周向的剛度[18]；(3)考慮平箔片與波箔片的摩擦力[11]。本文采用前兩種模型計算箔片變形。

針對忽略平箔片并假定波箔片與彈簧等價的模型，此時氣膜壓力直接作用在彈簧上，參見圖2(a)。

針對考慮平箔片沿著周向的剛度的模型，此時平箔片將簡化為一系列固結在彈簧上的三節點梁單元，箔片即簡化為彈簧與梁單元的組合體，參見圖2(b)。

圖2 兩種箔片變形模型

2.2 箔片變形模型1的建模

針對模型(1)，每個節點上氣膜壓力產生的變形量按式(3)計算

δij=fij/K

(3)

式中δij——節點的變形量；

K——波箔片的彈性系數。

本文通過有限元軟件ABAQUS進行仿真計算以獲取彈性系數。物理模型參見圖3，其厚度為0.1 mm，彈性模量為E=2.0×1011Pa，泊松比υ=0.3。Abaqus中波箔片結構模型和計算結果參見圖4。

圖3 典型波箔片的結構參數/mm

圖4 ABAQUS仿真結果

根據仿真結果，波箔片的彈性系數為K=4.167 GN/m3。文獻中利用經驗公式獲取的波箔片彈性系數依次為4.7 GN/m3和5.0 GN/m3，顯然本文的計算結果可信。

為進一步評估不同載荷作用下波箔片的彈性系數變化，本文繪制了載荷與波箔片最大位移的關系，如圖5所示?？梢钥吹?，波箔片的彈性系數在一個較大范圍內保持不變，因此，模型1可以假定波箔片與彈簧等價。

圖5 不同載荷下的波箔片的最大位移

在此基礎上，分別改變波寬和波高，然后計算波箔片的彈性系數，相關結果如圖6所示?？梢钥吹?，波箔片的彈性系數隨著波寬的增加逐漸降低，而波高在一定范圍內影響較小。顯然，波寬是一個重要設計參數，可以通過修改波寬改變波箔片的彈性系數。

圖6 波箔片彈性系數與波寬、波高的關系

2.3 箔片變形模型2的建模

針對模型(2)，由于此時梁單元僅有三個節點，而二次分布有三個未知數，因此可以假設二次分布能逼近箔片單元所受的壓力分布qi,j(ζ)，故有

qi,j(ζ)=(ai,jζ2+bi,jζ+ci,j)Δz

(4)

結合圖2(b)有

(5)

對公式(5)求解有

(6)

在此基礎上，由材料力學中梁單元變形的微分方程[19]有

(7)

式中ωi,j——箔片單元的變形量分布。

(8)

(9)

結合式(4)、(6)、(8)、(9)可獲取平箔片的變形量分布，參見式(10)

(10)

需要注意的是，式(10)的前提是假設平箔片單元的兩端是固支邊界條件。當同時考慮波箔片的彈性效應時，平箔片單元的兩端與軸瓦間是彈性連接。因此，需要結合式(3)獲取平箔片單元的兩端點的變形量δij。此時fi,j通過式(11)求解

(11)

以si,j表示平箔片總的變形量，顯然其等于兩端點變形量的線性插值結果與平箔片的變形量之和，參見式(12)，進而有(13)

(12)

(13)

3 數值計算模型

3.1 耦合計算流程

數值計算過程中，若箔片的剛度較小，氣膜壓力會使箔片產生較大的變形，最終容易造成計算發散，這個問題在大偏心率情況下尤其明顯。為提高程序收斂性和穩定性，本文提出了小柔度步數值方法，如圖7所示。

圖7 氣膜與彈性箔片的耦合計算流程圖

小柔度步數值方法將計算過程分為多個柔度步。先采用小柔度計算使得氣膜壓力和氣膜間隙滿足收斂條件，然后逐漸加大柔度值，最終得到全柔度下氣膜壓力和氣膜間隙的求解結果。經過驗證，小柔度步數值方法可以顯著提高程序的穩定性。

3.2 程序驗證

為驗證程序的準確性，本文按照文獻[15]中的參數對動壓軸承進行模擬，結果如圖8所示。圖9給

圖8 按照文獻[11]參數計算的氣膜壓力分布

圖9 氣膜壓力與氣膜間隙對比

出了文獻[15]和本文計算結果的對比圖?？梢钥吹?，中截面上氣膜壓力氣膜壓力偏差較小，誤差小于3%，這說明本文程序可以準確模擬箔片空氣動壓軸承。

4 箔片彈性對承載力的影響分析

4.1 箔片變形模型1：波箔片彈性的影響

結合箔片變形模型(1)，本文按照3.1給定的計算流程，采用表1中的計算參數，對動壓軸承進行了模擬，結果如圖10所示。

表1 彈性箔片軸承計算參數

圖10 箔片軸承氣膜壓力分布和氣膜間隙分布

由圖10可知，氣膜壓力較大處氣膜間隙較小，同時由于大氣邊界條件的影響，邊界點附近箔片變形量小，氣膜間隙更小。

在此基礎上，為更直觀地比較箔片軸承與剛性軸承，圖11給出了中截面上軸承氣膜壓力和氣膜間隙分布。同時考慮到決定動壓軸承承載能力的主要因素之一是最小氣膜間隙，故此時選定剛性軸承偏心率為0.55，箔片軸承偏心率為0.8。

圖11 相同最小氣膜間隙下剛性軸承與箔片軸承的中截面氣膜壓力分布與氣膜間隙分布

可以看到，當最小氣膜間隙相同時，箔片軸承的承載區壓力更大，整個承載區更寬，同時氣膜間隙形狀更陡，顯然能提供更大的承載能力。

表2給出了兩種軸承的承載能力[14]對比數據?？梢钥吹?，當最小氣膜間隙相同時，箔片軸承的承載能力約為剛性軸承的1.5倍，同時其偏位角也較小，一定程序上具有更好的氣膜穩定性。

表2 相同最小間隙下彈性箔片軸承與剛性軸承無量綱承載能力對比

為進一步分析箔片彈性對軸承承載力的影響，圖12給出了不同箔片剛度下，箔片軸承的氣膜壓力分布和氣膜間隙分布。

圖12 不同剛度下箔片軸承中截面的氣膜壓力分布和氣膜間隙分布

隨著箔片剛度逐漸減小，軸承承載區寬度逐漸增大，氣膜的最大壓力逐漸增加。但如果將箔片剛度減小到一定數值時，如K=2.582 GN/m3，由于箔片剛度過小，軸承無法形成穩定的氣膜，氣膜壓力會呈波動狀態，參見圖12，此時程序未收斂。

通過上述分析，顯然，在動壓軸承設計時，應該合理選擇箔片剛度，以保證形成較高承載能力的氣膜，但又不至于產生氣膜震蕩。

4.2 箔片變形模型2：平箔片厚度的影響

結合箔片變形模型(2)和計算參數表1，圖13給出了相關的計算結果，此時平箔片厚度為0.1 mm。

圖13 考慮平箔片變形的氣膜壓力分布與間隙分布

圖14給出了兩種箔片變形模型對應的數值模擬結果?？梢钥吹?，考慮平箔片變形后，在壓力較大處，由于梁單元的變形，整個間隙分布會有微小的波動。另外，軸承的氣膜間隙分布會沿圓周方向鈍化，這是因為箔片變形模型2考慮了沿圓周方向的箔片剛度。

圖14 兩種模型下的中截面氣膜壓力分布和氣膜間隙分布的比較

由節2.2、2.3可知，在箔片變形模型1中，節點變形量僅與該節點的壓力有關；在箔片變形模型2中。節點變形量由相鄰的沿圓周方向的幾個節點共同決定，顯然，后者更加準確。

圖15給出了不同平箔片厚度條件下軸承氣膜厚度和氣膜間隙的分布情況。

圖15 不同平箔片厚度下中截面氣膜壓力分布和氣膜間隙分布的比較

可以看到，當平箔片厚度不同時，軸承氣膜壓力和氣膜間隙分布基本一致。但當平箔片厚度降低到0.08 mm時，氣膜間隙在高承載區有更多的波動，這是由于平箔片厚度降低時，平箔片的截面慣性矩會以三次方的速度降低，進而導致更大的變形量。另外，若將平箔片厚度增大到0.15 mm，此時波動情況會得到弱化。

5 結論

本文通過對雷諾方程以及箔片變形模型的耦合求解，獲取了箔片彈性對空氣動壓軸承承載力的影響，同時數值結果與文獻數據誤差小于3%。相關結論如下：

(1)本文提出了小柔度步的數值方法，顯著提高了程序的收斂性和穩定性。

(2)針對箔片變形模型1，相較于剛性軸承，波箔片的彈性會提高箔片軸承的承載區寬度，在同樣的最小氣膜間隙下，軸承承載能力會顯著增強。

(3)波箔片的剛度應該合理設計，以形成承載能力較大的氣膜形狀并不引起氣膜震蕩。

(4)針對箔片變形模型2，平箔片會增加箔片的彈性效果，相較于箔片變形模型1，箔片軸承的間隙分布會在圓周方向鈍化。

(5)平箔片厚度一般選擇0.1 mm，過小的平箔片厚度會引起氣膜震蕩。