基于經驗分布函數快速收斂的信噪比估計器

王永慶， 趙詩琪， 申宇瑤， 馬志峰

(北京理工大學 信息與電子學院，北京 100081)

信噪比是一種有效的通信質量評價指標.作為先驗信息，它可以作為信道分配、功率控制、指導編解碼和解調算法選擇的重要依據[1]. 經典的信噪比估計算法可分為兩類：數據輔助(data aided，DA)[2]和非數據輔助(non data aided ，NDA)[3]. NDA估計器由于不需要同步、應用場景廣而被廣泛研究，包括基于同相/正交(inphase/quadrature，I/Q)和基于包絡(envelope based，EVB)的估計器. I/Q估計器[4]基于載波同步，估計性能在寬信噪比范圍內接近克拉美羅下限(Cramér-Rao lower bound，CRLB). 然而，相較于 I/Q估計器，EVB信噪比估計器不需要嚴格的恢復載波，信噪比可以作為先驗信息輔助載波同步環路，對于多電平星座信號更加適用. 因此，本文主要研究EVB估計器.

矩量法(method of moment，MoM)是一種常用的EVB估計方法，它利用信號與噪聲之間的不相關性來計算信號和噪聲的功率. M2M4估計器[5]具有簡單的優點，然而，對于非恒模星座，隨著信噪比的增加，其估計性能會顯著下降. 因此，文獻[6]中使用了建立在矩商線性組合基礎上的高階統計量(最高為8階統計量)進行信噪比估計，性能得到了改善，特別是針對2級和3級星座. 然而，它對高信噪比條件下的正交幅度調制(quadrature amplitude modulation，QAM)信號的估計性能急劇下降. 基于經驗分布函數(cumulative distribution functions，CDF)的方法是另一種EVB估計器，使用Kolmogorov-Smirnov(KS)算法[7]，該算法在寬的信噪比范圍內對各種多級星座估計都是有效的. KS估計器的實質是在一系列確定的信噪比下比較接收信號(通常選擇包絡)的EDF與CDF. 與接收信號EDF最近的CDF相對應的信噪比就作為接收信號的估計值. 為了獲得最佳匹配的CDF，需要遍歷整個本地存儲的信噪比區間. 因此，KS估計器的計算量大，在大規模待匹配信噪比區間的實際應用中受到限制. KS-BS估計器[8]通過二分法極大加快了匹配過程，雖然匹配復雜度較低，但在中、高信噪比時估計性能下降. WANG等[9]將匹配維數減少為1，但仍有許多加法運算.

為了在保證估計性能的前提下降低EDF估計器匹配復雜度，本文提出了一種改進的EDF估計器，通過線性多項式的重復迭代來加速匹配過程. 然后分析了該估計器的迭代過程和收斂速度，并通過仿真進行了驗證.

1 EDF信噪比估計器概述

1.1 系統模型

在準靜態頻率衰落信道上的數字通信系統中，位同步后的符號速率采樣點可以表示為

(1)

1.2 基本原理

對于EDF信噪比估計器，首先需要計算接收信號包絡|rm|的經驗分布函數(EDF)

(2)

式中：U(·)為階躍函數，如果輸入為非負，則等于1，否則等于0；{zn}為本地儲存信噪比下信號包絡理論累計分布函數(CDF)的Nref個離散采樣點.

(3)

式中Q1(a,b)為一階Marcum-Q函數.

將接收信號的EDF與本地儲存所有信噪比下的CDF作比較，得到每一信噪比下EDF與CDF的最大距離(Φk)為

(4)

遍歷ρk，選擇具有最小最大距離相對應的信噪比作為接收信號的信噪比估計結果.

2 改進的EDF信噪比估計器

基于經驗分布函數的信噪比估計器需要遍歷本地存儲所有的信噪比來獲得最小最大距離. 在相同的信噪比估計范圍內，估計精度Δρ決定了所需匹配的信噪比數目K. 較高的信噪比估計精度會帶來較多的匹配次數和加法運算，因此，實際應用中需要在估計精度和匹配計算的復雜性兩者中進行折中考慮. 基于這個問題，本文提出了一種改進的EDF估計器，不需要遍歷本地所有存儲的信噪比，采用“以直代曲”的思想，通過線性多項式的重復迭代來加速匹配過程，可以降低EDF估計器的匹配復雜度，并且具有比較高的估計性能.

如果接收信號信噪比的估計值與真值接近，則EDF曲線與CDF曲線就很接近，兩者的最大距離就很小. 相反，如果估計的信噪比偏離真實值，則最大距離會很大. 最大距離曲線(Φ-曲線)隨本地存儲所有信噪比的變化呈“對勾”形狀，如圖1所示.Φ-曲線的零點對應于最小-最大距離. 因此，找到Φ-曲線零點的過程就相當于EDF與本地存儲所有信噪比下CDF曲線的匹配過程，快速找到Φ-曲線的零點就可以代替大量的匹配過程，從而不需要遍歷整個信噪比區間. 整個匹配過程就可以轉換為在參考定義域為本地存儲所有信噪比的情況下，求解式(4)的根.

圖1 16-APSK/QAM的Φ-曲線Fig.1 Φ-curve of 16-APSK/QAM

KS -BS估計器實質是利用二分法求解式(4)的根，二分法操作簡單，且必然是收斂的，是一種可靠的算法. 但在二分法中，每迭代一次，搜索區間縮小1/2，也就是說，解的不定范圍每次只能縮小1/2. 因此二分法是一種是收斂速度非常緩慢的算法，估計精度受限于迭代次數，估計精度越高所需的迭代次數就越多. 本文使用“以直代曲”的思想，用2個迭代點構建一個線性多項式來反復代替Φ-曲線，用2個迭代點的斜率近似代替Φ-曲線的切線斜率，并用線性多項式與橫軸交點的橫坐標作為Φ-曲線的根的近似. 通過連續迭代，用線性多項式的根不斷逼近Φ-曲線的零點，找到近似解，并將其作為估計結果.

2.1 迭代過程

假設k1=1,k2=K是第一次迭代區間的初始值，利用Φk1,Φk2構造線性多項式 ：

(5)

式(5)可以作為Φ-曲線的直線替代，并令其為0，得到其與橫軸交點的橫坐標，如式(6)所示為

(6)

式中k3為式(5)的零點，并將k3作為第一次迭代過程中Φ-曲線零點的近似解. 在第二次迭代中，用函數值Φk3替換max{Φk1,Φk2}，作為下一次迭代的初始值之一. 同時，k3被相應地替換為k1或k2，再次根據式(5)構建線性多項式，求解下一次迭代過程Φ-曲線零點的近似解. 當搜索區間小于1，搜索結束，并將搜索區間端點對應的信噪比的均值作為對接收信號的信噪比估計，否則不斷重復上述步驟.

由于上文提出的迭代過程本質上是一種線性化方法，因此當曲線近似為直線時，就可以保證迭代策略的收斂性. 如果搜索區間兩個迭代端點分別位于Φ-曲線零點兩側，則可以將其中一個迭代點的函數值取反，使零點一側的曲線對稱于x軸，將曲線轉換為近似直線，以保證迭代過程的收斂性，并加速收斂過程. 可以根據以下兩種情況判斷是否需要將其中一個迭代點的函數值取反:①由于有限定義的本地存儲信噪比區間，根據式(6)所求的根k3可能在定義域[1,K]之外，如圖2(a)所示，這種情況就需要將其中一個迭代點的函數值取反，將Φ-曲線零點一側的曲線翻折，將Φ-曲線轉化為近似直線;②函數值Φk3大于迭代區間端點最大函數值max{Φk1,Φk2}，如圖2(c)所示，也需要將其中一個迭代點的函數值取反.

綜合上述分析，本文將式(6)改寫為

(7)

圖2給出了本文改進EDF估計器尋找最佳匹配CDF曲線的整個迭代過程. 如圖2(a)所示，第一次迭代以[1,K]為首次搜索區間，作直線得到Φ-曲線零點的近似替代值k3. 由于k3?[1,K]，根據式(7)將函數值Φk3取反. 重新以經過(k1,-Φk1),(k2,Φk2)的直線代替Φ-曲線，得到近似解k3，Φk1<Φk2，因此k3替代k2作為第二次迭代過程的端點值. 如圖2(b)所示，再次“以直代曲”，得到第二次迭代過程的近似解k3，由于Φk1>Φk2，用k3替代k1，作為第三次迭代過程的端點值. 如圖2(c)所示，

圖2 迭代過程Fig.2 Iterative process

在第三次迭代中，由于Φk3>max{Φk1,Φk2}，根據式(7)將Φk2取反，進而求得k3. 經過三次迭代，k3已經非?？拷鸡?曲線的零點，所對應的信噪比ρk3可以作為接收信號信噪比的最佳估計值.

2.2 收斂速度

收斂速度是指迭代序列逼近局部最優值的速度，是評價迭代算法性能的重要指標. 收斂階p用來衡量序列的收斂速度：

(8)

本文改進的EDF估計器收斂階p≈1.618[10]，具有超線性收斂速度，這意味著本次迭代的信噪比估計誤差與上一次迭代誤差的1.618次方成正比. 當k1迅速逼近接近k2時，兩個迭代端點k1、k2所在直線的斜率將接近其中一個迭代點的導數Φ′(k). 零點k3的計算實質上可如式(9)表示. 在這種情況下，p=2[11]. 也就是說，迭代過程在根附近近似平方收斂.

(9)

3 仿真結果

本節首先通過蒙特卡羅模擬的方法對各信噪比估計器對接收信號的性能進行了仿真驗證，針對每個仿真點，均進行了104次蒙特卡羅仿真[13]. APSK、QAM信號是常用的多電平星座，因此針對16-APSK信號(常用的兩電平星座)和16-QAM信號(常用的三電平星座)進行了仿真. 本地存儲信噪比的CDF是在理論連續CDF曲線上采樣的1 000個離散點，即Nref=1 000.

3.1 估計性能

圖3 不同觀測長度下的歸一化均方誤差Fig.3 Normalized mean square error under different observation lengths

上面的仿真驗證了當觀測符號長度M>700時，矩估計器和EDF估計器的估計性能都趨于穩定，因此選擇觀測符號長度M=700作為對不同信噪比下偏差(Bias)和歸一化均方誤差(NMSE)的仿真參數. 本節仿真將本地存儲的信噪比設置為Ω={0,0.5，1.0，…,24.5，25.0}(dB)，對偏差和歸一化均方誤差進行性能評估. 仿真結果如圖4所示. 此處提供的CRLB來自參考文獻[14].

圖4 估計性能Fig.4 Estimated performance

圖4(a)和4(b)顯示了各信噪比估計器對16-APSK的結果. M2M4在中、高信噪比下存在明顯的偏差，但M8幾乎是無偏估計. 在低、中等信噪比下，由于噪聲較大，且處于整個搜索區間的邊緣，用直線代替Φ-曲線存在較大的偏差，本文改進的信噪比估計器估計偏差和NMSE略高于KS估計器. 在10～18 dB，搜索區間處于整個搜索區間的中部，用直線代替Φ-曲線較精確，本文改進的信噪比估計器估計性能優于原KS算法估計器，但同樣在高信噪比區間邊緣20～25 dB出現性能損失. 然而，在測試的所有信噪比下，本文改進的信噪比估計器優于KS-BS估計器. 圖4(c)和4(d)顯示了各信噪比估計器對16-QAM的結果. M2M4和M8在中、高信噪比下都有較高的偏差和NMSE，估計性能惡化. 本文改進的信噪比估計器性能介于原KS估計器和KS-BS估計器之間，劣于原KS算法估計器，優于KS-BS算法估計器. 本文改進的信噪比估計器和KS-BS估計器的性能損失都是由于搜索造成的. 然而，與KS-BS估計器相比，本文改進的信噪比估計器具有更高的精度.

3.2 收斂速度

表1 基于EDF的信噪比估計器所占資源比較

4 結 論

基于經驗分布函數的信噪比估計器在實際應用中需要在估計精度和匹配計算的復雜性兩者中進行折中考慮.基于此問題，在保證信噪比估計精度的前提下，本文使用“以直代曲”的思想，用線性多項式的根不斷迭代逼近最大距離曲線的零點，找到最佳匹配的CDF曲線.本文改進的EDF估計器避免了遍歷所有的信噪比去找EDF曲線與CDF曲線的最小最大距離，僅需要幾次匹配迭代就可以找到最佳匹配的CDF曲線.仿真結果表明，與矩估計器相比，本文改進的EDF估計器在寬信噪比范圍內對多電平星座信號的信噪比估計都是有效的；與KS算法EDF估計器相比，本文改進的EDF估計器極大減少匹配次數和加法運算的次數，但是估計性能在信噪比區間邊緣有輕微的性能損失；與KS-BS算法EDF估計器相比，本文改進的EDF估計器有更快的收斂速度，進一步減小了EDF和CDF的匹配次數，在中、高信噪比具有更小的估計偏差和歸一化均方誤差.對于需要高估計精度的系統，所提改進的EDF估計器收斂速度快，比KS估計器和KS-BS估計器更具實用性.