雷朝銓,劉楚蕾 ,許麗莉
(1.寧德師范學院 福建寧德 352100;2.廈門大學 福建廈門 361005)
自然界中,物種同類相食是一種很常見的現象,這可能是由于缺乏食物等原因引起的。已經有很多學者提出各種具有自食的生態種群模型[1-6],并對模型展開研究,但大部分工作都是假設自食是線性的。2016年ALADEEN等學者[7]才提出具有非線性自食的Leslie-Gower捕食—食餌模型,并研究了模型的動力學行為。受文獻[6]啟發,筆者提出如下具有非線性自食的Lotka-Volterra競爭模型:
(1)
令(x(t),y(t))表示系統滿足初值條件x(0)>0,y(0)>0的解,且只考慮系統在Ω0={(x,y)∈R2|
x≥0,y≥0}上的動力學行為。易證系統(1)的解是正且有界的。
系統(1)的平衡點滿足以下方程組:
(2)
(3)
將式(3)化為
αx2-(r+c1-c-αd)x-d(r+c1)=0。
(4)
得到式(4)的判別式
Δ1=(r+c1-c-αd)2+4αd(r+c1)>0。
(5)
系統的正平衡點滿足方程組:
(6)
Ax2+Bx+C=0。
(7)
其中,A=mn-αβ,B=d(mn-αβ)+β(r+c1-c)-mb,C=d[β(r+c1)-mb]。
而式(7)的判別式為
Δ=[β(r+c1-c)+d(mn-αβ)-mb]2-
4d(mn-αβ)[β(r+c1)-mb]
=[β(r+c1-c)-d(mn-αβ)-mb]2-4cdβ(mn-αβ)。
(8)
(9)
根據A的正負,分以下幾種情形對正平衡點展開討論。
因此,當
定義函數f(x)=Ax2+Bx+C,則有
(10)
因此,當
因此,當
因此,當
因此,當(H7),(H8),
(H10)
Δ=0,
因此,當(H4),(H7),(H8),(H11),(H12),
(H13)
Δ>0,
因此,當(H7),(H8),(H11),(H13),
因此,當(H8),(H9),
2017年河北省非油氣持證礦山企業綜合利用產值17.86億元,較上年增加10.4億元;實現礦產品年銷售收入506.25億元,較上年增加107.33億元;實現利潤總額69.28億元,較上年增加40.87億元。
綜上所述,得到如下結論。
(2)若滿足以下條件之一:
(7)若系統均不滿足(1)-(6)的條件,則系統不存在正平衡點。
系統(1)的Jacobi行列式為
(11)
定理2 在系統(1)中,E0(0,0)始終是一個不穩定結點。
證明系統在平衡點E0(0,0)處的Jacobi行列式為
J(E0)的特征值為λ1=r+c1>0,λ2=b>0,因此E0(0,0)始終為不穩定結點。
證畢。
定理3 在系統(1)中,
證明由于x1滿足(3)式,因此系統在平衡點E1(x1,0)處的Jacobi行列式為
定義函數g(x)=αx2-(r+c1-c-αd)x-d(r+c1),可知x1是g(x)唯一的正零點。
證畢。
定理4 在系統(1)中,
證畢。
定理5 在系統(1)中,
證明:為便于討論,將系統的正平衡點統一記為E*(x*,y*)。由于正平衡點滿足式(6),因此系統在正平衡點E*(x*,y*)處的Jacobi行列式可化簡為
(12)
則
由Routh-Hurwitz判據可得,正平衡點E*(x*,y*)是局部漸近穩定的充要條件為DetJ(E*)>0,即
cdβ-(x*+d)2(mn-αβ)>0。
(13)
(-B+2dA)(x*+d)-2cdβ<0,
(14)
當Δ>0時,有
眾所周知,經典的Lotka-Voterra競爭模型至多有4個平衡點,其中正平衡點最多1個,本研究表明,考慮自食之后,系統的正平衡點具有多種情形,適當條件下可以有0、1或者2個,特別有2個正平衡的情形下,有一個是局部漸近穩定的,一個是不穩定的,也就是說,在這一情形下,正平衡點不可能是全局穩定的,這是與Lotka-Volterra競爭模型完全不一樣的動力學行為。
本研究只探討了該系統的平衡點的存在性和局部穩定性,在后續工作中將對系統的全局動力學行為展開研究。