壓縮感知等效源法近場聲全息關鍵參數選取

魏晟弘，伍松，鄭賢

摘? 要：等效源距離是決定等效源法近場聲全息精度的關鍵參數，傳統等效源法中等效源距離根據傳遞矩陣奇異值分布進行選取，但隨著壓縮感知的引入，該方法不再適用.通過對壓縮感知性質與奇異值分布聯合研究，提出一種基于傳遞矩陣最大列相關系數的壓縮感知等效源法的近場聲全息等效源位置選取方式.研究結果表明，壓縮感知等效源法的等效源距離選取與稀疏基選取有關，傳統等效源選取范圍距離重建面0.030～0.100 m，而帶有稀疏基的等效源選取范圍距離重建面0.010～0.060 m，在使用適當稀疏基的情況下，壓縮感知方法的等效源布置距離較傳統等效源法更為靠近重建面.

關鍵詞：近場聲全息;壓縮感知;奇異值分解;等效源法;聲模態

中圖分類號：TN919.81? ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.04.008

0? ? 引言

近場聲全息（near field acoustic holography， NAH）是一種有效的聲場識別和聲場可視化工具，其近場測量的特性能夠有效地捕捉倏逝波，因此，相對傳統遠場測量具有更高的聲場分辨率[1].目前，NAH的主要實現方法有基于空間傅里葉變換法[2]、邊界元法[3]以及等效源法[4-5]（equivalent source method， ESM）等.ESM因其計算簡便，已在多個領域得到廣泛應用[6-7].ESM求解通常是一個不適定問題，對此傳統方法使用L2正則化對求解過程進行穩定，但受到Nyquist采樣定律的限制.隨著頻率升高，該方法所需測點數量增多，精度降低.

壓縮感知理論（compressed sensing， CS）自提出以來在多個領域得到廣泛應用[8-9].為減少測點數量，擴大測量頻域，Chardon等[10]首先將壓縮感知引入NAH中，構建了稀疏框架并提出使用隨機布置全息測點的方式進行測量.Fernandezg-Grande等[11]進一步對壓縮等效源法（compressive equivalent source methods，CESM）進行了研究，提出了較低列相干性在CESM中的重要性，并指出CESM在處理空間連續型聲源時存在稀疏性不足的問題.Hu等[12]提出了一種對重建傳遞矩陣進行奇異值分解，從而得到一組正交聲模態作為稀疏基的方法（transfer matrix method，TMM），該方法對空間連續型聲源有較高的重建精度，后續有學者也對其進行了進一步驗證[13].

在ESM中等效源面與重建面、全息面之間的距離一直都是決定重建精度的重要因素，有多位學者對其進行了研究.陳心昭等[14]通過歸一化傳遞矩陣奇異值對比方法確定了等效源位置應該分布在2個傳遞矩陣奇異值相對較小的區域，并且提出2個傳遞矩陣的奇異值大小對誤差的放大作用是相反的.趙玉貴[15]通過模擬實驗得出了等效源位置與頻率之間的關系.以上研究都是針對傳統等效源法進行，CS的引入勢必造成傳遞矩陣性質以及計算方法發生變化，從而影響等效源距離的確定.為確定CS與TMM對ESM中等效源位置選取的影響，本文從傳遞矩陣相關性、奇異值分解與聲模態的關系出發，對等效源距離的選取進行了研究，通過對比ESM、CESM以及TMM在等效源布置距離上的區別，提出了一種適用于TMM的新等效源距離選取方式，并通過模擬實驗說明了該方法的有效性.

1? ? 等效源法基本原理

ESM的基本思想是振動體產生的聲場可以由置于該振動體內部的一系列等效源產生的聲場疊加來替代，而等效源強可以通過匹配全息面測得聲壓反求得到.ESM原理如圖1所示.

ESM：假設在等效源面上設有[N]個虛擬等效源點，在全息面上布置[M]個全息測點，則全息測點測得的聲壓值可以通過式（1）與等效源值聯系起來：

[p（m）=n=1Ng（αm|αn）qn]? ? ? ? ? ? ? ?（1）

[g（αm|αn）=exp（-jk||αmn||）4π||αmn||]? ? ? ? ? ?（2）

式中：[g（αm|αn）]表示自由場格林函數，其形式如式（2）所示，其中[k=ω/c]，表示波數，[ω]為角頻率，[c]為聲速，[j=-1];[||αmn||]表示第[m]個全息測點與第[n]個等效源點之間的距離.將式（1）分別應用于全息點與等效源點并寫成矩陣形式：

[p=Gq]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

其中：[pM×1]為全息測點聲壓向量，[qN×1]為等效源強向量，[GM×N]為傳遞矩陣.測得的[m]個全息點聲壓經過式（3）即可反求得到等效源強向量.

通常情況下全息測點數量小于等效源點數量，即[M

[Minimizeq? ||p?Gq||22+λ||q||22]? ? ? ? ? ? ? （4）

[pr=Grq]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

當等效源分布稀疏或者近似稀疏時，可以將CS引入ESM.對于CESM，可以使用如式（6）所示的1-范數代替式（4）所示的2-范數對問題進行求解.

式（7）等價于如式（6）所示的1-范數最小化問題，其中[Vr]表示稀疏基，CESM中[Vr]為一單位矩陣，在TMM方法中[Vr]是重建傳遞矩陣[Gr]奇異值分解后的右側酉矩陣，如式（8）所示.[θ]是一個與本底噪聲有關的常數，本文根據文獻[16]確定常數[θ]后，采用CVX工具箱對其進行求解，之后通過式（9）求得重建聲壓.

[Minimizeq? ||p-GVrq||22+λ||q||1]? ? ? ? ? ?（6）

[Minimizeq? ||q||1? ?subject to? ||p-GVrq||22≤θ]? （7）

[Gr=UrΣrVrT]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

[pr=Gr*Vr*q]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

由上述可知，ESM的求解主要由2個變換組成，ESM、CESM、TMM等3種方法的區別在于是否有稀疏基，以及使用L1范數求解還是L2范數求解.由式（2）可知，2個變換中傳遞矩陣性質的影響因素是點之間的距離[α]與波數[k]，因此，相關分析將圍繞這2個因素展開.

2? ? 主要影響因素

2.1? ?傳遞矩陣奇異值分布

NAH具有高分辨率的根本原因是近場測量對倏逝波的獲取，然而倏逝波也是影響NAH求解精度的因素之一.為分析高波數成分對重建精度的影響，對式（3）、式（5）進行奇異值分解得：

[p=UΣVTq]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（10）

[pr=UrΣrVrTq]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

其中[U]、[Ur]為[M×N]酉矩陣，其各列向量之間相互正交，[V]和[Vr]也有類似性質.因此，可以將其列向量[vi]或[vri]理解為某一空間的一組標準正交基，而奇異值對角矩陣[Σ]與[Σr]的向量[σi]、[σri]表示該階模態在聲場中所占比例，其中[i=1， 2 …， n].關于奇異值與聲模態之間的關系在文獻[17]中有詳細說明.

根據以上分析可知，等效源的求解過程是3個空間的變換過程，其對應關系由奇異值控制.將? ?式（10）代入式（11）可得：

[pr=UrΣrVrTVΣ-1UTp]? ? ? ? ? ? ? ? ?（12）

其中奇異值[1/σi]與[σri]代表了2個變換中各階模態在傳播過程中所占的比例.由于奇異值的分布隨著階數[i]的增大而逐漸降低，所以在聲場中高階模態占比較小而低階模態占比較大.這說明在輻射過程中高階模態的輻射能力弱，并且隨著等效源與其他點距離的增大而快速衰減，這與倏逝波的含義類似.

在式（12）中，隨著等效源距離增加，[σi]快速衰減會導致[1/σi]的高階模態快速減小，導致測量誤差放大，因此，要保證等效源與全息點距離[αeh]在較小范圍內.但重建變換中的奇異值[σri]與[1/σi]互為倒數，在重建點與等效源距離[αrh]越小時其對等效源誤差的放大作用也越明顯.在傳統等效源布置方法中，為平衡兩奇異值的大小，通常選取兩者都為較小值處作為等效源選取點.然而由于CS的引入使得在滿足CS條件時等效源點的求逆計算具有比之前更高的精度，[σri]的作用減弱，因此，等效源選取距離中[σi]的影響增強，在能夠求得精確等效源解的情況下，應以[σi]的值最小為優先考慮條件.

2.2? ? 傳遞矩陣相關性

傳遞矩陣[G]的列相關性是CS中重建精度的保證，然而在NAH中受到測量等外界因素影響，對傳遞矩陣[G]的相關性進行優化會對其物理意義產生影響，從而影響重建過程的穩定性與精度.在CS中通過約束等距特性（restricted isome try property，RIP）來判斷重構條件，其形式如式（13）所示：

[（1?δK）q22≤Gq22≤（1+δK）q22]? ? ? （13）

其中[δK]是約束等距常數，只要矩陣[G]滿足RIP條件，即存在[δK<1]，使得式（13）成立，就能夠滿足CS的要求，若[q]為K稀疏信號，則稱測量矩陣[G]滿足K階RIP.

RIP條件已被證明是一個必要條件，而矩陣相關性最大值則是一個更為便捷有效的判斷條件[11].傳遞矩陣列相關性最大值的表達式為：

[μ（G）=max Ωij=max1≤i≠j≤N gTigjgi?gj]? ? ? ? （14）

其中[gi（i=1， 2， …， n）]表示傳遞矩陣[G]的列向量.根據文獻[18]所述，列相關系數最大值越小，通過CS進行重建的精度越高.根據式（2），傳遞矩陣列向量相關性與波數[k]以及等效源與全息面之間的距離[reh]有關，因此，改變等效源距離對傳遞矩陣的相關性有影響.同時根據式（6），TMM方法中引入的稀疏基對傳遞矩陣也有影響.

3? ? 仿真分析

為驗證上文所述因素對等效源點、全息點以及重建點布置位置的影響，使用MATLAB軟件對不同布置情況下的聲源重構情況進行模擬.其中求逆過程使用L1正則化進行約束，CVX工具求解.仿真采用如圖2所示的布置方式，其中灰色區域代表聲源，實線代表等效源以及重建面范圍，空心點代表全息測點.仿真采用簡支鋼板作為聲源，其尺寸為[0.500 m×0.500 m]，厚度為[0.003 m]，材料密度為[7 800 kg/m3]，泊松比為0.28，彈性模量為[2×105 MPa]，中心點位于坐標系原點處，在板的中心施加一個1 N的簡諧力激勵作為聲源，平板振動產生的聲場通過瑞利積分計算.全息面、重建面與等效源面的尺寸都為[0.500 m×0.500 m]，劃分的網格間距為[0.025 m]，全息測點通過隨機的方式從全息面上的441個測點中選取，在仿真中加入30 dB的高斯白噪聲模擬干擾噪聲信號.

本文的重建誤差定義為：

[ε=pr?pt2pt2×100%]? ? ? ? ? （15）

其中[pr]、[pt]分別表示重建面上的理論聲壓值和重建聲壓值.

文中所提到的距離都為該面在坐標系中與原點平面的距離.圖3（a）為800 Hz時全息面位于? ? ? 0.060 m，重建面位于0.030 m處不同等效源距離的誤差圖，各點間隔為0.005 m.由圖3（a）可以看出，在低頻情況下，TMM方法與CESM方法的等效源距離選取范圍較寬，從0.020 m到-0.025 m的重建誤差變化較小，CESM方法呈現下降的趨勢.隨著頻率升高至1 800 Hz，全息面位于0.060 m，重建面位于0.040 m處.TMM、CESM、ESM 這3種方法的重建誤差分別如圖3（b）—圖3（d）所示，其中數值由10次模擬取平均值獲得.從圖中可以看出，CESM與ESM方法的重建誤差始終大于30%，其中ESM方法由于L2正則化的固有缺陷，導致曲線波動較大，沒有明顯的最小值點，但兩者整體上依舊呈現出U型變化曲線;TMM方法的重建誤差在0.035 m時較大，之后快速下降并在0.020 m處取最小，之后隨著等效源距離的增加逐漸增大，該曲線雖然也呈U型分布，但其極小值點明顯較CESM與ESM方法提前.

出現以上現象的原因：一是隨著頻率的增加，奇異值中較大數值階數的占比逐漸增多，等效源向量的稀疏性降低;二是受傳遞矩陣相關性的影響，不同方法傳遞矩陣列相關性變化形式不同.將通過一系列實驗驗證CS框架下等效源布置距離的變化.

3.1? ?相關性

圖4顯示了不同頻率、不同等效源距離時，全息面位于0.060 m、重建面位于0.030 m處的傳遞矩陣[G]列向量的相關性.從圖中可以看出，在250 Hz時，隨著等效源距離的增加，矩陣的相關性呈現明顯的增大趨勢，并且由于ESM的測量方法以及等效源布置方式的限制，其相鄰點區域的相關性較強（圖中對角線區域）.同時可以看出，在低頻時，間隔距離較遠的點的相關性衰減幅度較低，在1 800 Hz時，僅有間隔較近的點之間的相關性較強.但是，矩陣最大列相關系數并沒有隨著距離與頻率的變化產生較大的變化，并且由于低頻時等效源稀疏度較好，相關性對重建精度的影響較小.

表1是帶有TMM稀疏基和不帶有稀疏基的傳遞矩陣列相關系數最大值的分布情況，其中左側頻率為800 Hz，右側頻率為1 800 Hz，全息面與重建面距離為0.060 m與0.030 m.帶有稀疏基的傳遞矩陣列相關系數最大值的全部取值點都小于無稀疏基的情況，數值隨著頻率的上升而增大.系數的分布趨勢與圖3所示誤差分布吻合，帶有TMM稀疏基的最大列相關系數在0.015 m處取最小值，之后逐漸上升;而在無稀疏基的情況下，列相關系數最大值基本保持不變.因此，無論CESM還是ESM方法，在無稀疏基情況下的等效源距離選取都與相關性無關，應該使用傳統奇異值判斷方法進行判斷.

在800 Hz時TMM的列相關系數最大值小于? ?1 800 Hz，這是因為列相關系數的大小與稀疏性密切相關.而TMM中使用的稀疏基的稀疏性取決于[σri]中較大值階數占比的多少，該占比隨著頻率的增大快速增加.因此，高頻時稀疏基的稀疏性不佳，造成了列相關系數的增大.

3.2? ?奇異值分布

根據3.1節所述，TMM方法相比CESM方法有更好重建效果的原因是稀疏基的使用增強了傳遞矩陣的稀疏性，該稀疏基性能與重建傳遞矩陣的奇異值[σri]中較大值階數的占比有關.如圖5所示，改變等效源距離對數值較小的奇異值的分布影響較大，對數值較大的奇異值的分布影響較小，說明在同一頻率下等效源位置變化導致的奇異值分布變化對稀疏基性能的影響較小，其主要影響體現在重建誤差與求逆誤差的對比，如圖6所示.

圖6是全息面與重建面距離分別為0.060 m與0.040 m時，歸一化[σrimin]與[1/σimin]的數值對比圖，[σrimin]與[1/σimin]分別表示[σri]與[σi]的最小值.

根據文獻[14]所述，結合圖6分析，在本文所使用的例子中，等效源距離的選擇應該在-0.005 m附近，但是根據圖3（b）所示，TMM在0.020 m處有最低重建誤差，這時的歸一化曲線還未取到最小值，而CESM與ESM方法則符合圖6曲線，在歸一化奇異值最小處取最小值.TMM等效源選取距離能夠更加靠近重建面與全息面的原因是稀疏基的加入使得TMM方法的等效源求解精度相比傳統正則化方法更高，這使得[σr]的誤差對精度的影響降低.隨著等效源距離的增加，[σr]的影響逐漸減小，[σ]的影響增大，但在低頻時TMM方法的稀疏基能夠有效地增加稀疏性，因此，在等效源距離較遠時也能保證重建精度.在高頻時，稀疏基的稀疏性降低，但在等效源距離較小時還能夠保持較好的重建精度;隨著等效源距離增大，[σ]逐漸增大，重建精度逐漸得不到保證.

由以上分析可以得出，相較于傳統ESM方法TMM方法等效源距離的選取應當更為靠近重建面與全息面，以最大列相關系數的變化趨勢為主要判斷依據;而CESM方法的等效源距離選取則與傳統ESM方法一致，以歸一化奇異值取最小值為判斷依據.

3.3? ?點聲源情況

為進一步證明不同方法等效源距離選取的區別，對點聲源進行實驗，結果如圖7所示.圖7（a）是2 800 Hz點聲源重建誤差對比，單個點聲源位于[0，0，0]處，全息面與重建面布置于0.060 m與? ? 0.030 m處.從圖7（a）可以看出，CESM方法的等效源位置與圖7（b）所示的歸一化奇異值最小值最為吻合，而ESM方法受頻率影響嚴重.TMM與簡支板聲源類似，在歸一化奇異值最小值之前取得最佳重建精度.

圖7（c）、圖7（d）為在原平面隨機選取10個點作為點聲源的重建誤差圖，頻率為1 800 Hz.由于TMM稀疏基對于點聲源重建精度較低，因此，其重建誤差曲線分布規律性不強，但依舊能夠看出其取值范圍較CESM方法更為靠近重建面.

4? ? ?結論

由以上分析可知，TMM與CESM方法等效源距離選擇的主要區別在于稀疏基[Vr]的應用，CESM與ESM方法則沒有太大的區別.稀疏基對等效源距離選取的影響可以通過傳遞矩陣最大列相關系數的分布進行觀測，在列相關系數較小時，應通過列相關系數的分布進行等效源距離的選取，若無法滿足CS的相關條件，則應該以歸一化奇異值最小區域作為判斷條件.本文的結論如下：

1）在低頻時，3種方法的等效源選取范圍較廣，隨著頻率的升高等效源的選取范圍逐漸減小，誤差隨著等效源距離增大呈U型分布.

2）不帶有稀疏基的CESM方法等效源位置選擇與ESM方法相同，以傳遞矩陣歸一化奇異值大小為標準，在兩歸一化最小奇異值同為最小的范圍內選取.在本文例子中，1 000 Hz以下頻域等效源距離選取應在距離重建面0.030～0.100 m范圍內，頻率越低，可選擇的距離越遠;1 000 Hz以上頻域等效源距離選取應在距離重建面0.030～0.060 m范? 圍內.

3）使用稀疏基的TMM方法等效源位置選取以傳遞矩陣列相關系數最大值曲線為標準.在本文例子中，1 500 Hz以下頻域等效源距離選取應在距離重建面0.010～0.060 m范圍內，1 500 Hz以上頻域等效源距離選取應在距離重建面0.010～0.040 m范? ?圍內.

本文所采用的等效源布置方法都是沿聲源法線后方一定距離布置，但實際情況中通常不能嚴格滿足條件，因此，后續還需對不同等效源布置情況的距離設置進行研究，同時更多類型稀疏基的測試也有待后續實驗.

參考文獻

[1]? ? ?MAYNARD J D，WILLIAMS E G，LEE Y.Nearfield acoustic holography：I.Theory of generalized holography and the development of NAH[J].The Journal of the Acoustical Society of America，1985，78（4）：1395-1413.

[2]? ? ?PASQUAL A M.A patch near-field acoustical holography procedure based on a generalized discrete Fourier series[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2017，90：285-297.

[3]? ? ?BI C X，LIU Y，ZHANG Y B，et al.Sound field reconstruction using inverse boundary element method and sparse regularization[J].The Journal of the Acoustical? ?Society of America，2019，145（5）：3154-3162.

[4]? ? ?KOOPMANN G H，SONG L，FAHNLINE J B.A method for computing acoustic fields based on the principle of wave superposition[J].The Journal of the Acoustical Society of America，1989，86（6）：2433-2438.

[5]? ? ?石梓玉，向宇，陸靜，等.一種提高聲場重構穩定性的射線等效源法[J].廣西科技大學學報，2019，30（3）：1-7，21.

[6]? ? ?BI C X，LIU Y，ZHANG Y B，et al.Extension of sound field separation technique based on the equivalent source method in a sparsity framework[J].Journal of Sound and Vibration，2019，442：125-137.

[7]? ? ?HALD J.Fast wideband acoustical holography[J].The Journal of the Acoustical Society of America，2016，139（4）：1508-1517.

[8]? ? ?伍松，吳小龍，魏晟弘.一種優化的語音信號處理方法[J].廣西科技大學學報，2021，32（2）：78-82.

[9]? ? ?吳小龍，程濤，楊明.單像素相機內部元素對重構矩陣性能的影響[J].廣西科技大學學報，2021，32（1）：71-77.

[10]? ?CHARDON G，DAUDET L，PEILLOT A.Near-field acoustic holography using sparse regularization and compressive sampling principles[J].The Journal of the Acoustical Society of America，2012，132（3）：1521-1534.

[11]? ?FERNANDEZ-GRANDE E，XENAKI A，GERSTOFT P.A sparse equivalent source method for near-field acoustic holography[J].The Journal of the Acoustical Society of America，2017，141（1）：532-542.

[12]? ?HU D Y，LI H B，HU Y，et al.Sound field reconstruction with sparse sampling and the equivalent source? method[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2018，108：317-325.

[13]? ?HALD J.A comparison of compressive equivalent source methods for distributed sources[J].The Journal of the Acoustical Society of America，2020，147（4）：2211-2221.

[14]? ?陳心昭，畢傳興.近場聲全息技術及其應用[M].北京：科學出版社，2013.

[15]? ?趙玉貴. 聯合等效聲源與近場聲全息的聲場重構插值方法研究[D].青島：青島理工大學，2019.

[16]? ?HALD J.A comparison of iterative sparse equivalent source methods for near-field acoustical holography[J].The Journal of the Acoustical Society of America，2018，143（6）：3758-3769.

[17]? ?PHOTIADIS D M.The relationship of singular value? ? decomposition to wave‐vector filtering in sound radiation problems[J].The Journal of the Acoustical Society of America，1990，88（2）：1152-1159.

[18]? ?程濤，朱國賓，劉玉安.基于0-1稀疏循環矩陣的測量矩陣分離研究[J].光學學報，2013，33（2）：165-170.

Research on key parameters selection of near field acoustic holography based on compressed sensing equivalent source method

WEI Shenghong1，2， WU Song*1，2， ZHENG Xian1，2

（1. School of Mechanical and Automotive Engineering， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545006， China; 2. Guangxi Key Laboratory of Automobile Component and Vehicle Technology （Guangxi

University of Science and Technology）， Liuzhou 545006， China）

Abstract： The equivalent source distance is the key parameter to determine the accuracy of near-field acoustic holography. In traditional equivalent source method， the equivalent source distance is selected according to the singular value distribution of transfer matrix， but with the introduction of compressed sensing， this method is no longer applicable. Based on the joint study of the properties of compressed sensing and singular value distribution， a method of selecting the equivalent source position of? ? ? ? ?compressed near-field acoustic holography based on the maximum column correlation coefficient of transfer matrix is proposed. The results show that the selection of the equivalent source distance is? ? ? related to the selection of the sparse basis， the traditional equivalent source selection range is from 0.030 m to 0.100 m at the reconstruction surface， while the selection range of equivalent source with sparse basis is from 0.010 m to 0.060 m at the reconstruction surface， which proves that the equivalent source placement? ?distance of the compressed sensing method is closer to the reconstruction surface than that by the traditional equivalent source method when the appropriate sparse basis is used.

Key words： near-field acoustic holography; compressed sensing; singular value decomposition; equiralent source method; acoustic mode

（責任編輯：黎? ?婭）