非平穩聲信號下的小波變換去噪方法研究

祖麗楠，劉志遠，生 寧

（青島科技大學 自動化與電子工程學院，山東 青島 266100）

0 引 言

聲信號的跟蹤與識別在很多領域都具有廣泛的應用，但由于環境以及聲源本身都具有較強的未知性和不確定性，因此其獲取精度一直是熱點問題。在聲信號處理領域，對這一問題的研究由于受信號采集裝置的限制，其精度主要取決于對噪聲的處理上。在各種應用中，采集到的信號大多是非平穩的，信號特性隨時間變化，使得其時域內的局部特征尤為重要。小波變換具有多分辨分析的特點，適合處理非平穩信號的去噪問題。

常用的閾值設置方法有：通用閾值估計、固定閾值估計、無偏似然估計等。一般來說，固定閾值估計和啟發式閾值估計去噪比較徹底，去噪時更為有效，但也容易誤對有用信號過度濾波。而常用的閾值函數有硬閾值函數（Hard Thresholding Function）和軟閾值函數（Soft Thresholding Function）。從整體誤差看，硬閾值函數要優于軟閾值函數，但信號會產生不連續性，出現偽吉布斯現象，平滑性差；而軟閾值函數得到的小波系數整體連續性較好，但會產生一定的偏差，甚至導致重構信號失真。很多學者在閾值和閾值函數的設計上做了大量研究工作。文獻[14]提出一種降噪方法，通過DCT 字典實現水聲信號的稀疏分解，并設計了一個動態閾值濾除噪聲系數，但該方法降噪穩定性較差，對環境類型有一定要求。文獻[15]提出了一種在混沌降噪背景下用遺傳算法對閾值進行優化的方法，需要在遺傳算法構建的優化族里經過不斷篩選才能得到最佳閾值，去噪精度雖高，但計算量大且費時多。文獻[16]提出了一種基于收縮小波系數的自適應濾波方法，該方法受控制圖的啟發，利用迭代思想確定閾值，去噪精度較高，但同時降低了實時性。

綜上所述，本文針對未知環境中非平穩信號的噪聲濾除問題，對小波閾值去噪方法存在的問題進行研究，提高了信噪比，降低了均方根誤差，提高了信號獲取的準確性。

1 去噪問題模型

未知環境中采集的聲信號多為非平穩性信號，其觀測信號模型()由目標信號和噪聲信號組成。

式 中：()=[(0),(1),(2),…,(-1)]；>0 為目標信號，且為連續的；()=[(0),(1),(2),…,(1)]；≥0 為噪聲信號，主要集中在高頻段，具有不連續性和隨機性；為信號長度，取決于采樣周期。

如圖1 所示，在理想情況下，去噪任務是通過濾波削弱或者消除觀測信號模型()中的噪聲分量()=[(0),(1),(2),…,(-1)]，并盡可能地保留()中的目標信息()，最終得到觀測信號的估計值?()。

圖1 理想情況下去噪問題模型

2 小波閾值去噪原理分析

如圖2 所示，小波閾值去噪的原理是：

圖2 小波閾值去噪原理框圖

1）選擇合適的小波基函數和分解層數；

2）對式（1）所示的觀測信號()進行小波變換，生成小波系數ω，=1,2,…,；

3）對閾值（為實數）進行設置；

4）通過將小波系數ω與閾值比較得出噪聲分量()，通過閾值函數進行過濾——把小于的系數ω（主要由噪聲()引起）設為0，而對大于的小波系數ω（主要由信號()引起）進行保留或收縮，從而得到小波系數的估計值? ；

5）對? 進行重構，得到觀測信號()的估計值?()。

3 改進的小波閾值去噪方法

濾波過程中，每一個分解層都會通過閾值和閾值函數Φ ()對信號高頻段中的噪聲分量()進行過濾。但隨著信號分解層數的增加，傳統小波變換會帶來如下問題：采用固定閾值進行比較會造成過度濾波現象；采用硬閾值函數Φ ()（為實數）會存在不連續問題，并造成偽吉布斯現象；采用軟閾值函數Φ ()雖然連續性較好，但會產生一定的偏差，造成重構聲音信號?()失真等影響。

針對上述問題，本文進行了如下創新性的研究：

1）利用對數函數的變化特點提出了一種動態閾值計算方法；

2）利用指數函數的特點，設計了一個閾值函數Φ ()。

3.1 動態閾值計算方法

采用小波變換去噪時，若閾值設置過小，去噪會不完整，導致重構信號仍有噪聲存在；若閾值設置過大，會把部分有用信號一起過濾掉，造成信息丟失。目前廣泛使用的是通用閾值設置方式：

可以看到，由式（2）計算出的閾值是固定值，其中沒有包含分解層數這一變量。而在小波變換中，隨著分解層數的增加，噪聲分量會越來越少，這種固定閾值的方式將會在后繼分解層中對信號造成“過扼殺”現象。

為規避上述問題，需實現：

1）閾值動態變化；

2）使閾值隨著分解層的增加而變小，并在第一層比較時盡可能的大，以最大化地去除噪聲；而在后繼層數的比較中，閾值平緩減小，以保護信號的高頻信息，避免“過扼殺”現象?？紤]到對數函數的特點能夠擬合上述變化過程，本文在式（2）中引入一個動態系數，則閾值為：

的計算公式為：

式中：為分解層數變量；為大于零的比例系數，根據對重構聲音信號的品質需求設置。

最后，將式（4）代入式（3），得出動態閾值的計算公式：

由式（5）可以看出：閾值的計算包含了分解層數這一信息；由于對數函數的上凸特性，使得第一層分解時采用的閾值比式（2）中的值大，加強了噪聲的濾除，并且，隨著的增加，閾值以不斷衰減的速度平滑減小，既保證了盡可能少地漏除噪聲信號，又保護了目標信息。

3.2 基于指數特性的閾值函數設計

閾值函數的選擇會影響重構信號的連續性和準確性。目前常用的閾值函數是硬閾值函數Φ ()和軟閾值函數Φ ()。

硬閾值函數Φ ()：當小波系數的絕對值小于給定的閾值時，將系數置為0；反之，保留其原始值。其公式表示如下：

式中：是小波系數；為閾值?？梢钥闯?，式（6）雖然會使觀測信號在 ||=處保留了端點特征，但在此處會形成間斷點，這種不連續性會在重構過程中引發振蕩現象。圖3 為采用兩種閾值函數的對比實驗。如圖3b）所示，重構信號出現了不連續點（點和點），呈現出偽吉布斯現象，但重構信號的估計值與原信號一致性更高。

軟閾值函數Φ ()：當小波系數的絕對值比給定閾值小時，將系數置為0；反之，從原始值中減去閾值。其公式表示如下：

式中sgn(?)是符號函數?？梢钥闯?，式（7）沒有間斷點，增強了重構信號的平滑性，但會使重構信號產生偏差。如圖3c）所示，重構信號沒有間斷點，平滑性更好，但偏差較大。

圖3 采用Φ λsoft(ω)和Φ λhard(ω)進行濾波重構信號對比圖

根據上述分析，閾值函數若能融合軟閾值函數和硬閾值函數的優點，而規避其缺陷，則能在很大程度上提高重構信號的準確性。因此，需在函數特性上具備如下特征：

1）當 ||=時，其值為0，以消除間斷點。

2）當 ||處于附近時，為保證平滑性，令其呈現軟閾值函數Φ ()的特性曲線。

3）當 ||大于一定值時，為使重構信號的準確性更高、偏差更小，閾值函數需逐漸呈現出硬閾值函數Φ ()的特性曲線，逐漸逼近 ||。

4）在兩個函數轉換的臨界點處，其特性曲線要平滑且快速的變化。

基于上述需求，本文設計了一個閾值函數Φ ()?？紤]到指數函數具有的特性，閾值函數中引入了函數，用其擬合具有單調遞增且上凹變化的特性曲線，并通過其變化實現軟閾值函數和硬閾值函數的轉換。閾值函數Φ ()為：

式中：是大于0 的比例系數，根據對重構信號的品質需求進行設置；是常數，其值與觀測信號隨機程度有關（本文經過實驗，對于規律性較高信號取值在[2，6]時，去噪效果最佳）。

圖4 給出了采用三種不同閾值函數后重構信號的對比圖，其中圖4a）為未加噪聲的目標信號?？梢钥闯?，本文設計的閾值函數Φ ()在重構信號的連續性和準確性上均具有較大優勢，其曲線更接近目標信號。

圖4 采用三種閾值函數處理后重構信號的對比

4 實驗結果與分析

4.1 實驗條件

本文利用Matlab 對上述方法進行綜合仿真。通過將不同的閾值和閾值函數進行組合對觀測信號進行濾波，并采用信噪比（SNR）和均方根誤差（RMSE）作為性能指標對重構信號的品質進行對比分析。信噪比的值越大，表示去噪效果越好；均方根誤差越小，表示重構信號越接近目標信號。數學表達式分別為：

式中：()是目標信號；()是重構信號；為聲音信號的長度。

實驗參數選擇如下：將含噪聲的正弦信號作為觀測信號；選擇db 小波系作為小波基函數，分解層數為3 層；用Lifting Scheme 提升方案構造小波。另外，對于式（5）中的、式（8）中的和，經實驗得出，在本文的實驗條件下，分別取值為2.2，1 和3.5 時去噪效果最好。

4.2 實驗結果及分析

圖5 為噪聲環境下采集到的觀測信號。目標信號為無噪聲環境下的聲源信號。

圖5 觀測信號

本文做了三組實驗，實驗數據分別如圖6~圖8 和表1~表3 所示。

圖6 是三種閾值與Φ ()相結合去噪后重構信號的效果圖。

圖6 三種閾值與硬閾值函數組合去噪后重構信號效果

表1 是其信噪比和均方根誤差對比數據?？梢钥闯?，選擇通用閾值和rigrsure 閾值時，信噪比和均方根誤差相近，從圖6b）和圖6c）兩圖中可以看到，重構信號仍保留了較多的噪聲信息，通用閾值出現了偽吉布斯現象。相比之下，從圖6d）中可以看到，選擇本文設計的動態閾值方法計算出的閾值時，重構信號最大程度地接近原始信號，且信噪比最大（分別高于前兩種方案23%和16%），均方根誤差最?。ǚ謩e低于前兩種方案30%和23%），緩解了過度濾波現象，極大地提高了去噪精度。

表1 三種閾值與Φ λhard(ω)相結合的消噪性能對比

圖7是三種閾值與Φ ()相結合去噪后的效果圖。

圖7 三種閾值與軟閾值函數組合去噪后重構信號效果圖

表2 是其信噪比和均方根誤差對比數據?？梢钥吹?，選擇三種閾值后，其信噪比和均方根誤差相近，但選擇本文設計的動態閾值方法計算出的閾值時信噪比最大，且均方根誤差最小，更接近原始信號，在一定程度上提高了去噪精度。

表2 三種閾值與Φ λsoft(ω)相結合后的消噪性能對比

圖8 為本文設計的閾值函數Φ ()與兩種閾值（通用閾值和動態閾值）組合后的去噪效果圖。

圖8 通用閾值和動態閾值λnew 與新閾值函數組合去噪后重構信號效果圖

表3 是通用閾值和動態閾值與三種閾值函數結合后去噪性能對比數據?？梢钥闯?，在與通用閾值組合時，選擇Φ ()函數去噪后信噪比和均方根誤差比選擇Φ ()和Φ ()函數的指標更優；在與動態閾值組合時，選擇Φ ()函數去噪的效果更是得到了大幅提升?？梢钥闯霰疚脑O計的動態閾值計算方法在去噪時誤差最小，更加逼近目標信號，在一定程度上解決了采用其他閾值函數導致的重構信號偏差大的問題。

表3 通用閾值和動態閾值λnew 與三種閾值函數結合后的消噪性能對比

5 結 論

為解決小波變換在去噪過程中存在的問題，本文提出了一種動態閾值計算方法，并基于指數函數的特性設計了一種新的閾值函數。實驗結果表明：動態閾值計算方法能夠降低固定閾值帶來的信號過度濾波問題，使重構信號更加逼近目標信號；改進的閾值函數避免了硬閾值函數Φ ()產生的偽吉布斯現象，同時降低了軟閾值函數Φ ()產生的恒定偏差，較大地提高了去噪精度。綜上所述，本文進行的創新性研究，使小波變換在對一維信號的去噪任務中具有更高的實用價值。