“逆運算”的內涵解析及其表現標準

摘要 《義務教育數學課程標準（2022年版）》中明確提出：“減（除）法是加（乘）法的逆運算”，為何不提“加（乘）法是減（除）法的逆運算”或者“加減、乘除互為逆運算”呢？對逆運算、互為逆運算有三種解釋：映射視角、函數視角以及單位元視角，不同視角的解釋會帶來不同答案。小學階段在具體情境中可以說“加減、乘除互為逆運算”，不應拘泥于映射視角的解釋，并以“減法是加法的逆運算”為例提出了它的表現標準。

關? 鍵? 詞 《義務教育數學課程標準（2022年版）》 四則運算 逆運算 內涵解析 表現標準

引用格式 劉加霞.“逆運算”的內涵解析及其表現標準[J].教學與管理，2022（32）：31-33.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標》明確指出：數與代數是義務教育階段數學學習的重要領域，在小學階段包括“數與運算”和“數量關系”兩個主題。強調“初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質的一致性，形成數感和符號意識；感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識?！盵1]該內容要求與以往數學課程標準相比發生很大變化。簡言之，特別強調數概念、數的運算的一致性，特別強調整體地把握運算之間的關系。例如，《2022年版課標》中多次（共計10次提及“逆運算”，其中2次提到“乘方與開方互為逆運算”，其他8次關涉四則運算）強調“減法是加法的逆運算、除法是乘法的逆運算”。而以往數學課程標準中關于“四則運算”都沒有明確提及“逆運算”這個術語。如此強調“逆運算”顯然是凸顯“運算之間的關系”，即從“整體上”理解運算。但是關于四則運算均不談“互為逆運算”，而乘方與開方談“互為逆運算”，為何呢？

一、“逆運算”與“互為逆運算”帶來的“麻煩”

《2022年版課標》中非常謹慎地、只是明確地提出“減法是加法的逆運算、除法是乘法的逆運算”。很自然地，有老師會問為何不提出“加法是減法的逆運算、乘法是除法的逆運算”呢？甚至再追問“加減法互為逆運算、乘除法互為逆運算”是正確的還是錯誤的？后兩者在《2022年版課標》中沒有提及，我們知道這是編寫者“小心翼翼”選擇的結果。因為“嚴格地說”，后面兩種觀點是“不正確的”或者是“不妥的”。那么，既然要“嚴格、謹慎地”對待“逆運算”，有教師馬上就提出，在第四學段的“內容要求”與“學業要求”中明確寫著“了解乘方與開方互為逆運算”“知道乘方與開方互為逆運算”。既然可以說“乘方與開方互為逆運算”，那為何不能說“加法與減法互為逆運算、乘法與除法互為逆運算”呢？在小學數學教材以及實際教學中，是否要明確提出“逆運算”這個術語，是否要明確提出“減法是加法的逆運算、除法是乘法的逆運算”這兩個事實？如果明確地提出來了，學生通過“類比推理”得出“加法是減法的逆運算、乘法是除法的逆運算”到底算正確還是錯誤？

從“學理”上教師可以解釋說明“加與減、乘與除互為逆運算”是不正確的，但這些解釋不可能“講給”小學生聽。實際教學中，總有一些特別愛思考的學生非要追問“加法是減法的逆運算、乘法是除法的逆運算”到底“對不對”時，一線教師該怎樣回答呢？專家可能會說“模糊處理”，只要學生“知道減法是加法逆運算、除法是乘法逆運算”就行。但是，不是一直倡導要讓學生“學會發現問題、提出問題”嗎？學生發現、提出問題（猜想）了，總要知道它“正確與否”吧。既不能判斷它正確與否、更不能解釋“其所以然”，那么在教學實踐中到底該如何處理呢？教師日常教學中如果說它們“互為逆運算”難道算“科學性錯誤”？

還有另一個“麻煩”，《2022年版課標》的第一學段“數與運算”的“學業要求”有“知道減法是加法的逆運算、乘法是加法的簡便運算、除法是乘法的逆運算[2]”，既然是“學業要求”，學段結束后學生就必須達到該要求。但是，判定是否達到學業要求的“標準”是什么？即如何判斷學生是否“知道”呢？學生能夠完成哪些任務或解決哪些問題就表明學生已經“知道”這些結論（命題）？這又涉及到“學業要求”的表現標準問題。作為綱領性文件的課程標準不可能將每一個“學業要求”的表現標準都“描述出來”，需要教材編寫者、一線教師與專家學者共同來研究。

二、“逆運算”與“互為逆運算”的含義

有很多人認為“加法與減法互為逆運算、乘法與除法互為逆運算”是不正確的，也認為減法、除法“不存在逆運算”，有人甚至認為也不能說“乘方與開方互為逆運算”[3]。為何《2022年版課標》在小學階段“小心翼翼”地提加法與乘法的逆運算，但不提“互為逆運算”，而到了初中階段卻“直截了當”地寫上“乘方與開方互為逆運算”呢？難道小學階段要“嚴謹”而中學階段卻可以“模糊”“不糾纏”互為逆運算的內涵？

判斷前述命題是否正確的前提是“什么是運算以及逆運算、什么是互為逆運算”。前面提及的研究者基本都是按照1986年6月新疆青少年出版社出版的由鐵鵬主編的《中學數學詞典》中對逆運算的定義：設某一集合內定義了一種運算*，且對其中的元素a、b、c有a*b=c，則把已知a、c求b或已知b、c求a的過程叫做*的逆運算。由這個定義（稱之為映射定義）可以知道，如果*是加（乘）法運算，則前述兩個過程都是減（除）法，所以減（除）法是加（乘）法的逆運算。但是，如果*是減（除）法，則前述兩個過程中雖然有b+c=a（b×c=a），但是還有a+c≠b（a×c≠b）的存在，所以“加（乘）法不是減（除）法的逆運算”，即不能說“加減法互為逆運算，乘除法互為逆運算”。當*是“乘方”時，乘方的逆運算是開方運算與對數運算，即乘方存在兩種逆運算，所以說“乘方與開方互為逆運算”不正確。

“乘方與開方互為逆運算”真的不正確嗎？不是，論述之不正確是按照前述逆運算的映射定義推理得到的。但是，從函數及其反函數的角度看，“乘方與開方互為逆運算”是正確的。從函數角度（稱之為函數定義）看，兩種運算互為逆運算就是指一個函數存在反函數，二者“互反”，當然其前提是“函數存在反函數”且是指一元函數，有的函數不存在反函數在此不論及。例如，當*是乘方運算時，前面的映射（即乘方運算）就是ab=c，這是一個二元函數（涉及三個變量），為了將其變為一元函數，需要將a或b看作常數：當將b看作常數，就是冪函數y=xb（乘方運算），它的反函數是y=b=（開方運算）；反過來也成立，所以可以說“乘方與開方互為反函數”，也可以說“乘方與開方互為逆運算”。當將a看作常數，就是指數函數y=ax（a＞0且a≠1），它的反函數是對數函數y=logax（a＞0且a≠1）；反之，對數函數的反函數是指數函數，所以“指數運算與對數運算互為逆運算”也是正確的。

當*是減法、除法運算時，如果把減數、除數當作常數，則x-b=y或x÷b=y存在反函數，分別是y=x+b或者y=b×x，此時，可以說加（乘）法是減（除）法的逆運算。但是，當被減數、被除數是常數時，而a-x=y或a÷x=y的反函數是它自身，此時不能說“加（乘）法是減（除）法的逆運算”。所以，一般不說“加減法互為逆運算、乘除法互為逆運算”，由第一種情況可知，“加（乘）法是減（除）法的逆運算”不能算錯誤。

在小學階段可以再換一個角度（稱之為單位元定義）來看互逆運算：對某個運算對象A進行*運算，然后再進行**運算（或者先進行**運算，再進行*運算），如果所得到的結果仍然是A，則稱*與**互為逆運算。例如，因為有：A+b-b=A、A-b+b=A，則稱加法減法互為逆運算也解釋得通，其直觀表現就是“向右走5步，再向左走5步，一定回到了原點”。同理，乘法除法也可以稱作“互為逆運算”，其直觀表現就是“把一段繩子先放大5倍，再縮小到它的，繩子長短沒變”。小學數學日常教學中教師們不要去糾結“加減法互為逆運算、乘除法互為逆運算”是否正確、是否能說，在具體情境中“說了”不算錯誤。例如，經典的“一圖四式”都有助于學生認識到加法和減法運算的互逆關系[4]。

此外，隨著數系的擴充只剩下兩種運算：加法、乘法。例如，從自然數集合擴充到整數集，減法也是加法，即“減去一個數等于加這個數的相反數”，再擴充到有理數集，除法也是乘法，即“除以一個數等于乘這個數的倒數”。既然數系擴充后，只剩加法、乘法兩種運算，再強調“減法是加法的逆運算、除法是乘法的逆運算”意義不大。在群論中，單位元以及逆元的價值更大，即單位元定義更有價值。

由上述論證看出，什么是“逆運算”可以從不同角度定義和解釋。所以，強烈建議：在小學第一學段的教材中不要明確寫出“逆運算”“減法是加法的逆運算、除法是乘法的逆運算”等術語和事實性結論，否則將引發太多的“解釋不清”、太多的“麻煩”。但是，在第一學段如何讓學生直觀地感知“減法是加法的逆運算（學生提出‘加法是減法的逆運算不能算錯誤）”呢？如何判斷學生是否“知道減法是加法的逆運算”而不糾纏前述跟學生“說不清、道不明”的命題？這就涉及表現標準問題，即第一學段的該項學業要求要滲透在理解加減法運算意義及其問題解決中。

三、“學業要求”的表現標準亟待厘清

《2022年版課標》中明確提出了“學業要求”“學業質量標準”這一“創新點”，“學業要求主要明確學段結束時學習內容與相關核心素養所要達到的程度[5]”。如何判斷學生是否達到了“學業要求”呢？學生有哪些“行為表現”就說明他達到了“知道減法是加法的逆運算”的學業要求呢？即這個學業要求的表現標準是什么呢？如果沒有表現標準，教材編寫者如何編寫教材？一線教師如何有效實施教學以達到“學業要求”呢？如果表現標準不明確、不具備可操作性，教材編寫者的理解、一線教師的理解都與《2022年版課標》的要求“不一致”，如何落實新課標呢？由此可見，“學業要求”的表現標準亟待厘清。

下面以“知道減法是加法的逆運算”為例闡述其表現標準。當下各版小學數學教材都將加減法、乘除法分別編寫在同一冊教材中，讓學生在“比較”中學習加減法各自能解決的實際問題，利用實際問題情境感悟兩種運算的互逆關系。學生能解決哪些問題或有哪些行為表現即能表明學生“知道減法是加法的逆運算”？筆者認為其表現標準主要包括以下幾方面。

1.能夠正確完成如圖1所示的問題

2.能夠正確填寫□-5=7中的數，且學生思考過程是“因為5+7=12，所以填寫12”?；蛘吣軌蛲瓿蓤D2所示的內容。

可以看出，圖1、圖2的問題都在強調“加減法互為逆運算”。

3.借助“左右跳”游戲活動，只要“左右跳”的步數相同，一定可以“跳回原點”。當然，能夠在數線上“表達”前述“活動過程”更可以表明學生“知道減法是加法的逆運算”。

4.能夠解決“逆向加法”問題。例如，飛機場停放著9架飛機，飛走了3架，問飛機場原來有多少架飛機。其思考過程是：多少架飛機減去3架等于9架？用“9+3=？”解決。

5.利用加減法的互逆關系正確計算出結果。例如，計算71-69=？有學生通過“69+2=71”得到“71-69=2”。

此外，脫式計算、利用等式性質解決問題等等都蘊含著加減法、乘除法為“互逆運算”。作為“基本事實”，它們無處不在。

參考文獻

[1][2][5] 中華人們共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：18，19，17.

[3] 蘭昌雄.談談互為逆運算[J].四川教育學院學報，2001（05）：64.

[4] 蔡金法，江春蓮，聶必凱.我國小學課程中代數概念的滲透、引入和發展：中美數學教材比較[J].課程·教材·教法，2013，33（06）：57-61+122.

［責任編輯：陳國慶］