語言互譯，促進數學學習理解

曹嶺紅

【摘要】斯托利亞爾在《數學教育學》中說：“數學教學也就是數學語言的教學.”數學學習必然也是數學語言的學習，日常生活中的生活語言與數學語言的互譯是形成數學思維和體現數學價值的過程，它能幫助學生從生活的視角理解數學.數學語言包含文字語言、符號語言和圖形語言，它們是對同一數學現象的多維表達，它們之間的互譯過程是對數學內涵的多維度理解過程，能幫助學生從數學本身的視角理解數學.因此，揭示這兩個語言關聯維度的聯系就是達成數學學習理解的過程.

【關鍵詞】數學語言;文字語言;符號語言;圖形語言;生活語言;語言互譯

理解是指了解、領會，解釋為對新事物的認識過程，就是揭示新事物和與之相關聯事物之間聯系的過程.數學理解是基于數學內容的理解，是對數學內容的深入解釋，數學學習的理解是對新的數學知識的認識過程，是揭露與該數學知識相關聯知識及其聯系的過程.

語言是文化的載體，是文化的外在表達形式，因此，文化學習的實質就是對該文化語言的學習，是通過其語言學習，理解其文化內涵，感悟其文化意蘊.數學學科有數學所獨有的文化，因此，數學學習必然就是數學語言的學習.學生通過數學語言的學習，領會數學之內涵，掌握數學之技巧，從而形成數學之能力和數學之思維.正如著名教育家斯托利亞爾在《數學教育學》一書中所說：“數學教學也就是數學語言的教學.”因此，數學學習的理解就是揭露數學語言和與之相關聯語言及其聯系的過程.數學語言是數學學科的專業語言，是對我們日常生活中的生活語言進行數學化后的專業表達，是一種表達科學思想的通用語言和數學思維的最佳載體，包含著多方面的內容，其中較為突出的是文字語言、符號語言及圖形語言，其特點是準確、嚴密、簡明.因此，數學語言的關聯包括兩個維度：一是數學語言與生活語言的關聯，二是數學語言不同表達形式之間的關聯.其中，生活語言到數學語言是形成數學的過程.是數學抽象化的過程.數學語言到生活語言是用數學的視角看世界的過程，是數學思維的外顯過程.生活語言與數學語言的轉化是形成數學思維和體現數學價值的過程，它促進了學生從生活的視角理解數學.數學語言的不同表達形式是對同一個數學內容的多維表達，它們之間具有內涵一致性特征，相互轉化是對該數學內涵的多維理解，能有效促進學生從數學本身的視角理解數學.因此，揭示這兩個語言關聯維度的聯系就是促進數學學習理解的學習過程.

一、生活語言數學化，提煉數學概念

生活語言是人們的日常表達語言，簡單、明了、親切，容易理解，雖然不一定是數學語言，但可能蘊含有豐富的數學信息，提取其中的數學信息，然后進行數學化，由此形成數學語言的過程就是生活語言數學語言化的過程，也是數學概念提煉的過程.

數學抽象是一個從生活到數學的提煉過程，具體而言是指抽取一些數學對象的共同的、本質的屬性或特征的過程，也是舍棄那些非本質的屬性或特征的過程.其中，生活語言凝練數學語言的過程是數學抽象的過程，數學語言是數學抽象的最后表征.

如：一次函數概念的形成.

1.生活語言表述的數學現象

（1）汽車每小時行駛90千米，2小時行駛180千米，3小時行駛270千米.

（2）某商場食鹽標價為2元每包，購買6包食鹽需支付多少元？

（3）小明家第一季度各月用電情況如下表：

2.數學抽象過程中的語言

此階段的語言可能是專業的數學語言，也可能是含有生活語言的數學語言，但它一定是數學語言抽象過程中的語言.

抽象語言1：以上三個數學現象中，都有兩個變量，并且其中一個變量增加（或減少），另一個變量隨之增加（或減少）.

抽象語言2：如果將用x、y分別表示這兩個變量，那么以上三個數學現象分別可以表示為y=90x，y=2x，y=0.68x.

抽象語言3：既然以上三個數學現象可以使用x、y的相同形式來表示，那么就可以將三個表達式統一成一個表達形式，即y=kx（x，y為變量，k為常數，且k>0）.

抽象語言4：在數學表達式y=kx中，x和y為變量，k為常數，那么常數k能否是0或負數呢？如果可以，那么一個變量x增加，另一個變量y還會隨之增加嗎？如果不是，又是如何變化的呢？它們能否再統一成一個新的數學語言表達呢？顯然，這就是正比例函數的表達式，即y=kx（x、y為變量，k為常數，且k≠0）.

在抽象語言1中，“變量”是數學語言，它是對三個數學現象中都有量在變化的數學抽象，并以文字語言的形式進行表達.在抽象語言2中，字母x、y和三個表達式是數學語言，它是分別對三個數學現象進行數學抽象，并以符號語言的形式進行表達.在抽象語言3中，y=kx（k>0）是數學語言，其中常數k（k>0）是對抽象語言2中三個常數90、2、0.68的代數抽象，最后將三個不同表達式統一成一個表達式y=kx（x、y為變量，k為常數，且k>0），這是一個更為抽象的數學符號語言.在抽象語言4中，在整個抽象過程中就是一個脫去生活背景的純數學思考，屬于一種抽象思考，是數學抽象的體現，此時獲得的就是最抽象的數學.其表達形式仍然是數學語言：文字語言，即正比例函數;符號語言，即y=kx（x、y為變量，k為常數，且k≠0）;圖形語言，即如圖1、圖2.

由此可見，將生活語言中的數學信息進行數學語言表達，再到涵蓋更多數學現象的更為抽象的數學語言表達，本身就是數學抽象的過程，也是數學語言逐步凝練的過程.因此，將生活語言進行數學語言化表達，是在生活中學習數學的過程，也是經歷數學形成的過程，這樣的經歷必然能促進學生對相關概念的理解.

二、數學語言內部轉化，多維理解概念

斯托利亞爾在《數學教育學》一書中指出，數學教學就是數學語言的教學.數學語言是由數學符號、數學術語和經過加工的數學文字等組成的一門語言，它可以分為文字語言、符號語言、圖形語言三類.這三種形態的數學語言各有優越性，如：以文字表達為特征的數學文字，語言抽象嚴謹，揭示本質屬性;數學術語科學、完整且規范;以符號表達為特征的數學符號語言指意簡明，書寫簡潔，數學式子將關系融于形式之中，方便運算，利于思考;以圖形為特征的數學圖形語言形象直觀，有助記憶，便于思考.同一個數學知識往往可以通過多種數學語言形態來表達，這為三種語言互譯創造了條件，而注重這些數學語言的互譯，既可以實現艱澀難懂的語言向通俗易懂的另一種語言進行轉化，從而幫助學生理解數學，又可以幫助學生多維理解數學，促進知識內化，從而形成數學學科的核心素養.

1.數學語言文字化.文字語言是指以文字敘述數學概念的數學語言形式，它包含數學術語、關鍵詞句等，它是表達數學概念的最基本形式，其中，每一個關鍵字、詞都有確切的意義，彼此之間存在依存和制約關系.例如，“且”和“或”在數學上有嚴格區分;“過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行”中的關鍵語句有“直線外一點”“有且僅有”，并且它們之間存在極強的關聯性，“過直線外一點”是前提.將其他語言采用這種文字語言進行表達的方式，稱為數學語言文字化.

數學語言文字化可能基于生活語言，也可能是基于圖形語言或符號語言.基于生活語言的數學語言文字化是生活語言數學化的過程，是數學抽象的過程，在前文已有詳細闡述.因此，此時的數學語言文字化主要指符號語言或圖形語言的文字化過程，這在數學概念或定理提煉，或重要結論的得出方面非常常見.

如，經過嚴密的演繹推理后，獲得下面的圖形與符號語言.

已知：如圖3，點D是△ABC邊BC延長線上任一點，得到∠ACD=∠A+∠B.

將這些圖形或符號語言用簡練的數學文字語言進行表述既是對前面推理過程的總結，又是更為簡練的一種抽象表達，還是為后續類似問題解答提供的理論基礎或實踐經驗，因此，翻譯的過程是思維提煉的過程，也是促進學生學習理解的過程.操作方式如下：

（1）用文字語言表述各符號（要素）的含義.在圖3中，△ABC對應三角形，∠ACD對應三角形外角，∠A和∠B對應三角形的內角.

（2）用文字語言表述各要素之間的關系.在圖3中，∠A和∠B與外角∠ACD位置上都不相鄰，數量上卻存在等量關系.

（3）用系統的文字語言表述含義.三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和.

在數學語言文字化過程中，需要注意一個關鍵點：用文字語言對應式表述各要素及其關系，即上述事例的第（1）和第（2）環節.突破了這個關鍵點后，系統化的文字語言表述可能不是很精煉，但要表述的核心絕不會走樣，學生只需持續對比與完善，便能形成更為規范、簡練的文字語言.

2.數學語言符號化.符號語言是指以數學符號敘述數學概念的數學語言形式，它包含字母、數字和特定的數學符號等，它是生活語言高度抽象、高度數學化的結果，是進行數學運算和數學推理的工具性語言.如，“y=4x2-3”“△”“⊥”“⊙”等.特定的數學符號有特殊含義.在幾何圖形中，“△”表三角形，在一元二次方程或二次函數中，“△”表示根的判別式b2-4ac.因此，數學語言符號化既是開展數學學習的必要環節，也是進行數學抽象思考的前提條件，提升學生數學抽象、邏輯推理、運算能力等數學核心素養的關鍵步驟.

數學語言符號化主要來自兩方面內容：一是數學術語符號化，二是數學現象符號化.其中，數學術語符號化指用特定的數學符號表達相對應的數學術語.如，前文所說的“△”表三角形，這種符號要么是圖形的直觀呈現，要么是某種語言的略寫;如“sin”要么是約定俗成的結果;如“+”要么是意義直觀的呈現;如“>”;等等.而數學現象符號化，需要根據數學現象特征，進行語言轉換，這種數學現象一般包含三種情況.

（1）數學現象的對應性翻譯.如：正數的絕對值是它本身，0的絕對值是0，負數的絕對值是它的相反數，翻譯成符號語言：

|a|=a（a>0）

0（a=0）

-a（a<0）

此類翻譯過程中，把握“對應”就可以成功完成翻譯過程.如：特定符號對應，絕對值對應符號“|a|”;特定條件對應，正數對應“a>0”;等等.

（2）完整數學問題的符號化.如：用二次函數解析式表示拋物線圖形等.

（3）數學問題中需要完成的一個環節.如：有一個兩位數，它的兩個數字的和是6，兩個數字的積等于這個兩位數的13，求這個兩位數.

為了解決這個問題，需要對一些關鍵要素進行符號化，即尋找關鍵詞和對關鍵詞對應的符號表達.如：找出關鍵詞“兩位數”“兩個數字的和”與“兩個數字的積”，然后分別改成符號表達：10x+y、x+y和xy.

進行符號化的過程是對數學知識或數學問題的理解過程，或數學概念的抽象過程.特別是圖形語言轉換成符號語言，使數學變得可以計算，圖形特征可以量化.因此，經歷這樣的過程，就經歷了數學知識的形成過程，經歷問題的解決過程和提升數學核心素養的過程，更是促進了學生理解數學的過程.

3.數學語言圖形化.圖形語言是指以數學圖形敘述數學概念的數學語言形式，它包含幾何圖形、坐標圖形等等.將數學語言轉換為圖形語言，可以培養學生直觀想象的數學核心素養，使數學問題變得可視化、形象化，更容易理解.例如，理解函數性質時，采用觀察函數圖像的方式，就很直觀看出單調性和最值;求|x-1|+|x+3|的最小值時，將其轉換成圖形語言（如圖4）.

從圖形語言中可以非常直觀得出：在數軸上，x在-3和1之間的任意點時，x到1的距離與x到-3的距離和是不變的，并且是最小的距離和，這個最小距離是數軸上-3到1的距離4，即最小值為4，轉換成常用的符號語言表述的答案是，當-3≤x≤1時，|x-1|+|x+3|有最小值4.

數學語言符號化主要有三種情形：通過直線表達、通過坐標系表達和通過幾何圖形表達.

（1）通過直線表達.這里所指的直線包括數軸或直線的一部分，如：上面所闡述的求|x-1|+|x+1|的最小值，用線段表示行程問題，等等.

（2）通過坐標系表達指利用坐標系進行數學語言符號化，最典型的事例是函數圖形分析，這種表達的方法是通過列表、描點和連線三步驟完成數學語言符號化.

（3）幾何圖形表達指利用幾何圖形表達數學問題，從而找到解決問題辦法的過程.常見場景有兩種：幾何問題的幾何圖形表達和代數問題的幾何圖形表達.其中，幾何問題的幾何圖形表達在幾何問題中非常常見，在此不再贅述.代數問題的幾何圖形表達往往是直觀理解代數問題的有效策略.例如，用配方法解方程x2+2x-5=0.對于初學者來說，使用代數方法時總有生搬硬套的感覺，如果使用幾何方法就很直觀地呈現出解題思路，這就需要將方程x2+2x-5=0轉換成圖形語言.轉換過程如下：

①根據數形對應獲取幾何圖形.配方是配成一個完全平方式，對應的幾何圖形是正方形;x2對應的幾何圖形是以x為邊長的正方形面積;2x對應的幾何圖形是矩形，既可以是以2和x為兩鄰邊長的矩形面積，又可以是以1和x為兩鄰邊長的兩個矩形面積.

②根據圖形關聯構建組合圖形.所獲取的正方形邊長和矩形的一邊長相等，因此，可以構建如下組合圖形：

③根據關系對比獲取正確圖形.由圖形可知，圖5和圖6沒有產生新正方形，圖7顯示兩矩形與正方形面積相減的形式，因此，只有圖8既構建了新正方形，又顯示出正方形A與兩矩形B與C相加，與原方程保持一致，即圖8實線部分圖形面積為5，因此，圖8是原方程x2+2x-5=0的圖形語言.

④根據圖形語言獲取代數表達.根據圖形可知，原正方形A面積+兩矩形B與C的面積和+正方形D=新正方形面積=5+正方形D，即x2-2x+1=5+1，成功獲得配方算式.

這種對同一數學對象進行多語言表達，是對數學對象的多維理解，即從文字語言、符號語言和圖形語言三個維度理解數學，必定促進數學理解更加全面、徹底.

三、數學語言生活語言化，運用數學概念

數學語言是高度抽象的專業術語，將其生活語言化實質就是用自己的語言進行表述數學現象，甚至讓非數學專業人士都聽得懂.數學教學的順利進行就需要教師具備這種能力，這種方式的經常運用也是教師理解概念內涵比學生更為深刻的原因.對于學生而言，就是完成了只有教師才從事的數學理解工作.而教學實踐也告訴我們，如果學生能把所學內容用自己的語言復述出來，特別是讓學困生也聽得懂，那么他們對知識的理解必定非常深刻.對于數學學習來說，“所學內容”指數學語言，“自己的語言”指生活語言，“復述”是將數學語言轉換成生活語言后的最后表征，達到這個表征的過程就是數學語言生活語言化的過程，這個過程往往體現在數學概念的運用上，它是數學學習后的外化過程.

1.舉例子生活語言化

對于非專業人士而言，數學語言過于專業難于理解，因此，將一些數學語言采用舉例子的方式進行生活語言化，有利于聽眾理解，也有利于講述者通過尋找實際案例來促進對數學概念的理解.如：函數概念的生活語言化，可以利用單價一定，總價與數量的變化關系來表述函數.

2.找關聯生活語言化

數學語言雖說是專業語言，但每個人都具有一定的數學素養，即都具有一定的數學基礎，將新學的數學語言與已掌握的數學語言進行對接，找出其關聯，也是一種數學語言生活語言化的過程，在學生尋找關聯舊知識的過程中，內化了新知識，重構了自己的知識體系，必定能促進對新知識的理解.如：一元一次不等式解法的生活語言化，可以對接一元一次方程的解法，僅化系數為1時不一樣，其他完全相同.

由此可見，從生活語言到數學語言體現了數學源于生活，顯現了從生活中提煉數學的數學形成過程，從數學語言到生活語言體現了數學運用于生活的數學學習價值，兩者互譯幫助學生從生活的視角理解數學.數學語言的多種語言表達形式是對數學現象的多維表達，它們之間的互譯體現了多維度理解數學的過程，幫助學生從數學本身的視角的理解數學.從這兩個視角理解數學是形成數學抽象、直觀想象等數學核心素養的過程，因此，語言互譯促進了學生對數學學習的理解.

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