五自由度磁力驅動平臺的設計與仿真分析*

王韜宇，孫 鳳，張 明，李 強，徐方超，趙海寧

(沈陽工業大學 機械工程學院，遼寧 沈陽 110870)

0 引言

磁力驅動技術因其響應快、無接觸摩擦無需潤滑、易于實現結構緊湊及多自由度運動等優勢受到國內外廣泛關注，并取得了許多研究成果。中南大學的陳啟會等[1]設計了一種平面型的磁懸浮驅動平臺，驅動單元采用差動控制，不僅提供了控制靈敏性，還保證了系統具有一定的剛度。李群名等[2]通過對平臺的機電耦合動力學模型進行運動穩定性分析,得到了平臺實現穩定懸浮時控制參數范圍，并通過實驗驗證了此范圍內平臺系統在穩定懸浮時具有良好的動、靜態性能。以色列Ben-Gurion大學的學者們研制了一種六自由度精密定位臺，平臺由三組橫向磁組和三組垂向磁組組成，可以實現0.4 mm的平動行程和±1.2 μrad的轉動行程[3]。青島理工大學的武倩倩等[4]設計了一種六自由度的磁懸浮隔振平臺，并提出了雙閉環的控制策略，使系統在低頻到中高頻帶內實現隔振控制，在極低頻帶內實現跟蹤控制。沈陽工業大學的魯煜瑩等[5]對磁懸浮直線同步電機進行研究，建立了系統數學模型，并通過仿真分析，證明了磁懸浮系統具有較好的抗干擾能力。

本文提出了一種緊湊型五自由度磁力驅動平臺，采用6組差動電磁鐵實現五自由度的運動。對五自由度磁力驅動平臺進行了數學建模，通過PID控制對平臺系統進行仿真分析，證明了平臺能夠實現穩定懸浮。

1 磁力驅動平臺的結構設計及工作原理

五自由度磁力驅動平臺的結構如圖1所示，該平臺主要由上頂蓋、下底蓋、連接環、電磁鐵、浮動平臺等組成。

五自由度磁力驅動平臺整體采用主動磁懸浮軸承的結構，使結構更加緊湊；電磁鐵采用差動的工作方式進行驅動，以提高系統響應速度及控制精度。平臺整體主要由上頂蓋、下底蓋及中間起連接作用的連接環組成。其中在上、下蓋上均勻分布著4組差動電磁鐵(軸向電磁鐵)，可以使浮動平臺實現Z軸方向的運動和繞X、Y軸的翻轉運動。其中，Z軸方向的運動由4組電磁鐵共同驅動，繞X軸翻轉運動由Y軸方向的2組電磁鐵驅動，繞Y軸翻轉運動由X軸方向的2組電磁鐵驅動；中間部分的連接環上同樣均勻分布著2組差動電磁鐵(徑向電磁鐵)，與X軸和Y軸呈45°角的關系，2組電磁鐵共同驅動可以實現浮動平臺X、Y軸方向的運動。浮動平臺的位置檢測共由5個位移傳感器來完成，其中上頂蓋上安裝的3個位移傳感器用來檢測Z軸方向的運動和繞X、Y軸的翻轉運動；連接環處安裝的2個位移傳感器用來檢測X、Y軸方向的運動。

1-上頂蓋；2-磁鐵連接塊；3-徑向電磁鐵；4-軸向電磁鐵；5-浮動平臺；6-位移傳感器；7-連接環；8-下底蓋

2 系統動力學模型建立

系統受力分析如圖2所示，其中Fz1～Fz4表示平臺受到的4組差動電磁鐵的電磁力。根據系統的結構，設定平衡位置時的坐標系為絕對坐標系，此時浮動平臺的質心為O點；當平臺受到電磁力作用產生運動時，設運動時的坐標系為相對坐標系，此時平臺質心為O′點。設定傳感器氣隙變小的方向為正。

圖2 系統受力分析

設O點的廣義坐標為：

O=[xyzαβ]T.

(1)

其中：x、y和z表示平臺平動上的自由度；α和β分別表示平臺繞X軸和Y軸運動的自由度。平臺在運動時所處的坐標系O′相對于6組電磁鐵的坐標可以表示為：

O′=[z1z2z3z4x1x2y1y2]T.

(2)

其中：z1、z2、z3和z4表示垂直方向電磁鐵的自由度；x1、x2、y1和y2表示水平方向電磁鐵的自由度。兩坐標系的轉換關系為：

(3)

其中：a為電磁鐵到平臺質心的距離。

根據差動電磁鐵原理可知，當平臺在平衡位置時，則有：

(4)

其中：F為平臺受到的合力；F1為平臺受到的上電磁鐵的力；F2為平臺受到的下電磁鐵的力；μ0為真空磁導率；N為線圈匝數；A為電磁鐵有效磁面積；I0為偏置電流；i為控制電流；s為懸浮氣隙；m為懸浮平臺的質量；g為重力加速度。

當平臺在平衡位置受到擾動而產生位移e，此時兩對電磁鐵產生的合力為：

(5)

其中：i0為平臺平衡時的控制電流。

將式(5)在平衡位置進行線性化，即當i=0，e=0時線性化得：

F=Ki·i+Ks·e.

(6)

系統的總動能分為平動動能T1和轉動動能T2，分別為：

(7)

其中：Jα為平臺繞X軸旋轉的轉動慣量；Jβ為平臺繞Y軸旋轉的轉動慣量。利用拉格朗日方程得到系統的動力學模型為：

.(8)

其中：i1～i6分別為6組差動電磁鐵的控制電流。

根據動力學方程建立系統狀態空間矩陣：

(9)

其中：v為系統的狀態；u為系統輸入，即控制電流；w為系統的輸出。

設

.(10)

求得出：

3 控制系統搭建

圖3為系統控制原理圖。其中，xd、yd、zd、αd和βd為系統的期望值，與受控平臺反饋回的值進行比較，將誤差值輸入控制器中得到控制律，對平臺進行控制。

圖3 系統控制原理圖

由式(10)可知系統是一個6輸入5輸出的過驅動系統，為了方便控制器的搭建，所以需要對此進行改變，即：

(11)

其中：Ux、Uy、Uz、Uα和Uβ為系統設置的虛擬控制量。這樣就使系統變為5輸入5輸出的系統，但是系統實際需要的是6個控制量，所以控制器輸出的虛擬控制量需經過電流分配環節得到系統實際需要的控制量。電流分配環節實際是對虛擬的控制量進行權重分配，如式(12)：

(12)

綜上所述，控制器輸出的控制量經過再分配得到6組差動電磁鐵的控制電流之后輸入到受控模型中，實現平臺5個自由度的運動控制。

4 仿真分析

利用Simulink對系統進行仿真，分析其在各個自由度上的控制效果。在0.5 s時給X、Y和Z向運動值為0.1 mm的階躍信號，給繞X軸和Y軸翻轉運動值為0.005 rad的階躍信號，并確定各個自由度的控制參數分別為：X軸方向運動控制參數：kp=8 500，ki=50 000，kd=100；Y軸方向運動控制參數：kp=8 500，ki=50 000，kd=100；Z軸方向運動控制參數：kp=18 000，ki=80 000，kd=100；繞X軸翻轉運動控制參數：kp=600，ki=15 000，kd=3；繞Y軸翻轉運動控制參數：kp=600，ki=15 000，kd=3。

系統各自由度的位移響應如圖4所示。對于平動運動，以X軸方向運動為例，當系統在0.5 s接收到指令開始運動時控制電流先迅速增大并達到瞬時最大值；此時懸浮平臺位移達到最大值；隨著系統的調整，控制電流減小，最終達到穩定值，此時懸浮平臺也由位移最大值調整到目標期望值，達到穩定懸浮狀態。并且由圖4(a)、(b)和(c)可以分析得到系統響應迅速，穩態誤差為0，其中沿X軸方向運動系統的超調量為80%，響應時間為0.3 s；沿Y軸方向運動系統的超調量為80%，響應時間為0.3 s；沿Z軸方向運動系統的超調量為75%，響應時間為0.45 s。對于轉動運動的2個自由度，以繞X軸翻轉為例，當系統在0.5 s接收到指令開始運動時，控制電流的變化趨勢為先增大再減小最終達到穩定值。并且由圖4(e)、(d)分析得到系統響應迅速且穩態誤差為0，其中繞X軸翻轉系統的超調量為70%，響應時間為0.1 s；繞Y軸翻轉系統的超調量為70%，響應時間為0.1 s。對于各個自由度位移響應超調量大的原因通過分析有兩點：首先系統本身為無阻尼系統，在上升期間會存在超調；其次在控制參數的調節上滿足了響應速度及控制精度，但這樣會導致超調量的升高。綜上所述系統在PID控制下能夠迅速響應并實現穩定懸浮。

圖4 磁力驅動平臺階躍信號PID控制位移輸出

5 小結

對驅動平臺的結構及工作原理進行了介紹，建立了系統動力學模型，采用控制量權重分配的方法解決過驅動問題，并且通過分散控制的方法降低了這種多自由度運動控制的復雜程度，同時也保證了系統各個自由度都能達到控制要求。對系統進行了仿真分析，仿真結果表明:在階躍信號輸入下系統能夠迅速響應，實現穩定的懸浮，但存在較高的超調量。對于未來的工作則是在保證響應速度及控制精度的同時通過對控制參數的進一步調整來降低系統的超調量。