向量空間和C*-代數上的擴張理論*

包琪瑤， 韓德廣， 劉 銳

(①南開大學數學科學學院,300071,天津市,中國; ②中佛羅里達大學理學院,佛羅里達州，美國)

0 引 言

我們知道作用在Banach空間上的未必完全有界的算子值測度的一般擴張理論[1]可以自然地推廣到作用在Banach代數和Banach空間上的有界線性映射,這可以看作是對算子值測度擴張的非交換情形的類比.由Casazza,Han和Larson[2]提出的框架的一般擴張定理指出,即使對于一個Hilbert空間,每一個框架可以有本質上非Hilbert的基擴張,一般情況下其擴張空間必須是Banach空間.這被看作是關于正算子值測度的著名的Naimark擴張理論[3-5]的真正推廣.一方面,我們在框架理論和算子值測度的擴張之間建立了一些有趣的聯系[1,6-8],另一方面在有界線性映射和von Neumann代數之間也建立了聯系.我們知道未必完全有界的任意算子值測度總可以擴張為作用在Banach空間上的冪等的投影值測度. 更一般地,每一個作用在Banach代數上的有界線性映射有一個作用在Banach空間上的有界同態擴張,這里有界線性映射不需要是完全有界的,而且擴張空間通常需要是Banach空間,即使底層空間是Hilbert空間,底層代數是von Neumann代數.因此,任意有界線性映射的有界同態擴張理論真正推廣了Stinespring擴張定理[5,9].對于更一般的Banach代數和Banach空間,基于他們的擴張性質可以建立有界線性映射的某種分類理論.代數擴張的擴張空間和擴張范數一般來說不是唯一的.因此,基于擴張空間和擴張范數的有界線性映射的分類涉及到某種結構理論,而在這種結構理論中完全有界映射屬于特殊的一類.

本文在第1部分給出作用在一般向量空間上的線性映射的代數同態擴張分類的幾個結構性結果.通過介紹典則擴張和萬有擴張這兩種自然的擴張結構,證明了所有的不可約擴張等價于典則擴張,而且每一個線性極小擴張等價于萬有擴張的一個約化擴張.我們通過萬有擴張的合成算子的核中的伴隨約化子空間給出所有擴張的主要分類結果,并提供一些例子來說明代數擴張理論的復雜性和豐富的結構.第2部分從Stinespring擴張出發,介紹了C*-代數上完全有界線性映射的刻畫,并通過一個例子說明即使對交換的純原子的von Neumann代數也存在沒有Hilbert擴張的情況.

1 同態擴張系統的結構性質

1.1 本原和萬有擴張

一個線性系統是一個三元組(φ,A,V)使得φ是一個從含幺元代數A到L(V)的保幺元線性映射,其中V是一個向量空間且L(V)表示從V到V的所有線性映射.在A很好理解的情況下,通常從記號中省略.

定義1.1[10]一個線性系統(φ,V)的同態擴張系統是一個從A到線性算子空間L(W)的保幺元同態π(對某向量空間W),且存在一個單射的線性映射T:V→W和一個滿射的線性映射S:W→V使得對?a∈A,如下交換圖成立，

即φ(a)=Sπ(a)T,?a∈A.

我們用(π,S,T,W)來表示這個同態擴張系統,W的維數稱為同態擴張系統(π,S,T,W)的擴張維數.稱T為擴張系統的分解算子,S為合成算子.如果ker(S)包含一個非零的π-不變子空間,則稱(π,S,T,W)是可約的,否則稱它為不可約的.

定義1.2[10]一個線性系統(φ,V)的同態擴張系統(π,S,T,W)稱為線性極小的,如果span{π(A)TV}=W.如果它既是線性極小的又是不可約的,則稱為一個本原擴張.

令(π,S,T,W)為一個同態擴張系統.通過以span{π(A)TV}代替W,則得到一個線性極小擴張.在下面的內容中我們只關注線性極小擴張.

下面給出典則擴張[1]和萬有擴張[10]的構造,它們對擴張的結構理論至關重要.

令(φ,A,V)為一個線性系統.對于a∈A,x∈V,由αa,x(·):=φ(·a)x定義αa,x∈L(A,V).令

W:=span{αa,x:a∈A,x∈V}?L(A,V).

由πc(a)(αb,x):=αab,x定義πc:A→L(W),則πc是一個保幺元同態.對x∈V，由Tx:=αI,x=φ(·I)x=φ(·)x定義T:V→L(A,V).通過令S(αa,x):=φ(a)x且線性延拓到W，定義S:W→W.如果a∈A,x∈V是任意的,則有

Sπc(a)Tx=Sπc(a)αI,x=Sαa,x=φ(a)x,

因此對?a∈A,有φ(a)=Sπc(a)T.因此(πc,S,T,W)是(φ,V)的一個同態擴張,稱它為(φ,V)的典則擴張.

命題1.3[10]一個線性系統(φ,A,V)的典則擴張是一個本原擴張.

注意到對于一個有限維系統(φ,A,V)的任意線性極小擴張(π,S,T,W),總有

dimW≤(dim A)(dimV).

下面給出一個有極大擴張維數(dim A)(dimV)的線性極小擴張的構造.

令W=A ?V.定義πu:A→L(W),T:V→W和S:W→V分別由

Tx=I?x，

給出，那么πu是一個同態且對?x∈V和?a∈A，有

Sπu(a)Tx=Sπu(a)(I?x)=S(a?x)=φ(a)x，

因此(πu,S,T,W)是(φ,V)的一個同態擴張系統.另外,由于πu(a)Tx=a?x,有

span{πu(a)Tx:a∈A,x∈V}=W，

因此(πu,S,T,W)是一個線性極小擴張系統且具有性質dimW=(dim A)(dimV).

定義1.4[10]以上構造的擴張(πu,S,T,W)稱為(φ,V)的萬有擴張.

1.2 結構定理

在這一部分給出關于所有線性極小同態擴張分類的主要結果.

定義1.5[10]令(π1,S1,T1,W1)和(π2,S2,T2,W2)為線性系統(φ,V)的兩個線性極小同態擴張系統.如果存在一個雙射的線性映射R:W1→W2使得RT1=T2,S2R=S1且π1(a)=R-1π2(a)R對?a∈A,則稱這兩個同態擴張系統是等價的.

以下定理說明所有的本原同態擴張系統是等價的.

定理1.6[10]如果(π1,S1,T1,W1)和(π2,S2,T2,W2)是(φ,A,V)的兩個本原同態擴張系統,那么(π1,S1,T1,W1)和(π2,S2,T2,W2)是等價的.

下面的定理說明萬有擴張實際上是“最大的”擴張系統.

定理1.7[10]一個線性系統(φ,V)的任意線性極小同態擴張等價于它的萬有擴張的一個約化同態擴張系統.

為了對線性極小同態擴張系統進行分類介紹以下定義.

定義1.8[10]對于一個線性系統(φ,V)，令(πu,S,T,W)為萬有擴張系統且(π1,S1,T1,W1)為一個線性極小同態擴張系統，稱πu-不變子空間

為伴隨于(π1,S1,T1,W1)的約化子空間.

對于一個給出的線性系統,以下定理給出了它的所有線性極小同態擴張系統的分類.

定理1.9[10]令K1和K2分別為伴隨于極小同態擴張系統(π1,S1,T1,W1)和(π2,S2,T2,W2)的約化子空間.那么這兩個同態擴張系統是等價的當且僅當K1=K2.

后面的例子表明即使是在有限維的情形(即dimV<∞,dim A<∞)也會存在無窮多不等價的線性極小同態擴張系統.

我們給出一個與擴張理論相關的較弱版本的等價[10]:如果(π1,S1,T1,W1)為線性系統(φ,V)的線性極小擴張系統,π2是從A到L(W2)的一個同態使得π1和π2在通常意義下是等價的,即π1(a)=R-1π2(a)R(?a∈A)對某同態R:W1→W2,那么 (π2,S2,T2,W2)是一個等價的擴張系統且S2=S1R-1,T2=RT1.

下面介紹約化不變子空間的等價概念,給出線性極小同態擴張系統的同態π1和π2等價的條件.

定義1.10[10]令(πu,S,T,W)為線性系統(φ,V)的萬有擴張系統. ker(S)的兩個πu-不變子空間K1和K2稱為強同構的,如果存在一個同構R:W→W使得R(K1)=K2，且對 ?a∈A和?w∈W，πu(a)Rw-Rπu(a)w∈K2，即對?a∈Aπu(a)的商映射和R在W/K2上可交換.

定理1.11[10]令K1和K2分別為線性極小同態擴張系統(π1,S1,T1,W1)和(π2,S2,T2,W2)的約化子空間，那么π1和π2是等價的當且僅當K1和K2是強同構的.

證明由定理1.7,可以假設(πi,Si,Ti,Wi)是伴隨于Ki(i=1,2)的萬有擴張的約化同態擴張.

類似地,有

定理1.9和定理1.11給出了線性極小同態擴張的兩種分類,基于由S(a?x)=φ(a)定義的映射S:A?V→V的核中的萬有擴張不變子空間.下面通過構造一些具體的例子來說明代數擴張理論的復雜性和豐富的結構.

令

那么M是包含在ker(S)中的最大的πu-不變子空間.因此,由定理1.6可知萬有同態擴張等價于本原擴張當且僅當M={0}.另外可得以下結論.

命題1.12[10]一個線性系統(φ,V)只有線性極小同態擴張的一個等價類當且僅當M={0}.

推論1.13[10]令(φ,A,V)為一個線性系統.如果ker(φ)包含一個真左理想,那么萬有擴張不等價于它的本原擴張.

推論1.14[10]令(φ,A,V)為一個線性系統使得dim(V)=1,那么它的萬有擴張和本原擴張是等價的當且僅當ker(φ)不包含任意真左理想.

為了確定同態擴張的其余等價類,首先需要確定ker(Su)中的所有πu-不變子空間.注意到 ker(Su)=span{e2,e4,e5},易證其極大πu-不變子空間是span{e2,e4},且span{e2,e4}的任意一維子空間也是πu-不變的.因此,由定理1.9可知4維同態擴張系統只有一個等價類,5維同態擴張系統有無窮多不等價類.

同態擴張系統的4維等價類由(π4,S4,T4,4)表示,由如下給出

伴隨于πu-不變子空間K1=span{e2}和K2=span{e4}的兩類同態擴張系統分別由(π5,1,S5,1,T5,1,5)和(π5,2,S5,2,T5,2,5)表示,由如下給出

對于三角矩陣的轉置映射,情況大不相同.下面給出在T2和T3上轉置映射的情況.

例1.16[10](ⅰ)令τ:T2→2為轉置映射.那么萬有擴張系統由

典則擴張系統由

另外,有ker(Su)=span{e2-e6,e3,e4,e5}.

在ker(Su)中,極大πu-不變子空間是M=span{e4,e5},且對任意給出的α,β,一維子空間Kα,β=span{αe4+βe5}是πu-不變子空間,所以再次表明存在5維擴張的無窮多不等價類.對應于K1,0和K0,1的2個特殊情形表示如下，

(ⅱ)令τ:T3→3為轉置映射,則那么典則擴張πc:T3→10由

對于一般矩陣的轉置映射,情況如下.

例1.17令τ:2→2為轉置映射,則那么萬有擴張系統表示如下，

因此,ker(Su)=span{e1-e4,e2,e3,e6,e7,e5-e8}.

由于ker(Su)中沒有非平凡πu-不變子空間,故以上公式也給出了典則擴張.

例1.18[10]令v:2→2為線性映射

那么有(線性極小)擴張π:2→4由

2 C*-代數上的擴張理論

2.1 Hilbert擴張

用B(H)表示 Hilbert空間H上所有有界線性算子構成的代數.

用Mn(A)表示n×n矩陣的集合,其元素來自A.Mn(A)的元素由(ai,j)表示.

令A和B為兩個C*-代數,φ:A→B為一個線性映射,通過φn((ai,j))=(φ(ai,j))，定義φn:Mn(A)→Mn(B).

映射φ稱為正的，如果φ把A中的正元素映為B中的正元素.

映射φ稱為完全正的,如果對所有的自然數n，φn是正的.

首先給出幾個經典的擴張定理.

定理2.2[5](Sz.-Nagy擴張定理) 令T為Hilbert空間H上的一個收縮算子,那么存在一個包含H作

為一個子空間的 Hilbert 空間K和K上的一個酉算子U使得Tn=PHUn|H.

定理2.3[5](Naimark定理) 令E為X上一個正則的,正的,B(H)-值測度,那么存在一個Hilbert空間K,一個有界線性算子V:H→K和X上的一個正則的,自伴的,譜的,B(K)-值測度F使得E(B)=V*F(B)V.

定理2.4[5](Stinespring擴張定理) 令A為一個含幺元C*-代數,令H為一個Hilbert空間,令φ:A→B(H)為一個完全正映射,那么存在一個Hilbert空間K,一個含幺元*-同態π:A→B(K)和一個有界算子V:H→K,且‖φ(1)‖=‖V‖2使得φ(a)=V*π(a)V.

很容易證明任意具有形式φ(a)=V*π(a)V的映射是完全正的.因此,Stinespring擴張定理刻畫了從任意C*-代數到任意Hilbert空間中有界線性算子的代數上的完全正映射.下面從Stinespring擴張出發,給出完全有界線性映射的刻畫.

由于M2(A)包含M2的復制,Hilbert空間K1可以用這樣的方式分解為K1=K ⊕K,*-同態π1:M2(A)→B(K ⊕K)具有形式

其中π:A→B(K)是一個含幺元*-同態.因此,有V:H ⊕H→K ⊕K是一個等距,且

對?h∈H,有

證畢.

對于任意有界線性映射的有界同態擴張理論真正推廣了Stinesping擴張定理,闡明了C*-代數上一個有界線性映射有一個*-同態擴張(作用在一個Hilbert空間上)當且僅當它是完全有界的.

2.2 非Hilbert的擴張

稱一個映射是正規連續的,即超弱,或σ-弱,或w*連續的.

定義2.6[2]Banach空間X上的一個無條件框架是一個序列對{xi,yi}i∈,其中xi∈X,yi∈X*(X的對偶空間),滿足對?x∈X,且這個級數無條件收斂.

定理2.7[1]令H為一個可分的Hilbert空間,令{xi,yi}為H的一個無條件框架，那么由

定義的從l∞到B(H)的映射φ是良定義的、含幺元的、線性的且超弱連續的.

下面通過一個例子說明即使對交換的純原子的von Neumann代數也存在沒有Hilbert擴張的情況.這個例子表明對于一個Hilbert空間存在一個無條件框架,它誘導的算子值測度沒有Hilbert空間擴張.等價地,它不能通過重調來得到一個有Hilbert空間擴張的無條件框架.這個構造基于Osaka[11]的一個從l∞到B(H)的正規的非完全有界映射的例子.

定理2.8[1]對于一個Hilbert空間,存在一個無條件框架使得它誘導的算子值測度不是完全有界的,因此它不能通過重調來得到一個有Hilbert空間擴張的無條件框架.

由于如果一個無條件框架有一個Hilbert空間擴張,那么它誘導的算子值映射是完全有界的,且重調無條件框架誘導相同的算子值映射,因此,只需要表明對于Hilbert空間存在一個無條件框架使得它誘導的算子值測度不是完全有界的.首先需要以下引理.

引理2.9[1]令{An}為Hilbert空間H上一個有限秩有界線性算子序列使得

(ⅰ)AnAm=AmAn=0對所有n≠m;

(ⅱ)存在相互正交的投影{Pn}使得An=PnAnPn對所有n;

下面證明定理2.8.