由一道2021年高考創新題引發的研究

賀鳳梅　李昌成

摘要：近兩年高考題中連續出現創新壓軸小題，常規解法很難應對，而構造法能快速高效地解決此類問題.根據題設，設計并構造一個與亟待解決問題相關的函數，對其求導，通過單調性或利用運算結果研究對應函數的性質，從而達到解決原問題的目的.

關鍵詞：構造法;函數;等價轉化

中圖分類號：G632文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2021）28-0029-02

高考的主要功能就是為高校選拔優秀生源，為國家遴選人才，因此國家考試中心每年都會命制一些創新題，為甄別最優秀的學生起到把關作用.今年全國乙卷的第12題就是一個典型代表.此類題不曾在過往的高考中出現，在鋪天蓋地的模擬卷中也未曾謀面，完全原創，絕對首創，只有能力水平達到相當高度的學生方可在緊張的考場上成功突圍.下面我們嘗試研究它.

二、總體分析

我們知道，教材中比較大小的題目一般有兩種類型：一類是利用指數、對數、冪函數、三角函數等簡單函數的單調性比較兩個數的大小;另一類是通過橋梁“0”、“1”等比較兩個數的大小.而本題以壓軸題的形式出現，函數關系不明顯，屬于創新試題.初看此題，不知道如何入手，感覺是很接近的具體數，但卻無法找到合適的中間量來判斷他它們的大小.如何突破此題呢？我們企圖通過構造非常見函數來突破此題.

三、試題解答

評注利用導數結合單調性比較大小，常常需要構造新函數，把問題轉化為利用導數研究函數的單調性的問題. 此法根據b與c以及a與c之差的結構特點為突破口，成功構造了恰當的函數，并借助導數完成試題的解答.

評注解法2通過研究對應的數量關系，進行巧妙變形，構造函數，從而達到比較大小的目的.此法構造函數的技巧性更強，這就需要我們在平時的教學及學習過程中不斷思考、探索、歸納和總結，逐步提高解題能力和思維品質.

評注解法3是根據a，b，c的結構特點，構造了三個函數，借助導數的幾何意義成功達到比較大小的目的.此法思維難度較大，需要數形結合，將數值大小賦予圖形特質.

評注泰勒公式是大學數學分析中的內容，對高中學生來說明顯超綱，不過對于程度好的學生，對應班級的數學教師可以適當介紹，不需要學生掌握，以此激發學生的學習興趣和求知欲.

四、追根溯源

參考文獻：

[1]任志鴻.十年高考[M].北京：知識出版社，2017.[2]李榮俊.淺談構造函數的幾種技巧[J].學校教育研究，2020（22）：18.

[責任編輯：李璟]

作者簡介：賀鳳梅（1979-），女，湖北省隨州人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.