考慮駕駛策略的高速列車運行圖節能優化方法*

革 新 張玉召

（蘭州交通大學交通運輸學院 蘭州 730070）

0 引 言

近年來，節能時刻表的研究得到了國內外學者的廣泛關注。在降低牽引能耗的研究中，麻存瑞等[1-2]、柏赟等[3]從多方面研究了列車區間節能駕駛策略，陳志杰等[4]研究了在給定站間運行時分前提下的城市軌道交通追蹤列車節能操縱優化問題，鄧連波等[5]研究了在給定運行時分下基于多速度參數調控的列車運行節能優化策略問題，冉新晨等[6]同時考慮了客流引起的列車質量變化進而影響列車能耗的問題，馬陽陽等[7]通過優化列車運行方式有效的降低了列車運營能耗，樊蔥等[8]提出了列車多階段最優控制模型以最小化列車牽引能耗，鄧連波等[9]用B樣條擬合方法提高了運行時分-最優能耗值的擬合精度和速度；在降低凈牽引能耗方面，鄧連波等[10]、Su等[11]、陸源源等[12]從降低牽引能耗和增加再生制動能利用率2個角度出發，構建了節能時刻表模型，保證時刻表的凈牽引能耗最低；另外，還有將節能問題與其它目標協同優化的研究，如YIN 等[13]、CHEN 等[14]、XIE等[15]、LI 等[16]、張桐等[17]從列車能耗、乘客等待時間、列車運行時間等多目標優化問題出發，協同優化了列車時刻表。

此外，通過區間運行時分的合理分配也可以達到降低牽引能耗的目的，金波等[18]構建了列車運行能耗和區間運行時分分配同步優化的非線性連續節能優化模型，并且使用Cplex求解。盛昭等[19]以區間運行時分和牽引能耗為計算目標建立了駕駛策略優化模型，求解出了能耗-時間的最優解集，采用最小二乘法將二者進行線性化擬合，以此為基礎提出了在滿足列車始發-終到總運行時間的條件下，通過重新調整每個站間的運行時分，最大化地降低了列車的牽引能耗。

金波等[18]、盛昭等[19]均是通過每列車逐個分配的方法分別獲取最優區間運行時分組合，考慮到我國高鐵線路1 d內列車發行對數較多，為了保證求解效率，有必要對多列車區間運行時分展開同步分配的研究。

以上重新分配區間運行時分的節能方法僅適用于高鐵列車，不適用于地鐵列車，其原因主要是地鐵列車操縱策略較為簡單，區間運行時分較短，可分配的空間并不充裕，除此之外，地鐵與高鐵列車運行圖的編制還存在一定的區別：①列車停站方案不盡相同；②高速鐵路往往采用多種速度等級混合運行的組織模式。這些會使得高速鐵路列車運行圖會涉及到越行及多種時間間隔問題，從而使得其編制更為復雜。

綜上所述，本文以高鐵列車為研究對象，構建了牽引能耗最小化的多列車區間運行時分同步分配的節能時刻表模型；使用拉格朗日松弛算法求解以保證求解效率；通過寶蘭高速鐵路對模型及方法的有效性進行驗證。

1 構建E-T方程

1.1 計算理論

高鐵列車在始發站至終點站的運行過程中，以列車的經停站為斷點可劃分為多個駕駛區間，每個駕駛區間內列車的操縱策略包括4 個階段，分別為牽引、巡航、惰行、制動，牽引階段是列車的提速階段，縱向受到的力有牽引力、運行阻力，巡航階段保持恒定的速度運行，所受到的牽引力與運行阻力持平，惰行階段列車僅在外部運行阻力的作用下滑行，速度緩慢降低，制動階段列車在制動力與運行阻力的共同作用下減速，列車區間運行的速度距離曲線見圖1。

圖1 速度-距離曲線Fig.1 Speed-distance curve

將駕駛區間長度劃分為多個極小的等距離區間，列車在小區間內的運行可看做勻加速運動，以此為基礎構造列車運動學方程，可以描述出列車速度距離曲線，見式（1）。

式中：Δs為距離步長，取1 m；γ為回轉系數，取0.06[20]；n和n-1為第n個和第n-1個距離步長；an為第n個距離步長的加速度，m/s2；vn為第n個距離步長的末速度，m/s；tn為第n個距離步長列車的運行時間，s；Fn,合為第n個距離步長下的列車縱向受到的合力，kN。

1.2 構建E-T方程

由圖1可見：當牽引距離與巡航距離確定后，通過正推惰行曲線和反推制動曲線尋找二者的交點，惰行距離和制動距離也可隨之確定。因此，以牽引距離Ltr和巡航距離Lcr為變化因子，以駕駛區間內的牽引能耗Ei,j和總運行時分Ti,j為計算目標，可以構建駕駛策略集，記為

式（2）和式（3）分別為牽引能耗和區間運行時分的計算公式，其中F(v)為牽引力，根據動車組牽引特性曲線確定。

駕駛策略集里最優解定義為：在可行空間Ω 內，若對于任意的駕駛策略l*∈Ω ，不存在l∈Ω ，使得和同時成立，則駕駛策略l*為最優解。將最優解對應的和擬合成光滑曲線，如圖2所示，記為E-T曲線，擬合成的方程式記為E-T 方程，見式（4），如此便可求解出駕駛區間內的牽引能耗與總運行時分的線性關系。

圖2 牽引能耗-區間運行時分曲線擬合Fig.2 Curve fitting of traction energy-interval running time

2 模型構建

2.1 問題描述

由1.2節中可知，最優駕駛策略l*所對應的牽引能耗E(l*)與區間運行時分T(l*)的關系可以擬合成光滑的曲線。由于高速列車在多區間運行時各區間坡度、曲線半徑、隧道長度等線路條件不同，故不同區間的E-T 曲線也不同，以圖3 為例，運行區間a與運行區間b分別表示1列高速列車在不同運行區間的E-T 曲線，對其同時減小等量的運行時分Δt時，牽引能耗的增加量不同，明顯ΔEa＞ΔEb。因此，列車在滿足全程多區間總運行時分的條件下，各區間運行時分存在最優組合，可以使列車的牽引能耗最低。

圖3 不同區間E-T 曲線Fig.3 E-T curves of different interval

基于此，以區間運行時分、首站發車間隔、經停站停站時間為決策變量，在滿足多列車全程多區間總運行時分約束、決策變量取值約束以及運行圖安全約束的條件下，重新尋找每列車區間運行時分以及駕駛策略的最優組合，最大化降低時刻表的牽引能耗。本文的研究基于以下2條假設。

1）構造列車運動學方程時，將列車看做單一質點。

2）忽略牽引能耗-區間運行時分的離散點線性化擬合時的誤差影響。

2.2 參變量界定

定義集合及索引：K，k分別為列車集合及索引；S，s分別表示車站集合及索引；Uk，uk分別為列車k的發車站集合及索引；Vk，vk分別為列車k的到達站集合及索引；Pk，pk分別為列車k的通過站集合及索引；Nk，(uk,vk)分別為列車k的運行區間集合與索引。

定義參數：Euk,vk為列車k在運行區間(uk,vk)上消耗的牽引能耗，kW·h；Auk,vk，Buk,vk，Cuk,vk為列車k在運行區間(uk,vk)上牽引能耗的擬合參數；α(vk)為列車k到達vk站的時間；β(uk)為列車k離開uk站的時間；γ(pk)為列車k通過pk站的時間；分別為列車k在運行區間(uk,vk)的最小和最大運行時分；Ts,min為車站s的最小停站時間；為車站s的最小追蹤間隔；T(k)為列車k的全程多區間總運行時分為車站s的最小到發間隔；為車站s的最小發到間隔；為車站s的最小到通間隔；為車站s的最小通發間隔；m(Nk)為列車k的運行區間數。

定義變量：tuk,vk表示列車k在區間(uk,vk)的運行時分；表示列車k在s站的停站時間；hk,k+1表示列車k與列車k+1在首站的發車間隔.

以上所涉及時間的單位均為秒。

2.3 基本模型

2.3.1 優化目標

該模型的優化目標為所有列車在連續站間運行時牽引能耗最小。

2.3.2 約束條件

式（6）為多列車全程多區間總運行時分約束，相比于單列車全程多區間總運行時分約束而言，該約束從單一向量上升到矩陣層面，因此其復雜度更高。

當列車嚴格按照時刻表運行時，T(k)即為分配方案給定的總運行時分，在實際情況中為了應對發生早、晚點情況以調整列車區間運行時分的需要，應對各運行區間分配一定的冗余時分，此時T(k)=T(k)+σ，σ表示需要分配的總冗余時分。

式（7）～（9）為決策變量取值約束，其中式（7）為區間運行時分約束，其最大和最小區間運行時分從最優駕駛策略集里確定；式（8）為停站時間約束，一般情況下最小停站時間根據乘客上下車時間以及列車開關門時間確定；式（9）保證了列車在首站滿足最小發車間隔，最小發車間隔根據同一閉塞分區只有1 列車運行的原則確定。

若列車滿足正點率要求的前提下運行，需要滿足一定的運行圖安全間隔時間要求，具體見式（10）～（17）。其中k'為在車站vk緊隨列車k其后發車、到達或通過的列車。式（10）為相鄰2 列車在同一車站的發車間隔約束，式（11）相鄰2列車到達同一車站時的到達間隔約束，式（12）為相鄰2列車在同一車站，其中前車停站，后車不越行通過時的追蹤間隔約束，式（13）為相鄰2列車在同一車站，前車不越行通過，后車停站時的追蹤間隔約束，式（14）為相鄰2 列車不同時到發間隔約束，式（15）為相鄰2 列車不同時發到間隔約束，式（16）～（17）為越行列車的到通間隔約束和通發間隔約束。其中約束條件（12）～（13）與約束條件（16）～（17）是互斥的，取決于列車是否越行。

3 算法設計

式（6）是1個矩陣數量級的復雜約束，該約束隨著問題規模的擴大(即隨著列車數量和運行區間數的增加)將會非常龐大，對問題的求解造成一定難度，參考既有的求解方法，無論使用KKT 條件或是Cplex求解器均不能保證求解效率，因此如何在保證求解精度不降低的情況下，實現多列車區間運行時分同步分配的目標，從而提升求解效率，這對鐵路運輸生產效率具有重要意義，也是本文研究的重點。

拉格朗日松弛算法的核心思想是針對造成問題難以求解的復雜約束，通過添加拉格朗日乘子將它吸收到目標函數當中，從而減小問題的規模，加快求解速度，因此，本文設計拉格朗日松弛算法求解。下面分別從生成最優解、構造可行解、算法流程3個方面進行詳細闡述。

3.1 生成最優解

通過添加拉格朗日乘子λ將式（6）吸收到目標函數后為

s.t：式（7）～（17）

將松弛后的目標函數整理為

拉格朗日松弛算法計算過程中λk是根據上一次迭代確定的已知值，因此ELR的大小與tuk,vk有關，E'對tuk,vk求導得

分析式（22），當λk=0 時，E' 單調遞減，故當λk＞0 時，E' 存 在 極 小 點，為：，此時如果該極小點在區 間 內 ， 則tuk,vk=，本文區間運行時分定義的精度為1 s，因此tuk,vk四舍五入取整；如果極小點在區間右側，通過以上方法，可求解出所有列車的區間運行時分，將該解稱為最優解。

3.2 構造可行解

由于將復雜約束條件吸收到了目標函數當中，故松弛問題求解的是原問題的下界(ELR≤E)，因此松弛問題的解有可能不滿足約束條件(6)，所以要以松弛問題的解為基礎構造原問題的可行解，并求出對應的目標函數作為上界.

如果滿足約束條件（6），則該列車的區間運行時分最優組合即為可行解，不做調整；如果不滿足約束條件（6），由于拉格朗日乘子λk隨著迭代次數增加而逐漸增加，通過3.1 節的分析可知，最優區間運行時分將會從最大值逐漸減小，因此在計算過程中只可能是超出了T( )k的約束，需要將區間運行時分進行壓縮處理。使用的方法是使溢出約束條件（6）的運行時分整除m(Nk)，平均分為m(Nk)個等份，在滿足區間運行時分最小值約束的條件下對每個運行區間平均壓縮，剩余部分以增加牽引能耗最低為原則合理壓縮到沿途各運行區間，具體的計算流程如下。

步驟1。判斷當前列車是否滿足約束條件（6），如果滿足，輸出可行解；如果不滿足，轉步驟2。

步驟2。令

判斷zk是否等于0，若是，轉步驟4；否則，轉步驟3。

步 驟3。若，令； 若， 令，循環執行步驟3m(Nk)次。

步驟4。判斷列車的各個區間運行時分減小1 s時牽引能耗增加量的大小，在滿足的前提下使牽引能耗增加量最小的區間的運行時分減小1 s，其它區間保持不變，循環yk次，輸出可行解。

根據上述步驟，遍歷完所有列車，即可得出滿足總分配時間的可行區間運行時分最優組合，將該解稱為可行解。以本文所建模型為例，拉格朗日松弛算法構造可行解的核心思想是牽引能耗增加量最小的前提下尋找滿足約束條件（6）的區間運行時分最優組合，但本節僅是對區間運行時分做簡單的壓縮處理，并未直接考慮牽引能耗的增加量，這是因為隨著迭代次數的增加，λk逐漸增加，tuk,vk將會逐漸減小，即溢出約束條件（6）的值會逐漸減小，也就是說迭代到后期，最優解越來越接近可行解，zk將會是0。因此本節設計的尋找區間運行時分可行解的方法無不合理之處，且能提高每一次迭代過程中尋找可行解的速度。

3.3 拉格朗日松弛算法流程

步驟1。輸入各區間E-T曲線的線性表達式、各列車全程多區間總運行時分、決策變量最值約束以及運行圖安全約束等相關數據。

步驟2。初始化迭代次數j=0，拉格朗日乘子步長參數θ(j)=0.25，第j次迭代后的最小上界UB=+∞，第j次迭代后的最大下界LB=-∞。

步驟3。按照3.1節的方法計算拉格朗日松弛問

題的最優解，并且計算所對應的最優值，如果，則令

步驟4。按照3.2 節的方法構造原問題的可行解，并且求出對應的目標函數值E(j)，如果E(j)＜UB，則令UB=E(j)。

步驟5。判斷當前循環是否滿足以下任一條件：①迭代次數超過預先設定的值J；②次梯度向量s(j)的模長；③對偶間隙；④步長參數

若符合判斷標準轉步驟7，否則轉步驟6。

步驟6。按照次梯度優化方法更新拉格朗日乘子和步長參數。

步驟7。輸出各列車最優可行區間運行時分組合。

最后在滿足式（8）～（9）約束的條件下，以式（10）～（17）為安全依據編制運行圖，以保證列車的安全運行。

4 算例分析

4.1 算例背景及參數設置

以寶蘭高速鐵路為例進行算例驗證，線路全長400.644 km，沿途共設有8 個車站，設計速度為250 km/h。本文使用10列不同停站信息的CRH3動車組列車編制運行圖，動車組參數見表1。

表1 CRH3 動車組參數Table 1 Parameters of CRH3 EMU

此外，令180s(vk∈Vk,k∈K)，圖4以榆中站-通渭站為例說明使用oringin軟件中Belehradek模型的快速擬合效果，可以看出擬合曲線收斂。值得說明的是，給定線路運行動車組類型、各種間隔時間可能與實際情況不符，但并不影響算例的測試。

圖4 榆中-通渭的E-T擬合曲線Fig.4 Fitting curve renderings

4.2 算例求解

用Python 編寫并運行程序，得出圖5（a）所示的拉格朗日松弛算法的計算過程。由圖5 可見：隨著迭代次數的增加，目標函數值的上界逐漸減小，下界逐漸增加，二者逐漸逼近，對應的最優可行解也越來越接近精確解，迭代74次就已經求解出最優的分配結果，計算時間為10 s，實現了多列車區間運行時分的同步分配，最終的次梯度向量為在該算例背景下，上界變化范圍較小，圖8（b）為縱坐標刻度尺放大后上界的變化情況。

圖5 拉格朗日松弛算法計算過程Fig.5 The calculation process of the Lagrangian relaxation algorithm

4.3 結果分析

4.3.1 節能效果分析

表2所示為優化前和優化后的列車牽引能耗比較，可以看出，在保證全程多區間總運行時分不變的條件下，通過對每列車區間運行時分的重新分配，各列車均達到了節能的效果，10 列車的節能率在0.83%～1.24%之間不等，總共節約了595.958 kW·h的牽引能耗，總體的節能率達到了1.2%。圖6 所示為優化前后列車在各運行區間的能耗對比，通過重新分配后各區間的能耗有增有減，同一型號動車組列車在不同停站方案下各區間的能耗增減量不同，但就整個連續站間而言能耗降低量大于增加量，總體的牽引能耗均呈現下降的特征，如車次8，9，10，優化前分別在蘭州西站—定西北站、定西北站—天水南站、天水南站—寶雞南站的牽引能耗為1 105.464，3 221.738，1 105.286 kW·h，優化后分別為1 117.899，3 179.419，1 116.298 kW·h，總體的能耗下降量為45.09 kW·h，其它車次均有此種特征，此外，不同型號動車組列車在相同停站方案下其能耗的增減量也不同，這是由于動車組牽引制動特性曲線不同，從而使構造出的E-T 方程不同所導致的。

圖6 優化前后運行區間能耗比較Fig.6 Comparison of energy consumption between operating stations before and after optimization

表2 節能效果Table 2 Energy saving effect

4.3.2 時刻表分析

表3為優化前后列車發到時刻的比較，圖7為優化前后列車運行圖的比較。由表3和圖7可見：各車次的平均偏離時間與原有時刻表相比而言其調整的幅度和范圍極小，均在2 min 以內，除了對原有時刻表的影響較小之外，可以預見后續對動車組使用計劃制定的影響較小，整體而言，對鐵路運輸的整個生產過程產生的波動性很低。

圖7 優化前后運行圖Fig.7 Timetables before and after optimization

表3 優化前后發到時刻比較Table 3 Comparison of depart and arrive time before and after optimization

綜上，本文提出的考慮駕駛策略的時刻表節能優化方法不僅在保證求解精度不降低的條件下，提高了求解效率，實現了多列車區間運行時分同步分配，而且對原運輸計劃的影響較小，具有實用性較強的優點。

5 結束語

1）本文首先通過調整工況轉換點的位置建立了高速列車區間運行最優駕駛策略集，將最優駕駛策略對應的牽引能耗與區間運行時分的離散關系進行線性化擬合，基于此構建了區間運行時分最優分配的節能時刻表模型，并使用拉格朗日松弛算法求解，實現了多列車區間運行時分同步分配的目標。

2）以寶蘭高速鐵路為背景進行實例驗證，通過與優化前的運行圖相比較，總共節約了595.958 kW·h 的牽引能耗，節能率達到了1.2%，且本文提出的考慮駕駛策略的時刻表節能優化方法計算速度快、對運行圖的影響小，具有較強的現實意義。

筆者僅僅考慮了以牽引能耗最低為目標的區間運行時分的最優分配方案，并未考慮列車再生制動能利用率隨操縱工況的調整、停站時間以及發車間隔的調整是動態變化的，因此，在本文研究的基礎上最大化再生制動能利用率是以后的研究重點。