“入乎其內”與“出乎其外”
——再談“平面的基本性質”教材研讀與教學策略

尤善培

(江蘇省揚州市邗江區教師發展中心，225000)

王國維在《人間詞話》中有一段文字:“詩人對宇宙人生,須入乎其內,又須出乎其外.入乎其內,故能寫之,出乎其外,故能觀之.入乎其內,故有生氣,出乎其外,故有高致.”意思可以理解為:詩人對宇宙人生,既要進得去,又要出得來.進得去,才有內容可寫;出得來,才能對之有思考和提煉.進得去,寫出來的詩才會有生命力;出得來,才能有超脫高雅的情致.同樣的道理,在數學教學中,解讀教材必須入乎其內,教學設計方可出乎其外.

以“平面的基本性質”的教學安排為例.傳統的立體幾何教材將“平面的基本性質”安排在第一單元的第一課,也就是立體幾何的起始課,而現行的教材則安排在第二單元的第一課.教材安排上的變化,用意何在?為什么這樣安排?首先需要深度解讀教材,深刻領會其內涵,才能有準確的目標定位,進而才有引人入勝的教學設計.

一、研讀教材要“入乎其內”

1.重溫傳統教材

(1)開門見山

傳統教材開宗明義:“常見的桌面、黑板面、平靜的水面以及紙板等,都給我們以平面的形象,幾何里所說的平面就是從這樣的一些物體抽象出來的.但是,幾何里的平面是無限延展的”,這里直觀地描述了平面.

(2)提出性質

接著不兜圈子,進一步指出:“在生產與生活中,人們經過長期的觀察與實踐,總結出了平面的三個基本性質,我們把它們當作公理,作為進一步推理的基礎”.這是從生活情境中抽象出數學概念的例子.

(3)揭示本質

這是立體幾何的第一課,也可叫做立體幾何的起始課.講解起始課,就要把這一學科的內容作一大概的介紹,包括立體幾何研究什么,背景是什么,有什么作用,怎樣研究等等.這樣可以讓學生一開始就對這門學科有一個初步的了解,引起學生的“懸念”,同時初步了解知識的結構,今后研究也有一些底,為以后的學習打下思想基礎.

2.再談《課程標準》

與以往高中數學課程中的立體幾何內容相比,《標準》中的立體幾何內容的變化主要表現在幾何定位、幾何內容處理方式以及幾何內容分層的設計等方面.

(1)立體幾何的目標定位仍然在于培養和發展學生把握圖形的能力、空間想象能力和幾何直覺的能力、邏輯推理能力.

(2)立體幾何的教學內容,在處理方式上與以往“點、線、面、體”即從局部到整體展開不同,而是按照從整體到局部的方式展開教學內容.

(3)立體幾何的教學方式,突出直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等研究空間幾何圖形的過程,涉及的數學思想主要有數形結合思想、符號化與形式化的思想、化歸思想等,涉及的一般科學方法主要有觀察、實驗、歸納、類比、分析、綜合、抽象等.

3.研讀現行教材

(1)第一單元,教材借助多面體模型,從整體觀察入手,運用運動變化的觀點,通過觀察和操作,引導學生認識空間簡單幾何體(柱、錐、臺、球)的結構特征,以此作為發展空間想象能力的基本模型.

(2)第二單元,教材借助長方體模型,并以長方體為主線,通過歸納和分析,使學生在直觀感知的基礎上認識和理解空間的點、線、面之間的位置關系,并以此作為思辯論證的基礎.

(3)第三單元,“柱、錐、臺球的表面積和體積”,教材沒有像以往那樣重在介紹公式的推導過程,而是側重于介紹公式推導的思想方法.

由此可見,在立體幾何的教學中,教師要采用“點、線、面、體”的立體化教學方法.教師要胸有全局,根據教學的目標任務、教學的內容、訓練的項目作出科學的安排,這就是“面”.而每一個小概念就是一個“點”,教師上課要精心設計貫串的線索、問題的構思、能力的培養,都要絲絲入扣,整個教學應該是立體的,應該把思想的啟迪、素養的滲透、情感的熏陶、知識的傳授融為一體,把“知識、方法、情感和態度”熔為一爐.

二、設計教學要“出乎其外”

1.“深入”才能“淺出”

深入鉆研教材,深刻理解教材,準確定位教學目標是“設計”之本.惟有準確領會教材的編寫意圖,才能更深入地開發教學資源,創造性地用活、用好教材.那么如何將自己的理解和感悟準確并且巧妙地融入教學設計之中,從而讓學生理解知識的結構,建構知識的框架,學會學習,真正實現“淺出”呢?其中,非常重要的就是對“過程與方法”和“情感態度”的精準定位,對學生思維水平的把握和學情的有效分析.鑒于此,我結合馬玲老師的課例，提出自己的思考和教學設計策略.

2.“平面的基本性質”的教學設計.

(1)定位:這是一節數學概念的建構課.

(2)目的:建構平面的概念.

(3)過程:

(i)創設情境,發現新知

問題1在上一個單元,我們已經對簡單的幾何體有了整體的、直觀的認識,簡單的幾何體是由空間的點、線、面所構成的.從今天開始,我們將對點、線、面的這些元素關系作進一步的討論.

評析這個問題,扮演了“先行組織者”的角色.學生雖然不知道今天研究的具體內容,也不知道到底應該怎樣研究,但他們根據先前積累的數學活動經驗,已經預感到今天應該研究什么.

問題2你知道什么是平面?在你的心目中,平面給你以什么形象?

評析這個初始問題合情合理,和問題1不同,“一石激起千層浪”,學生可能躍躍欲試地開始著手研究,但可能會感到無從下手,說也說不清楚,“糊里又糊涂”.

(ii)問題導向,探索新知

問題3在空間中,點、直線、平面有哪些位置關系?

評析正當學生研究無法深入的時候,這個問題真是“雪中送炭”,起到導向、引領的作用,幫助學生找到研究“平面”的方向和突破口.

問題4直線與平面有哪些位置關系?

評析在這里,“點與平面”的位置關系是一個十分簡單的問題,“點與直線、直線與直線”的位置關系是一個已經研究過的問題.這時“直線與平面”的位置關系問題將成為學生進一步討論和交流的平臺,當學生著手解決它的時候,建構“平面”的活動就正式開始了.于是,學生開始了操作、觀察、思考等活動,試圖有所發現,有所收獲.

操作活動之前,應有問題引領,學生為解決問題而操作、為思維而操作,教師則為思維而導、為思維而教.

(iii)深度思考,操作發現

① 直線與直線的交點,這是回憶舊知,起類比的作用.

② 直線與平面的位置關系,這是操作活動,這里得出“沒有公共點,只有一個公共點,有兩個公共點”三種情況.

評析這時又迫使學生反思;迫使他們深入思考下去;迫使他們認真思考“直線與平面有兩個公共點”的含義.

進一步研究,就會發現:如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線在此平面內,這就是公理1的內容.

進一步研究公理1,我們發現平面的特征:平面是“無限大”的,平面是“平”的,平面是“沒有厚度”的;直線是“無限長”的,直線是“直”的,直線是“沒有粗細”的;點是“沒有大小”的.

類似地研究公理2和公理3.

(iv)分析歸納,自主定義

原型—抽象—數學化—數學對象.

(4)評析:

(i)問題的提出

數學中的絕大多數概念,總是可以用下定義的方法來約束或界定它的意義的.如“平面內永不相交的兩條直線稱為平行線”.這里,“平面”、“直線”就是定義平行線的基本概念.顯然,定義的實質就是用已知概念來解釋新的概念.這樣,追根尋源,層層上溯,總會有一些概念是無法用其它概念來表述.在這里,“平面”就是這樣一個概念,怎么辦?

(ii)采取的對策

這里,我們就通過認定的一組公理,來揭示原始概念所具有的性質,從而來約定原始概念的意義.這就是公理化方法.方法中暴露過程,過程中凸顯思想,思想中揭示本質.

(iii)平面的概念

平面的基本性質就是這樣一組公理.一方面刻劃了平面的基本性質,另一方面又約定了平面的意義.

(iv)平面的定義

一個元素只要滿足三個公理的條件,我們就稱它為“平面”.體會到平面概念的產生是水到渠成、渾然天成的產物,不僅合情合理,很具有人文情趣.

(v)其它例子

自然數集的定義(數產生于數).

在數集中:

① 存在一個初始數,記為1,是自然數;

② 每一個自然數a,都有一個確定的后繼數a′也是自然數,且a′=a+1;

③ 如果b，c都是a的后繼數,則b=c;

④ 1不是任何自然數的后繼數;

⑤ 對任何自然數的命題,如果證明了它對1是真的,又假定它對自然數n真,那么可以證明它對n′也真的.

這就是著名的皮亞諾公理.

3.“悟道”方能“超越”

這里“悟道”指的是要繼承傳統經驗,理性認知經驗,吸收新課程理念,領會教材意圖,把握學生基礎,選擇合適方法.只有多方面結合起來,才能實現自我超越,才能做到便教利學.

(1)注重過程

立體幾何教學的重點是幫助學生逐步形成空間想象能力,而要達到這一目的,必須讓學生參與這些知識的發生、發展和應用的全過程,與以往教材與教學相比，淡化形式,注重過程,突出新的思想與理念.這樣,學生就感到平面的幾個性質是看得見、摸得著的,而且通過自己的實踐和體驗,確認空間圖形的一些主要的結論,并運用這些思想、方法、結論解決一些問題.

(2)適度抽象

強調本質,注意適度形式化是一個重要的理念.學會適度抽象是本節課教學的一個基本要求,但更重要的是對數學本質的認識,是生動活潑的數學思維活動,要努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質.數學課程要講邏輯推理,更要講道理.通過平面概念建構的例子,通過學生的自主探索活動過程,體會蘊涵在其中的思想方法,這就是本設計出乎其外的地方.