反例在數學教學中的作用研究

摘要：數學是一門嚴謹的學科，它擁有奇特的邏輯思維方式和推理體系。在數學發展的歷史中，存在一個概念，它的特點是非常直觀，明顯，也具有強的說服力，這個概念就是反例。因此，反例在數學教學中具有舉足輕重的地位。在學習過程中，我們要明白反例的概念，同時也要學會如何構造一個完美的反例，并把握反例在數學教學中的作用。它不僅能幫助我們發現人類歷史上的規律，而且還可以預測未來，激發人們的思考。

關鍵詞：反例 構造 作用 思維定勢 功能固著

引言

在數學上，要說明一個命題是正確的，需要經過嚴格的論證，但是要說明一個命題是錯誤的，舉出一個反例就夠了。在數學發展的過程中，很多著名的數學猜想和數學命題都是被反例否定的。經常有這樣的故事，一位數學家用了很長的時間來證明一個重要的猜想，卻沒有得出結論，而有另外一位科學家用了一個反例來說明這個猜想，卻解決了這個問題。相對于具體的數學命題來說，數學中的反例是其實就是為了說明某個數學命題不成立而舉出來的例子，它的作用就是可以有效且快速地對假命題進行否定。早在1970年就有心理學家表明：“反例攜帶了最適于辨別的關鍵信息”。美國教育心理學家布魯納也認為：“反例能預防做出‘倉促的判斷’”。因此，反例在我們學習數學和研究數學的過程中起著不可估量的作用。

一、反例的概念

1.邏輯學中反例的概念

在邏輯學中，反例是相對于某個全稱命題的概念。要說明一個命題是假命題，通?？梢耘e出一個例子，使它滿足命題的所有條件，但是卻得出的與命題的結論不一樣的結果，這樣的例子就是命題的反例。

2.教育心理學中反例的概念

在教育心理學中，反例屬于否定例證的一種類型。具體來說，定義和概念的正例傳遞了最有利于分析的信息，而反例則傳遞了最有利于判別的信息。不含有某一概念的所有本質屬性或只含有該概念的部分本質屬性的例證，就是這個概念的否定例證。而根據該概念具有概念本質屬性的程度，否定例證可以分為兩類：第一類是普通否定例證，這類例證中不具有概念本質屬性中較多的或者較明顯的特性，因而比較容易區分，例如我們很容易在一堆圖形中找出不是四邊形的那一個圖形，就是三角形，因為三角形不具有四邊形概念中四條封閉線段這一明顯的本質屬性，所以被快速的找到。另一類否定例證則是具有較多、較明顯的本質屬性，只是不具有少數的、潛在的本質屬性的例證，這樣的例證被稱為反例。

3.數學中反例的概念

在數學中，符合命題的條件，但不符合命題結論的例子，就叫做反例。簡單來說，反例就是一種指出某命題不成立的具體例子。[1]在數學中，一般來說，命題的形式為：具有性質，我們要說明這個命題為真，則必須使中任意一個元素都具有性質，而要說明這個命題為假，則只需找到一個元素，但元素不具有性質即可，也就是構造了一個反例予以反駁。例如，對于命題“若兩個數都是質數，那么它們的和也是質數”的判斷，我們可以構造一個反例：3和5是質數，但是3+5的和8不是質數，進而對該命題進行了否定。雖然，從某種意義上來說，指出某命題不成立的任何例子都可以稱為反例。但是，數學中所說的反例，是建立在獨特的數學思維和嚴密的數學推理的基礎上的，而且是具有一定代表性的反例。其中，指出一個數學命題為假命題的反例可能有許多個，而我們只需要舉出其中一個即可。

二、反例的構造方法

反例的構造是根據具體數學問題展開的，對于不同的數學問題可以構造出不同的反例，對于同一個數學問題用不同的方法也可以構造出不同的反例，所以數學中反例的構造方法是多種多樣的，但是在解決實際問題的時候我們只需要采取其中最佳的一個反例就夠了。

在應用過程中，我們可以運用類比、組合、靈感、聯想等創造性思維的形式來舉出反例，但是反例的構造是有一定難度的，因為它需要學生有強大的數學基本知識作為基礎。所以只有在平時的教學過程中不斷的學習和積累，才能構造出具有很好效果的反例。

1.二分法

所謂“二分法”就是把滿足題設的情形分為兩種，使其中一種具備某類屬性，而另一種不具備這類屬性，如果在第一種情況下命題成立，則考慮第二種情況，必要時，可以繼續采用“二分法”把第二種情況再進行分類考查，直到找到反例為止（當然有時也不一定能找到）[2]。

例1：判斷下面命題的真假：

2.特例構造法

對于一些比較復雜的數學命題，直接證明它會很繁瑣，這個時候可以考慮選取典型反例和特殊情況來構造所需要的反例，從而對命題進行有效的否定。

例2：判斷下面命題是否正確：

3.圖形構造法

思考題目的幾何意義，采用圖形的方法來構造反例。

例3：判斷下列命題的真假：

分析：假設函數，的最小正周期，如果該假設成立，則函數的最小正周期也是。故構造函數，使其最小正周期縮小一半（如下圖1）。為使與滿足條件，可取的前半周期與的周期相等，后半周期為;而的前半周期為，后半周期與的周期相等，從而構造出反例。這樣根據圖像可直觀的判定原命題為假命題。

4.題設數量關系討論法

對于一些真假難分的數學命題，在它的題目中往往會隱含一些數量關系，當這些數量關系和題干的某些條件相符的時候，命題成立，而和另外一些條件相符的時候，命題卻不成立。所以，多關注題目中的數量關系就能夠比較容易的構造出反例。

例4：證明下面命題的真假：

三、反例在教學中的作用

1.培養學生理解概念的有力工具

在概念教學中，數學概念在數學教學與學習中占有重要的地位，教師應該重視學生對概念的理解，尤其在學習概念的強化階段，要加深學生對概念的掌握，就必須在概念學習的過程中適當的應用反例來進行教學，在辨別分析的基礎上，才能對概念的本質屬性和非本質屬性有明確的理解，在排除大量無關條件的干擾后，使學生重新認識和形成概念。若是沒有反例，很多無關條件就得不到排除。

例如：集合的定義是一些元素組成的總體，要理解這個概念就要把握集合中元素的特征，即確定性、互異性、無序性，這樣才能判斷一些元素能否組成集合。

比如不是集合，因為它不符合集合中元素的互異性，出現了兩個相同的元素;再比如也不是集合，因為它不符合集合中元素的確定性，是一個不確定的元素;又比如和是相同的集合，因為雖然集合和集合中元素排列順序不同，但是元素相同，符合集合中元素的無序性，所以是相同的集合。

通過列舉這樣的反例可以幫助學生很好的掌握集合的概念，也能檢驗自己寫出的集合是否正確。

2.培養學生的思維品質

不難發現，我們現在所使用的數學教科書和相關的參考書往往是以正面的陳述和嚴密的邏輯證明為主，例題也是從正面來進行解釋并驗證定理，或說明如何使用定理來解題的，所以老師在教學的時候，習慣于從左到右的正向證明，并且往往偏重演繹論證的練習，但是這反而抑制了從右到左的逆向思維，導致學生在解決問題時總是想方設法的尋找正面的論證方法，以至于對一個錯題在做了好久也做不出來的時候，也不會去思考是不是這個題目是錯誤的，或者舉出反例來否定命題。久而久之學生在學習時就很容易形成思維定勢和功能固著，不會主動去發現問題，提出問題，解決問題，而數學教學不僅要傳授基本知識、基本技能、基本情感、基本方法，還要培養學生的各種思維能力，如側向思維、多向思維、反向思維等。

因此老師在教學過程中需要引導學生積極的去質疑、去猜想、去發現問題、去解決問題，而尋找與構造反例的過程則恰恰是一項充滿創造性的思維活動。要構造反例首先要對所涉及的公式、概念、法則、定理等有比較深刻的認識，抓住其本質特征，并進行積極的思維活動，這樣才能構造出正確有效的反例。運用反例，不僅可以幫助學生改正學習中的錯誤，消除思想誤區，克服學生的思維定勢，抑制負遷移;還可以讓學生在構造反例的過程中去體會數學思維方式的妙處。一個“巧妙”的反例可以推翻一個看似很“牢固”的理論，有人誤以為構造反例是所謂的“投機取巧”，事實上，反例的構造雖然并不像演繹證明那樣有明確的、嚴密的、有章可循的邏輯方法，但是它是一種高級的、復雜的、多維的思維活動過程。

例如：在求函數定義域的問題中也可以運用反例。

舉出這樣的反例，可以加深學生對定義域求法的理解，克服學生的思維定勢，培養學生知識遷移的能力。

3.加強學生對已有知識的鞏固

在數學課堂教學的過程中，經常會有這樣的現象發生：當教師在講解完新知識后，通過例題對知識點進行鞏固時，就會有部分學生不聽課了，原因是學生覺得自己已經明白了，學會了，理解了，沒有必要再繼續聽講了，于是開始埋頭做自己的事。此時，教師就要學會利用反例來對新知識進行鞏固，對那些覺得自己會了就不聽課的同學進行提問，通過逐步加深問題的難度，讓這些同學意識到自己還有不明白的知識，還有沒有掌握的地方，還得要認真聽課。

例如：在學習直線公理“經過兩點有且只有一條直線”和線段公理“兩點的所有連線中，線段最短”的時候，學生可能會感覺很簡單，覺得自己學會了，這時就要舉一些反例讓學生鞏固已經學過的知識，而舉一些學過的命題的反例則可以更好的鞏固知識。比如直線公理的反例“經過兩點有且只有一條線段”，線段公理的反例“兩點所有連線中，射線最短”。它們都是錯誤的公理，因為線段，射線和直線三者是不同的概念，不能混為一談，互換位置。

這樣的一些反例，可以讓學生鞏固新知識，也讓他們明白其實他們還沒有真正的領會這些知識點，還需要好好的理解學習。

4.幫助學生理解與運用性質、定理和公式

由于書上的定理和公式，記錄的都是前人探索的結論，但卻沒有他們探索的詳細過程，所以在教學中，教師應該根據學生的理解情況適當的舉些反例，這樣才能幫助學生牢固地掌握性質、定理和公式。

例如：指數函數（且）的性質是過定點，即時，。所有的指數函數的圖像只過同一個定點。假設指數函數和，它們的圖像不過點，令，，，得出這兩個函數圖像都過點，則假設不成立，即所有的指數函數的圖像都過點。

運用這些反例，學生可以很好的理解并掌握指數函數的性質，為之后學習其他知識奠定一個良好的基礎。

結束語

在數學的發展史上，一些反例的出現，標志著數學理論上一種根本性的改革和突破，推動數學向前進步和發展，所以說有時候，一個新的數學概念的形成，反例也起了至關重要的作用。例如，畢達哥拉斯學派的學者認為世界上任何的數都可以用有理數來表示，在長達幾個世紀的時間里，這個結論都影響著人們對于數的認識，直到公元前五世紀海帕修斯發現了單位正方形對角線的不可公度性（即的無理性），才徹底的推翻了畢達哥拉斯學派關于有理數的理論，雖然誘發了“第一次數學危機”，但是數的范圍卻被擴充了，無理數這個新的數學概念也形成了。從某種意義上來說，反例推動了我們數學的發展，正因為有了反例，才有了數學的今天。

反例不僅是我們對假命題進行否定的有效手段，它也可以發現數學原有理論的局限性，甚至錯誤，尤其在數學發展的轉折時期，一個完美的反例可能會直接促進數學理論的發展和變革，可以說，反例是數學這座宏偉殿堂中必不可少的一部分。

參考文獻

[1]蔡美虹.淺談數學中的反例[J].廣西師院學報（自然科學版），1997（03）：78-83.

[2]王長春.反例的作用及幾種構造方法[J].中國教育技術裝備，2012（01）：149-150+152.

[3]溫行權.例談反例在初中數學教學中的妙用[J].中小學數學（初中版），2011（11）：10-12.

作者簡介：鄭凱琪，女，1996年07月30日，漢，山西大同，上海師范大學